Proste równania z wartością bezwzględną

Klasa 2 liceum i technikum

Dwa sposoby na to samo równanie

Rozwiążmy $|x - 3| = 5$.

Sposób 1 - geometrycznie. Szukamy liczb oddalonych od $3$ o $5$ jednostek. Odmierzamy w obie strony:

$x = 3 - 5 = -2 \qquad \text{oraz} \qquad x = 3 + 5 = 8.$

Sposób 2 - z własności modułu. Wyrażenie pod modułem musi być równe $5$ albo $-5$:

$x - 3 = 5 \quad\Longrightarrow\quad x = 8, \qquad\qquad x - 3 = -5 \quad\Longrightarrow\quad x = -2.$

Oba sposoby dają to samo. Pierwszy jest szybszy w pamięci, drugi - pewniejszy, gdy pod modułem stoi coś bardziej rozbudowanego.

Odpowiedź. $x = -2$ lub $x = 8$.

Przykład z ujemną liczbą w środku

Rozwiążmy $|x + 4| = 6$.

Zapisujemy moduł jako odległość od $-4$ (bo $|x + 4| = |x - (-4)|$) i odmierzamy $6$ w obie strony:

$x = -4 - 6 = -10 \qquad \text{lub} \qquad x = -4 + 6 = 2.$

Sprawdzenie. $|-10 + 4| = |-6| = 6$ oraz $|2 + 4| = 6$. Zgadza się.

Gdy pod modułem stoi całe wyrażenie

Metoda jest ta sama - rozbijamy na dwa równania.

Przykład. Rozwiąż $|2x - 1| = 7$.

$2x - 1 = 7 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 8 \quad\Longrightarrow\quad x = 4,$

$2x - 1 = -7 \quad\Longrightarrow\quad 2x = -6 \quad\Longrightarrow\quad x = -3.$

Odpowiedź. $x = -3$ lub $x = 4$.

Uwaga. Tutaj interpretacja „odległość od $\tfrac{1}{2}$” też działa, ale trzeba pamiętać, że promień zmienia się przez współczynnik przy $x$. W takich przypadkach szybciej i bezpieczniej jest rozbić równanie na dwa.

Przypadki szczególne

Prawa strona ujemna - brak rozwiązań, bo moduł nigdy nie jest ujemny:

$|x - 5| = -3 \quad\Longrightarrow\quad \text{brak rozwiązań}.$

Prawa strona równa zero - jedno rozwiązanie, bo moduł zeruje się tylko dla zera pod modułem:

$|x - 5| = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 5.$

Warto sprawdzić te dwa przypadki przed rozpisywaniem czegokolwiek - oszczędza to sporo pracy.

Moduł po obu stronach

Gdy równanie ma postać $|W_1| = |W_2|$, wyrażenia muszą być równe albo przeciwne:

$|W_1| = |W_2| \iff W_1 = W_2 \ \text{ lub } \ W_1 = -W_2.$

Przykład. Rozwiąż $|x - 1| = |x + 3|$.

$x - 1 = x + 3 \quad\Longrightarrow\quad -1 = 3 \quad \text{- sprzeczność},$

$x - 1 = -(x + 3) \quad\Longrightarrow\quad x - 1 = -x - 3 \quad\Longrightarrow\quad 2x = -2 \quad\Longrightarrow\quad x = -1.$

Odpowiedź. $x = -1$.

Geometrycznie: szukaliśmy liczby jednakowo oddalonej od $1$ i od $-3$, czyli środka odcinka o końcach $-3$ i $1$. Rzeczywiście $\frac{-3+1}{2} = -1$.

Suma modułów równa zero

Ciekawy typ zadania: skoro każdy moduł jest nieujemny, ich suma zeruje się tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem.

Przykład. $|x - 2| + |y + 5| = 0$ zachodzi dokładnie wtedy, gdy $x = 2$ oraz $y = -5$.

Najczęstsze pytania

Dlaczego rozbijamy na dwa równania? Bo moduł „gubi znak”: jeśli $|W| = 5$, to $W$ mogło być równe $5$ albo $-5$. Trzeba rozważyć obie możliwości, żeby nie zgubić rozwiązania.

Czy zawsze wychodzą dwa rozwiązania? Nie. Dla prawej strony dodatniej - tak (o ile pod modułem jest wyrażenie liniowe), dla zera - jedno, dla liczby ujemnej - żadne. Czasem jedno z równań okazuje się sprzeczne, jak w przykładzie z dwoma modułami.

Czy trzeba sprawdzać rozwiązania? Przy tak prostych równaniach nie jest to konieczne - przekształcenia są równoważne. Sprawdzenie zajmuje jednak chwilę i wyłapuje błędy rachunkowe, więc warto.

Czy $|2x - 1| = 7$ można rozwiązać „na odległość”? Można, ale trzeba najpierw wyłączyć dwójkę: $|2x - 1| = 2\left|x - \tfrac{1}{2}\right|$, więc warunek to $\left|x - \tfrac{1}{2}\right| = 3{,}5$. Wychodzi to samo, tylko dłużej.

Co, gdy niewiadoma jest też poza modułem? Wtedy to już nie jest „proste równanie” - potrzebna jest metoda przypadków.

Przećwicz

• Proste równania i nierówności z modułem →
  • równania typu |x − a| = r, także z modułem po obu stronach.

Podsumowanie

• $|W| = r$ dla $r > 0$ rozbijamy na $W = r$ oraz $W = -r$.
• $|W| = 0$ daje jedno rozwiązanie, a $|W| = r$ dla $r < 0$ - żadnego.
• $|W_1| = |W_2|$ oznacza $W_1 = W_2$ albo $W_1 = -W_2$.
• Suma modułów równa zero wymusza zerowanie się każdego składnika.