Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie

Klasa 1 liceum i technikum

Wysokość trójkąta

Wysokością trójkąta opuszczoną z danego wierzchołka nazywamy odcinek łączący ten wierzchołek z jego rzutem prostopadłym na prostą zawierającą przeciwległy bok.

Każdy trójkąt ma trzy wysokości - po jednej z każdego wierzchołka. Słowo „prostą zawierającą” w definicji nie jest przypadkowe: w trójkącie rozwartokątnym spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta ostrego wypada poza bokiem - na jego przedłużeniu.

Twierdzenie. Proste zawierające trzy wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, zwanym ortocentrum.

Położenie ortocentrum zależy od rodzaju trójkąta: w ostrokątnym leży wewnątrz trójkąta, w prostokątnym pokrywa się z wierzchołkiem kąta prostego (dwie wysokości to po prostu przyprostokątne!), a w rozwartokątnym leży na zewnątrz trójkąta.

Wysokość jest kluczem do pola trójkąta:

$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a,$

gdzie $h_a$ to wysokość opuszczona na bok $a$. Wzór działa dla każdej z trzech par bok-wysokość - to często wykorzystywany trik.

Przykład 1. Boki trójkąta mają długości $a = 12$ i $b = 8$, a wysokość opuszczona na bok $a$ wynosi $h_a = 6$. Oblicz wysokość opuszczoną na bok $b$.

Krok 1. Pole liczone „przez $a$”: $P = \tfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36$.

Krok 2. To samo pole liczone „przez $b$”: $36 = \tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot h_b$, więc $h_b = \tfrac{72}{8} = 9$.

Odpowiedź: $h_b = 9$. (Im krótszy bok, tym dłuższa opuszczona na niego wysokość.)

Środkowa trójkąta

Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

Każdy trójkąt ma trzy środkowe - i one także przecinają się w jednym punkcie.

Twierdzenie. Trzy środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie - środku ciężkości trójkąta. Punkt ten dzieli każdą środkową w stosunku $2 : 1$, licząc od wierzchołka.

Nazwa nie jest metaforą: trójkąt wycięty z kartonu można podeprzeć palcem dokładnie w tym punkcie i pozostanie w równowadze. Środek ciężkości zawsze leży wewnątrz trójkąta (w przeciwieństwie do ortocentrum).

Przykład 2. Środkowa trójkąta ma długość $18$. Na jakie odcinki dzieli ją środek ciężkości?

Stosunek $2:1$ od wierzchołka oznacza podział na $\tfrac{2}{3}$ i $\tfrac{1}{3}$ długości:

$\frac{2}{3} \cdot 18 = 12 \qquad \text{oraz} \qquad \frac{1}{3} \cdot 18 = 6.$

Odpowiedź: Odcinki mają długości $12$ (od wierzchołka) i $6$ (przy boku).

Przykład 3. W trójkącie równoramiennym o podstawie $12$ i ramionach $10$ poprowadzono środkową do podstawy. Oblicz jej długość.

Krok 1. W trójkącie równoramiennym środkowa poprowadzona do podstawy jest jednocześnie wysokością (i dwusieczną, i symetralną podstawy) - to skutek symetrii trójkąta.

Krok 2. Dzieli więc trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnej $6$ (połowa podstawy) i przeciwprostokątnej $10$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$h^2 = 10^2 - 6^2 = 64 \quad\Longrightarrow\quad h = 8.$

Odpowiedź: Środkowa (zarazem wysokość) ma długość $8$.

Wysokość a środkowa - nie myl ich!

Oba odcinki wychodzą z wierzchołka, ale trafiają w inne miejsca: wysokość - prostopadle (do prostej z bokiem), środkowa - w środek boku. Pokrywają się tylko w sytuacjach szczególnych: w trójkącie równoramiennym dla podstawy oraz w równobocznym dla każdego boku (tam wysokość = środkowa = dwusieczna = symetralna).

Najczęstsze pytania

Czy wysokość zawsze leży wewnątrz trójkąta? Nie. W trójkącie rozwartokątnym wysokości z wierzchołków kątów ostrych opadają na przedłużenia boków - leżą na zewnątrz trójkąta. Wewnątrz leżą wszystkie trzy tylko w trójkącie ostrokątnym.

Co to jest ortocentrum i gdzie leży? Punkt przecięcia prostych zawierających wysokości. W trójkącie ostrokątnym - wewnątrz, w prostokątnym - w wierzchołku kąta prostego, w rozwartokątnym - na zewnątrz.

W jakim stosunku środek ciężkości dzieli środkową?$2:1$, licząc od wierzchołka: dwie trzecie środkowej przypada między wierzchołkiem a środkiem ciężkości.

Kiedy środkowa jest jednocześnie wysokością? Gdy trójkąt jest równoramienny, a środkowa prowadzi do podstawy (w równobocznym - dla każdego boku).

Podsumowanie

• Wysokość: z wierzchołka prostopadle do prostej z przeciwległym bokiem; trzy wysokości przecinają się w ortocentrum; $P = \tfrac{1}{2} a h_a$.
• Środkowa: z wierzchołka do środka przeciwległego boku; trzy środkowe przecinają się w środku ciężkości, który dzieli każdą w stosunku $2:1$ od wierzchołka.
• Ortocentrum może leżeć poza trójkątem; środek ciężkości - nigdy.
• W trójkącie równoramiennym (dla podstawy) wysokość, środkowa, dwusieczna i symetralna to jeden odcinek.