Funkcja kwadratowa

Q: Co jest wykresem funkcji kwadratowej?

Parabola - krzywa symetryczna względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek. Dla a > 0 ramiona są skierowane w górę, dla a < 0 - w dół.

Q: Co to jest wierzchołek paraboli?

Najniższy (gdy a > 0) albo najwyższy (gdy a < 0) punkt wykresu. W wierzchołku funkcja kwadratowa osiąga swoją wartość najmniejszą albo największą.

Q: Ile miejsc zerowych może mieć funkcja kwadratowa?

Dwa, jedno albo żadnego - zależnie od tego, czy parabola przecina oś OX, dotyka jej, czy leży w całości nad nią lub pod nią.

Q: Czym różni się funkcja kwadratowa od liniowej?

Wzorem (występuje składnik ax² z a ≠ 0) i wykresem: zamiast prostej - parabola. Funkcja kwadratowa nie jest monotoniczna na całej dziedzinie: najpierw maleje, potem rośnie (lub odwrotnie).

Klasa 1 liceum i technikum

Funkcja kwadratowa - co warto zapamiętać

$f(x) = ax^2 + bx + c \qquad a \ne 0$

Wykres to parabola: dla $a > 0$ ramiona w górę, dla $a < 0$ - w dół.

Najważniejszy punkt paraboli to wierzchołek - w nim funkcja osiąga wartość najmniejszą (gdy $a > 0$ ) albo największą (gdy $a < 0$ ).

Parabola jest symetryczna względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek.

Definicja

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję określoną wzorem $f(x) = ax^2 + bx + c,$ gdzie $a$ , $b$ , $c$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a \ne 0$ .

Warunek $a \ne 0$ jest istotny: gdyby $a = 0$ , składnik z $x^2$ by zniknął i zostałaby funkcja liniowa $f(x) = bx + c$ . Współczynniki $b$ i $c$ mogą natomiast być zerami - najprostsza funkcja kwadratowa to $f(x) = x^2$ (czyli $a = 1$ , $b = 0$ , $c = 0$ ).

Dziedziną funkcji kwadratowej jest cały zbiór $\mathbb{R}$ .

Uwaga: w tej lekcji poznajemy funkcję kwadratową przeglądowo - wykres i podstawowe własności. Pełna teoria (postać kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik $\Delta$ , wzory Viète’a, równania i nierówności kwadratowe) czeka w osobnym dziale: Funkcja kwadratowa.

Najprostszy przykład: y = x²

Policzmy kilka wartości funkcji $f(x) = x^2$ :

$f(-2) = 4, \quad f(-1) = 1, \quad f(0) = 0, \quad f(1) = 1, \quad f(2) = 4.$

Po zaznaczeniu punktów i połączeniu ich gładką linią otrzymujemy charakterystyczną krzywą - parabolę:

Wykres funkcji y = x² - parabola o ramionach skierowanych w górę, z wierzchołkiem w punkcie (0, 0).

Zwróć uwagę na trzy rzeczy:

najniższy punkt wykresu to $(0, 0)$ - wierzchołek paraboli;
wykres jest symetryczny względem osi $OY$ : $f(-2) = f(2)$ , $f(-1) = f(1)$ itd.;
ramiona biegną w górę coraz stromiej.

Parabola w ogólności: wierzchołek, ramiona, oś symetrii

Wykres każdej funkcji kwadratowej wygląda jak parabola $y = x^2$ - może być tylko przesunięty, odbity (ramionami w dół) albo węższy/szerszy. Spójrzmy na funkcję $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ :

Parabola f(x) = -x² + 2x + 3: ramiona w dół (a = -1 < 0), wierzchołek W = (1, 4), miejsca zerowe x = -1 i x = 3. Linia przerywana to oś symetrii x = 1.

Na tym jednym wykresie widać wszystkie kluczowe pojęcia:

kierunek ramion wyznacza znak współczynnika $a$ : tu $a = -1 < 0$ , więc ramiona biegną w dół; dla $a > 0$ biegłyby w górę;
wierzchołek $W = (1, 4)$ to najwyższy punkt wykresu (przy ramionach w dół) - funkcja osiąga w nim wartość największą, równą 4;
oś symetrii to pionowa prosta $x = 1$ przechodząca przez wierzchołek - lewa i prawa połowa paraboli są swoimi lustrzanymi odbiciami;
miejsca zerowe $x = -1$ oraz $x = 3$ leżą symetrycznie po obu stronach osi symetrii. Parabola może przecinać oś $OX$ w dwóch punktach, dotykać jej w jednym (wierzchołkiem) albo nie mieć z nią punktów wspólnych.

Własności odczytywane z wykresu

Zbierzmy własności funkcji $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ odczytane z paraboli:

dziedzina: $\mathbb{R}$ ; zbiór wartości: $(-\infty,\ 4\rangle$ ;
miejsca zerowe: $x = -1$ oraz $x = 3$ ;
monotoniczność: funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty,\ 1\rangle$ i malejąca w przedziale $\langle 1,\ +\infty)$ - granicą jest odcięta wierzchołka;
wartość największa: $4$ (przyjmowana dla $x = 1$ ); wartości najmniejszej nie ma.

Dla paraboli z ramionami w górę jest dokładnie odwrotnie: funkcja najpierw maleje, potem rośnie, a w wierzchołku przyjmuje wartość najmniejszą.

Zobacz to na żywo. W interaktywnym rysowniku funkcji przesuwaj suwaki $a$ , $b$ , $c$ i obserwuj, jak zmienia się parabola: kierunek i „rozwarcie” ramion (suwak $a$ ), położenie wierzchołka, miejsca zerowe.

Jak współczynniki wpływają na wykres?

Na początek wystarczą trzy obserwacje (sprawdź każdą w rysowniku):

znak $a$ - kierunek ramion: $a > 0$ w górę, $a < 0$ w dół;
wartość $|a|$ - „szerokość” paraboli: im większe $|a|$ , tym parabola węższa (np. $y = 3x^2$ jest węższa od $y = x^2$ , a $y = \tfrac{1}{4}x^2$ - szersza);
współczynnik $c$ - punkt przecięcia z osią $OY$ : $f(0) = c$ , więc wykres zawsze przechodzi przez punkt $(0, c)$ .

Najczęstsze pytania

Co jest wykresem funkcji kwadratowej? Parabola - krzywa symetryczna względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek. Dla $a > 0$ ramiona są skierowane w górę, dla $a < 0$ - w dół.

Co to jest wierzchołek paraboli? Najniższy (gdy $a > 0$ ) albo najwyższy (gdy $a < 0$ ) punkt wykresu. W wierzchołku funkcja kwadratowa osiąga swoją wartość najmniejszą albo największą.

Ile miejsc zerowych może mieć funkcja kwadratowa? Dwa, jedno albo żadnego - zależnie od tego, czy parabola przecina oś $OX$ , dotyka jej, czy leży w całości nad nią lub pod nią.

Czym różni się funkcja kwadratowa od liniowej? Wzorem (występuje składnik $ax^2$ z $a \ne 0$ ) i wykresem: zamiast prostej - parabola. Funkcja kwadratowa nie jest monotoniczna na całej dziedzinie: najpierw maleje, potem rośnie (lub odwrotnie).

Przećwicz

Wykres funkcji y = ax² → - rola współczynnika a i wyznaczanie go z punktu wykresu.

Podsumowanie

Funkcja kwadratowa: $f(x) = ax^2 + bx + c$ , gdzie $a \ne 0$ ; dziedzina $\mathbb{R}$ .
Wykres to parabola: $a > 0$ - ramiona w górę (wierzchołek = minimum), $a < 0$ - ramiona w dół (wierzchołek = maksimum).
Parabola ma oś symetrii - pionową prostą przez wierzchołek; miejsca zerowe (jeśli są) leżą symetrycznie względem niej.
Funkcja kwadratowa zmienia monotoniczność dokładnie w wierzchołku.
Wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0, c)$ .