Rozwiązywanie trójkątów - twierdzenie sinusów i cosinusów

Klasa 2 liceum i technikum

Rozwiązać trójkąt to znaczy wyznaczyć wszystkie jego boki i kąty z trzech danych, wśród których jest co najmniej jeden bok. Do dowolnego trójkąta (nie tylko prostokątnego) wystarczą dwa narzędzia: twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów - plus suma kątów $180^\circ$.

Trójkąty prostokątne rozwiązywaliśmy w pierwszej klasie trygonometrią kąta ostrego. Tutaj kąta prostego nie zakładamy. Cała sztuka polega na tym, żeby z danych od razu rozpoznać, które twierdzenie ruszy zadanie.

Jakie dane - które twierdzenie

Dane opisujemy literami: B - bok, K - kąt, w kolejności, w jakiej leżą na obwodzie trójkąta. „BKB” to dwa boki i kąt między nimi, „BBK” - dwa boki i kąt, który nie leży między nimi.

Ostatni wiersz to ważna uwaga: trzy kąty wyznaczają tylko kształt trójkąta, a nie jego wielkość - wszystkie takie trójkąty są podobne. Do rozwiązania potrzebny jest choć jeden bok. Pozostałe cztery przypadki odpowiadają cechom przystawania trójkątów - z wyjątkiem BBK, który cechą przystawania nie jest i dlatego bywa niejednoznaczny.

Strategia krok po kroku

1. Szkic. Narysuj trójkąt, podpisz dane. Zaznacz pary „bok - kąt naprzeciw”.
2. Rozpoznaj typ danych (BKB, KBK, BBB, BBK) i wybierz twierdzenie z tabeli.
3. Licz najpierw to, co wyznacza się jednoznacznie. Bok z twierdzenia cosinusów i kąt z cosinusa są jednoznaczne; kąt z sinusa - nie zawsze.
4. Kąt z sinusa licz naprzeciw krótszego boku. Kąt naprzeciw krótszego z dwóch boków nie może być rozwarty, więc kalkulator poda od razu właściwy kąt ostry. Największy kąt licz z cosinusa albo z sumy $180^\circ$.
5. Kontrola. Suma kątów $180^\circ$, naprzeciw największego kąta najdłuższy bok. Wynik możesz też porównać z kalkulatorem trójkąta.

Przykład 1 - BKB: cały trójkąt, pole i promienie

Zadanie. Boki $b = 6$ i $c = 10$ tworzą kąt $\alpha = 70^\circ$. Rozwiąż trójkąt, oblicz jego pole i promienie okręgów opisanego i wpisanego. Wyniki zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.

Krok 1. Trzeci bok - twierdzenie cosinusów ($\cos 70^\circ \approx 0{,}342$):

$a^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos 70^\circ \approx 136 - 41{,}04 = 94{,}96, \qquad a \approx 9{,}74.$

Krok 2. Kąt naprzeciw krótszego boku $b = 6$ - twierdzenie sinusów. Leży naprzeciw krótszego boku, więc jest ostry:

$\sin\beta = \frac{b\sin\alpha}{a} = \frac{6 \cdot \sin 70^\circ}{9{,}74} \approx 0{,}579, \qquad \beta \approx 35{,}35^\circ.$

Krok 3. Trzeci kąt z sumy: $\gamma \approx 180^\circ - 70^\circ - 35{,}35^\circ = 74{,}65^\circ$.

Kontrola. Najdłuższy bok $c = 10$ leży naprzeciw największego kąta $\gamma \approx 74{,}65^\circ$. Zgadza się.

Krok 4. Pole - ze wzoru z sinusem kąta między danymi bokami (więcej wzorów w lekcji pole trójkąta - wzory):

$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 70^\circ \approx 28{,}19.$

Krok 5. Promień okręgu opisanego - z twierdzenia sinusów: $R = \frac{a}{2\sin\alpha} \approx \frac{9{,}745}{2 \cdot 0{,}9397} \approx 5{,}19$.

Krok 6. Promień okręgu wpisanego - z pola i obwodu: $r = \frac{2P}{a + b + c} \approx \frac{56{,}38}{25{,}74} \approx 2{,}19$.

Odpowiedź. $a \approx 9{,}74$, $\beta \approx 35{,}35^\circ$, $\gamma \approx 74{,}65^\circ$, $P \approx 28{,}19$, $R \approx 5{,}19$, $r \approx 2{,}19$.

Przypadek BBB krok po kroku (z wzorem Herona i wysokościami) rozpisuje lekcja rozwiązywanie trójkąta z trzech boków, a przypadki KBK i BBK - lekcja o twierdzeniu sinusów.

Zadanie 1 - odległość dwóch punktów przez jezioro

Zadanie. Punkty $A$ i $B$ leżą na przeciwnych brzegach jeziora. Geodeta stoi w punkcie $C$, z którego widzi oba: $|CA| = 120$ m, $|CB| = 150$ m, a kąt $ACB$ ma $65^\circ$. Oblicz odległość $|AB|$ z dokładnością do metra.

Krok 1. Typ danych. Dwa boki i kąt między nimi - BKB, więc twierdzenie cosinusów.

Krok 2. Rachunek ($\cos 65^\circ \approx 0{,}4226$):

$|AB|^2 = 120^2 + 150^2 - 2 \cdot 120 \cdot 150 \cdot \cos 65^\circ \approx 14\,400 + 22\,500 - 15\,214{,}26 = 21\,685{,}74.$

$|AB| \approx 147{,}26 \text{ m}.$

Odpowiedź. Odległość wynosi około $147$ m.

Zadanie 2 - wysokość wieży, do której nie można podejść

Zadanie. Z punktu $A$ szczyt wieży $T$ widać pod kątem $30^\circ$ do poziomu. Po przejściu $50$ m w stronę wieży (do punktu $B$) kąt wzniesienia wynosi $45^\circ$. Oblicz wysokość wieży.

Krok 1. Kąty w trójkącie $ABT$. Kąt przy $B$ jest przyległy do kąta $45^\circ$: $|\angle ABT| = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Kąt przy $T$: $180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$.

Krok 2. Bok $BT$ - twierdzenie sinusów (dane KBK: bok $AB = 50$ i kąty przy nim):

$\frac{|BT|}{\sin 30^\circ} = \frac{50}{\sin 15^\circ} \quad\Longrightarrow\quad |BT| = \frac{50 \cdot \frac{1}{2}}{\sin 15^\circ} \approx \frac{25}{0{,}2588} \approx 96{,}59 \text{ m}.$

Krok 3. Wysokość - z trójkąta prostokątnego $BDT$:

$h = |BT| \cdot \sin 45^\circ \approx 96{,}59 \cdot 0{,}7071 \approx 68{,}30 \text{ m}.$

Dokładnie: $h = 25(\sqrt{3} + 1)$ m.

Odpowiedź. Wieża ma około $68{,}3$ m wysokości.

Ten sam typ zadania da się rozwiązać samymi tangensami i układem równań (tak liczymy w zadaniu wysokość wieży z dwóch kątów wzniesienia). Twierdzenie sinusów daje rachunek bez układu równań.

Zadanie 3 - nawigacja: jak daleko od portu?

Zadanie. Statek wypływa z portu $P$ i płynie $12$ km na wschód do punktu $Z$. Tam skręca w lewo o $40^\circ$ i płynie jeszcze $8$ km do punktu $S$. Jak daleko jest od portu? Pod jakim kątem do kierunku wschodniego trzeba płynąć z portu, żeby trafić prosto do $S$?

Krok 1. Kąt w trójkącie. Skręt o $40^\circ$ to kąt zewnętrzny; kąt w trójkącie $PZS$ przy wierzchołku $Z$ ma $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. To najczęstsza pułapka w zadaniach nawigacyjnych.

Krok 2. Odległość - twierdzenie cosinusów (BKB; $\cos 140^\circ = -\cos 40^\circ \approx -0{,}766$):

$d^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos 140^\circ \approx 144 + 64 + 147{,}08 = 355{,}08, \qquad d \approx 18{,}84 \text{ km}.$

Krok 3. Kurs z portu - twierdzenie sinusów. Kąt przy $P$ leży naprzeciw krótszego boku ($8$ km), więc jest ostry:

$\sin\angle P = \frac{8 \cdot \sin 140^\circ}{d} \approx \frac{8 \cdot 0{,}643}{18{,}84} \approx 0{,}273, \qquad \angle P \approx 15{,}84^\circ.$

Odpowiedź. Statek jest około $18{,}84$ km od portu; prosto do punktu $S$ trzeba płynąć pod kątem około $15{,}8^\circ$ na północ od kierunku wschodniego.

Typowe błędy

• Wybór twierdzenia „na ślepo”. Zanim zaczniesz liczyć, nazwij typ danych (BKB, KBK, BBB, BBK). Twierdzenie sinusów przy BKB nie ruszy - w każdym ułamku są dwie niewiadome.
• Kąt zewnętrzny zamiast wewnętrznego. W zadaniach z kątem wzniesienia i z kursem statku kąt w trójkącie to często $180^\circ$ minus kąt z treści.
• Kąt rozwarty z sinusa. Jeśli największy kąt liczysz z sinusa, kalkulator poda kąt ostry, nawet gdy prawdziwy jest rozwarty. Licz z sinusa kąty naprzeciw krótszych boków.
• Zaokrąglanie po drodze. Zaokrąglaj dopiero wynik końcowy; pośrednie wartości trzymaj z kilkoma miejscami po przecinku.

Najczęstsze pytania

Co to znaczy rozwiązać trójkąt?

Wyznaczyć wszystkie jego boki i kąty z danych trzech elementów, z których co najmniej jeden jest bokiem. Często dochodzi do tego pole i promienie okręgów opisanego i wpisanego.

Kiedy twierdzenie sinusów, a kiedy cosinusów?

Cosinusów - gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki. Sinusów - gdy znasz bok i dwa kąty albo dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich.

Czy można rozwiązać trójkąt, znając tylko trzy kąty?

Nie. Trzy kąty wyznaczają kształt, ale nie wielkość - pasuje do nich nieskończenie wiele trójkątów podobnych. Potrzebna jest długość co najmniej jednego boku.

Jak obliczyć odległość między dwoma punktami, do których nie da się dojść?

Wybierz trzeci punkt, z którego widać oba, zmierz odległości do nich i kąt między kierunkami - to dane BKB, więc twierdzenie cosinusów daje szukaną odległość.

Jak obliczyć wysokość obiektu z dwóch kątów wzniesienia?

Z różnicy kątów policz kąt przy szczycie, potem z twierdzenia sinusów odległość od bliższego punktu obserwacji do szczytu, a na końcu wysokość jako ta odległość razy sinus kąta wzniesienia.

Przećwicz

• Rozwiązywanie trójkątów → - pełne rozwiązanie trójkąta z danych BKB, KBK, BBB i BBK, w tym przypadek niejednoznaczny z dwoma trójkątami.
• Zadania tekstowe → - tunel, szerokość rzeki, wysokość masztu, statki i samolot, wypadkowa dwóch sił, działka.
• Czworokąty i wielokąty → - przekątne równoległoboku i trapezu, romb, sześciokąt foremny, czworokąt wpisany w okrąg.

Podsumowanie

• Rozwiązanie trójkąta = wszystkie boki i kąty z trzech danych (w tym co najmniej jeden bok).
• BKB, BBB → twierdzenie cosinusów; KBK, BBK → twierdzenie sinusów; KKK → za mało danych.
• Licz najpierw to, co jednoznaczne: bok z cosinusów, kąt z cosinusa; kąt z sinusa - naprzeciw krótszego boku.
• W zadaniach tekstowych zacznij od szkicu i sprawdź, czy kąt z treści jest kątem trójkąta, czy kątem zewnętrznym.
• Pole $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, promienie $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$ i $r = \frac{2P}{a + b + c}$ domykają zadanie.

Co dalej

• Poprzednie lekcje: twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów.
• Następna lekcja: pole figury płaskiej.
• Pole z trzech boków: wzór Herona.
• Trójkąt prostokątny: zadania - rozwiązywanie trójkąta prostokątnego i zastosowania trygonometrii.
• Sprawdź wynik: kalkulator trójkąta.
• Dowody: twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów.