Twierdzenie Talesa o kącie wpisanym w półokrąg

Q: Co się dzieje, gdy punkt C zbliża się do końca średnicy?

Trójkąt się spłaszcza, ale kąt przy C pozostaje prosty aż do samego końca. Dla C = A lub C = B trójkąt znika - dlatego te dwa punkty wyłączamy z twierdzenia.

Q: Jak brzmi wersja „na odwrót" i do czego służy?

Jeśli kąt ACB jest prosty, to C leży na okręgu o średnicy AB. Używa się jej częściej niż wersji prostej: pozwala wykrywać okręgi tam, gdzie ich nie widać - wszędzie, gdzie w zadaniu pojawia się kąt prosty oparty na stałym odcinku.

Twierdzenie Talesa (o kącie w półokręgu)

Jeśli punkt $C$ leży na okręgu o średnicy $AB$ (i jest różny od $A$ i $B$ ), to kąt $ACB$ jest prosty:

$\sphericalangle ACB = 90^\circ.$

Twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeśli $\sphericalangle ACB = 90^\circ$ , to punkt $C$ leży na okręgu o średnicy $AB$ .

Co mówi twierdzenie

Narysuj okrąg, poprowadź średnicę i wybierz dowolny punkt na okręgu. Połącz go z końcami średnicy - powstały kąt zawsze będzie prosty. Nie „mniej więcej prosty”: dokładnie $90^\circ$ , niezależnie od tego, gdzie na okręgu postawisz wierzchołek.

Kąt wpisany oparty na średnicy AB. Odcinek OC (przerywany) to promień - klucz całego dowodu.

Uwaga o nazwie - dwa „twierdzenia Talesa”

W polskiej szkole twierdzeniem Talesa nazywa się twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych na ramionach kąta przeciętych prostymi równoległymi - omawiamy je w lekcji twierdzenie Talesa. Tymczasem w literaturze angielskiej i niemieckiej Thales’ theorem oznacza właśnie twierdzenie z tej strony - o kącie prostym w półokręgu.

Obie nazwy są uprawnione historycznie: starożytna tradycja przypisuje Talesowi kilka twierdzeń. Warto znać to rozdwojenie, bo przy korzystaniu z zagranicznych materiałów łatwo o nieporozumienie.

Dowód

Pokaż dowódUkryj dowód

Cały dowód opiera się na jednym pomyśle: poprowadzić promień do wierzchołka i rozbić trójkąt na dwa równoramienne.

Krok 1. Prowadzimy odcinek $OC$ . Punkt $O$ jest środkiem okręgu, więc

$|OA| = |OB| = |OC| = r$

wszystkie trzy odcinki to promienie.

Krok 2. Rozpoznajemy trójkąty równoramienne. Trójkąt $AOC$ ma ramiona $|OA| = |OC|$ , więc kąty przy podstawie $AC$ są równe - oznaczmy je $\alpha$ . Tak samo trójkąt $BOC$ ma $|OB| = |OC|$ , więc kąty przy podstawie $BC$ są równe - oznaczmy je $\beta$ .

Krok 3. Rozpisujemy kąt przy wierzchołku $C$ . Kąt $ACB$ składa się z kawałka należącego do trójkąta $AOC$ i kawałka z trójkąta $BOC$ :

$\sphericalangle ACB = \alpha + \beta.$

Krok 4. Sumujemy kąty trójkąta $ABC$ . Przy $A$ jest kąt $\alpha$ , przy $B$ kąt $\beta$ , przy $C$ kąt $\alpha + \beta$ :

$\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad 2(\alpha + \beta) = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha + \beta = 90^\circ.$

Kąt przy $C$ wynosi więc dokładnie $90^\circ$ . $\blacksquare$

Drugi dowód w jednym zdaniu. To szczególny przypadek twierdzenia o kącie wpisanym: kąt środkowy oparty na średnicy jest półpełny ( $180^\circ$ ), a kąt wpisany oparty na tym samym łuku to jego połowa, czyli $90^\circ$ . Możesz to sprawdzić na żywo w interaktywnej ilustracji kąta wpisanego - preset „kąt oparty na średnicy”.

Dowód twierdzenia odwrotnego

Pokaż dowódUkryj dowód

Załóżmy, że $\sphericalangle ACB = 90^\circ$ . Pokażemy, że $C$ leży na okręgu o średnicy $AB$ , czyli że $|OC| = \tfrac{1}{2}|AB|$ dla $O$ - środka odcinka $AB$ .

Krok 1. Dobudowujemy czwarty punkt. Niech $D$ będzie obrazem punktu $C$ w symetrii względem $O$ . Wtedy przekątne czworokąta $ACBD$ (czyli $AB$ i $CD$ ) połowią się w punkcie $O$ - a to oznacza, że $ACBD$ jest równoległobokiem.

Krok 2. Równoległobok z kątem prostym to prostokąt. Skoro kąt przy $C$ jest prosty, wszystkie kąty są proste.

Krok 3. Przekątne prostokąta są równe.

$|CD| = |AB| \quad\Longrightarrow\quad |OC| = \frac{|CD|}{2} = \frac{|AB|}{2}.$

Punkt $C$ jest więc odległy od $O$ dokładnie o promień - leży na okręgu. $\blacksquare$

Ten sam fakt wypowiada się często inaczej: w trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej ma długość połowy przeciwprostokątnej. To dokładnie równość $|OC| = \tfrac{1}{2}|AB|$ .

Przykład na liczbach

Zadanie. Punkt $C$ leży na okręgu o średnicy $|AB| = 13$ . Wiadomo, że $|AC| = 5$ . Oblicz $|BC|$ oraz odległość punktu $C$ od prostej $AB$ .

Krok 1. Rozpoznajemy kąt prosty. Kąt $ACB$ jest oparty na średnicy, więc trójkąt $ABC$ jest prostokątny z przeciwprostokątną $AB$ .

Krok 2. Twierdzenie Pitagorasa.

$|BC| = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12.$

Krok 3. Odległość od prostej $AB$ to wysokość opuszczona na przeciwprostokątną. Liczymy ją z pola: $P = \tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ oraz $P = \tfrac{1}{2} \cdot 13 \cdot h$ , skąd

$h = \frac{60}{13} \approx 4{,}62.$

Odpowiedź. $|BC| = 12$ , a odległość $C$ od $AB$ wynosi $\tfrac{60}{13}$ .

Po co to komu

Szukanie środka okręgu kątownikiem. Przyłóż wierzchołek kąta prostego do okręgu - ramiona przetną okrąg w końcach średnicy (to twierdzenie odwrotne w akcji). Powtórz w innym miejscu: przecięcie dwóch średnic to środek. Tak stolarz znajduje środek koła bez cyrkla.
Konstrukcja stycznej z punktu zewnętrznego. Aby poprowadzić styczną z punktu $P$ do okręgu o środku $O$ , kreśli się okrąg o średnicy $OP$ (tzw. okrąg Talesa) - jego przecięcia z danym okręgiem to punkty styczności, bo kąt między promieniem a styczną musi być prosty.
Miejsce geometryczne kątów prostych. Wszystkie punkty, z których odcinek $AB$ „widać” pod kątem prostym, tworzą okrąg o średnicy $AB$ (bez punktów $A$ i $B$ ). To standardowe narzędzie w zadaniach konstrukcyjnych i dowodowych - także w geometrii analitycznej, gdzie warunek prostopadłości od razu daje równanie okręgu.
W tym serwisie twierdzenie pracuje m.in. w geometrycznym dowodzie nierówności między średnimi i w zadaniach z zestawu kąty w okręgu.

Kto i kiedy

Tales z Miletu (ok. 624-546 p.n.e.) - kupiec, podróżnik, filozof i pierwszy z tzw. siedmiu mędrców - uchodzi za pierwszego człowieka, który twierdzenia matematyczne dowodził, zamiast tylko je stwierdzać. Tradycja (przekazana przez Diogenesa Laertiosa) głosi, że z radości po odkryciu twierdzenia o kącie w półokręgu złożył bogom w ofierze wołu.

Ile w tym prawdy - nie wiemy; z pism Talesa nie zachowało się nic, a relacje pochodzą z setek lat później. Pewne jest, że twierdzenie znali już Babilończycy tysiąc lat wcześniej - nowością grecką był dowód. Talesowi przypisuje się też przewidzenie zaćmienia Słońca (585 p.n.e.) i zmierzenie wysokości piramid z długości cienia - metodą, którą dziś opisujemy podobieństwem trójkątów.

Formalny dowód znajduje się w Elementach Euklidesa (księga III, twierdzenie 31), w wersji ogólniejszej - dla dowolnego kąta wpisanego.

Najczęstsze pytania

Dlaczego w polskiej szkole twierdzenie Talesa to co innego? To kwestia tradycji nazewniczej. Talesowi przypisywano kilka twierdzeń; w Polsce (i Francji) jego imię przylgnęło do twierdzenia o odcinkach proporcjonalnych, w krajach anglosaskich i niemieckich - do kąta w półokręgu. Oba przypisania są równie umowne.

Co się dzieje, gdy punkt $C$ zbliża się do końca średnicy? Trójkąt się spłaszcza, ale kąt przy $C$ pozostaje prosty aż do samego końca. Dla $C = A$ lub $C = B$ trójkąt znika - dlatego te dwa punkty wyłączamy z twierdzenia.

Czy twierdzenie działa dla cięciwy, która nie jest średnicą? Nie - wtedy kąt wpisany ma inną miarę: połowę kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wartość $90^\circ$ jest specjalnością średnicy, bo tylko dla niej kąt środkowy wynosi $180^\circ$ .

Jak brzmi wersja „na odwrót” i do czego służy? Jeśli kąt $ACB$ jest prosty, to $C$ leży na okręgu o średnicy $AB$ . Używa się jej częściej niż wersji prostej: pozwala wykrywać okręgi tam, gdzie ich nie widać - wszędzie, gdzie w zadaniu pojawia się kąt prosty oparty na stałym odcinku.

Czy Tales naprawdę udowodnił to twierdzenie? Nie mamy na to dowodu źródłowego - najstarsze relacje powstały kilkaset lat po jego śmierci. Historycy zgadzają się co do jednego: w VI wieku p.n.e. w Grecji narodziła się sama idea dowodu, a Tales jest jej najstarszym imiennym symbolem.

Podsumowanie

Kąt wpisany oparty na średnicy jest zawsze prosty; dowód mieści się w czterech krokach dzięki rozbiciu trójkąta promieniem $OC$ na dwa równoramienne.
Twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: wierzchołki kątów prostych opartych na $AB$ tworzą okrąg o średnicy $AB$ . Równoważnie: środkowa do przeciwprostokątnej to połowa przeciwprostokątnej.
To szczególny przypadek twierdzenia o kącie wpisanym ( $180^\circ : 2 = 90^\circ$ ).
Zastosowania: środek okręgu kątownikiem, konstrukcja stycznej z punktu zewnętrznego, miejsce geometryczne kątów prostych.
W Polsce „twierdzenie Talesa” oznacza twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych - za granicą właśnie to, opisane tutaj.