Proporcjonalność prosta - wzór, wykres i współczynnik

Klasa 1 liceum i technikum

Intuicja: ile razy więcej, tyle razy więcej

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy zmieniają się „w tym samym tempie”: jeśli jedna rośnie 2 razy, druga też rośnie 2 razy; jeśli jedna maleje 3 razy, druga maleje 3 razy.

Klasyczny przykład - zakupy: jeśli 1 kg jabłek kosztuje $4$ zł, to $2$ kg kosztują $8$ zł, a $3$ kg - $12$ zł. Ile razy więcej jabłek, tyle razy większy koszt. To właśnie proporcjonalność prosta.

Definicja

Mówimy, że wielkość $y$ jest wprost proporcjonalna do wielkości $x$, jeżeli $y = a \cdot x,$ gdzie $a$ jest pewną stałą liczbą różną od zera. Liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności.

Równoważnie: $y$ jest wprost proporcjonalna do $x$, gdy ich iloraz jest stały:

$\frac{y}{x} = a.$

To bardzo wygodny sprawdzian: jeśli dla wszystkich par danych stosunek $\frac{y}{x}$ daje wciąż tę samą liczbę, mamy proporcjonalność prostą. Wracając do jabłek: $\frac{4}{1} = \frac{8}{2} = \frac{12}{3} = 4$ - stosunek jest stały i równy $4$ (cena za kilogram).

Wykres proporcjonalności prostej

Wzór $y = ax$ to szczególny przypadek funkcji liniowej (z wyrazem wolnym równym zero), więc jego wykresem jest prosta. Co ważne: ta prosta zawsze przechodzi przez początek układu $(0,0)$

• bo dla $x = 0$ mamy $y = a \cdot 0 = 0$.

Im większy współczynnik $a$, tym prosta jest bardziej „stroma”. Gdy $a > 0$, prosta wznosi się (jak wyżej); gdy $a < 0$, opada.

Jak wyznaczyć współczynnik proporcjonalności

Wystarczy jedna para odpowiadających sobie wartości $x$ i $y$ (różnych od zera) - dzielimy $y$ przez $x$.

Przykład. Samochód jadący ze stałą prędkością w $3$ godziny przejechał $210$ km. Droga jest wprost proporcjonalna do czasu. Wyznacz współczynnik proporcjonalności i wzór.

Współczynnik to iloraz drogi przez czas:

$a = \frac{210 \text{ km}}{3 \text{ h}} = 70 \ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}.$

To po prostu prędkość. Wzór wiążący drogę $s$ z czasem $t$:

$s = 70 \cdot t.$

Dzięki niemu policzymy drogę dla dowolnego czasu, np. po $5$ godzinach: $s = 70 \cdot 5 = 350$ km.

Uwaga: nie każda zależność jest proporcjonalnością

Jeśli „na starcie” jest jakaś wartość niezerowa, proporcjonalności nie ma. Przykład: taksówka pobiera $8$ zł opłaty początkowej plus $3$ zł za kilometr. Koszt $2$ km to $8 + 6 = 14$ zł, a $4$ km to $8 + 12 = 20$ zł. Tu $\frac{14}{2} = 7$, ale $\frac{20}{4} = 5$ - stosunek nie jest stały, więc to nie jest proporcjonalność prosta. To już ogólniejsza funkcja liniowa$y = 3x + 8$ (z niezerowym wyrazem wolnym) - i nią zajmiemy się w następnej lekcji.

Najczęstsze pytania

Czym różni się proporcjonalność prosta od zwykłej funkcji liniowej? Proporcjonalność prosta to szczególny przypadek funkcji liniowej - taki, w którym wyraz wolny jest zerowy: $y = ax$. Jej wykres zawsze przechodzi przez początek układu współrzędnych. Funkcja $y = 2x + 3$ jest liniowa, ale proporcjonalnością już nie.

Jak sprawdzić, czy dane z tabeli są wprost proporcjonalne? Policz iloraz $\dfrac{y}{x}$ dla każdej pary. Jeśli za każdym razem wychodzi ta sama liczba, zależność jest proporcjonalnością, a ten iloraz to współczynnik $a$. Wystarczy jeden odstający wynik, żeby przesądzić, że nie jest.

Czy „im więcej, tym więcej” zawsze oznacza proporcjonalność? Nie. Proporcjonalność wymaga, żeby dwa razy większemu argumentowi odpowiadała dwa razy większa wartość. Opłata za prąd z abonamentem rośnie razem ze zużyciem, ale proporcjonalnością nie jest, bo przy zerowym zużyciu i tak płacimy abonament.

Czy współczynnik proporcjonalności może być ujemny? Tak - wtedy wzrostowi $x$ towarzyszy spadek $y$, a wykres opada. Nie może być natomiast równy zeru, bo $y = 0$ dla każdego argumentu nie opisuje już żadnej zależności między wielkościami.

Podsumowanie

• $y$ jest wprost proporcjonalna do $x$, gdy $y = ax$ dla pewnej stałej $a \ne 0$.
• Sprawdzian: iloraz $\frac{y}{x}$ jest stały i równy współczynnikowi proporcjonalności $a$.
• Wykres to prosta przez początek układu $(0,0)$.
• Współczynnik $a$ wyznaczamy, dzieląc $y$ przez odpowiadające $x$.