Nierówności liniowe z parametrem

Q: Dlaczego przy a < 0 zwrot się odwraca?

Bo mnożenie i dzielenie przez liczbę ujemną odwraca porządek liczb: z 2 -3. To ta sama zasada, co przy zwykłych nierównościach.

Q: Czy przypadek a = 0 zawsze daje sprzeczność?

Nie. Zależy od pozostałej nierówności liczbowej: 0 > 6 jest fałszem (brak rozwiązań), ale 0 ≤ 3 jest prawdą (całe R).

Klasa 2 liceum i technikum

Dyskusja nierówności ax > b

$a > 0 \ \Rightarrow \ x > \frac{b}{a} \qquad\qquad a < 0 \ \Rightarrow \ x < \frac{b}{a} \ \text{(zwrot się ODWRACA)}$

$a = 0 \ \Rightarrow \ \text{nierówność } 0 > b: \ \text{prawdziwa dla każdego } x \ \text{ albo sprzeczna}$

Jedna różnica względem równań

Schemat jest ten sam co przy równaniach z parametrem, ale dochodzi rzecz, o której łatwo zapomnieć: dzielenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Skoro nie wiemy, czy współczynnik przy $x$ jest dodatni, czy ujemny, musimy rozważyć trzy przypadki zamiast dwóch.

Schemat postępowania

Doprowadź nierówność do postaci $ax > b$ (albo $\ge$ , $<$ , $\le$ ).
Rozważ trzy przypadki: $a > 0$ , $a < 0$ oraz $a = 0$ .
Przy $a < 0$ odwróć zwrot po podzieleniu.
Przy $a = 0$ sprawdź, czy powstała nierówność liczbowa jest prawdziwa, czy fałszywa.
Zapisz odpowiedź w podziale na przypadki.

Przykład 1 - podstawowy

Przeprowadź dyskusję nierówności $(m - 2)x > 6$ .

Przypadek A: $m > 2$ (współczynnik dodatni). Dzielimy bez zmiany zwrotu:

$x > \frac{6}{m-2}.$

Przypadek B: $m < 2$ (współczynnik ujemny). Dzielimy i odwracamy zwrot:

$x < \frac{6}{m-2}.$

Zauważ, że dla $m < 2$ prawa strona jest liczbą ujemną - to naturalne.

Przypadek C: $m = 2$ . Nierówność przyjmuje postać

$0 \cdot x > 6, \qquad \text{czyli} \qquad 0 > 6,$

co jest fałszem. Nierówność jest sprzeczna - nie ma rozwiązań.

Odpowiedź. Dla $m > 2$ : $x \in \left(\frac{6}{m-2};\ +\infty\right)$ ; dla $m < 2$ : $x \in \left(-\infty;\ \frac{6}{m-2}\right)$ ; dla $m = 2$ : brak rozwiązań.

Przykład 2 - gdy przy zerowym współczynniku nierówność jest prawdziwa

Przeprowadź dyskusję nierówności $(m + 1)x \le 3$ dla $m = -1$ .

Podstawiamy $m = -1$ :

$0 \cdot x \le 3, \qquad \text{czyli} \qquad 0 \le 3,$

co jest prawdą niezależnie od $x$ . Rozwiązaniem jest więc całe $\mathbb{R}$ .

To pokazuje, że przypadek $a = 0$ nie zawsze oznacza brak rozwiązań - wszystko zależy od tego, jaka nierówność liczbowa zostanie.

Przykład 3 - z porządkowaniem

Rozwiąż nierówność $mx + 3 < 2x + m$ w zależności od $m$ .

Krok 1. Porządkujemy do postaci $ax < b$ :

$mx - 2x < m - 3 \quad\Longrightarrow\quad (m - 2)x < m - 3.$

Krok 2. Przypadek $m > 2$ :

$x < \frac{m-3}{m-2}.$

Krok 3. Przypadek $m < 2$ (dzielimy przez liczbę ujemną, więc zwrot się odwraca):

$x > \frac{m-3}{m-2}.$

Krok 4. Przypadek $m = 2$ :

$0 \cdot x < 2 - 3 = -1, \qquad \text{czyli} \qquad 0 < -1 \quad \text{- fałsz}.$

Nierówność jest sprzeczna.

Odpowiedź. Dla $m > 2$ : $x < \frac{m-3}{m-2}$ ; dla $m < 2$ : $x > \frac{m-3}{m-2}$ ; dla $m = 2$ : brak rozwiązań.

Zadania z warunkiem na zbiór rozwiązań

Zadanie. Dla jakich $m$ nierówność $(m-5)x \ge 0$ jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą?

Gdy $m \ne 5$ , rozwiązaniem jest półprosta (jedna ze stron), a nie cała prosta. Zostaje więc przypadek $m = 5$ :

$0 \cdot x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 0 \ge 0 \quad \text{- prawda dla każdego } x.$

Odpowiedź. $m = 5$ .

Najczęstsze pytania

Dlaczego przy $a < 0$ zwrot się odwraca? Bo mnożenie i dzielenie przez liczbę ujemną odwraca porządek liczb: z $2 < 3$ wynika $-2 > -3$ . To ta sama zasada, co przy zwykłych nierównościach.

Czy przypadek $a = 0$ zawsze daje sprzeczność? Nie. Zależy od pozostałej nierówności liczbowej: $0 > 6$ jest fałszem (brak rozwiązań), ale $0 \le 3$ jest prawdą (całe $\mathbb{R}$ ).

Ile przypadków trzeba rozważyć? Trzy: współczynnik dodatni, ujemny i zerowy. Przy równaniach wystarczyły dwa, bo tam znak współczynnika nie miał znaczenia.

Czy wolno pomnożyć nierówność przez parametr, żeby pozbyć się ułamka? Tylko wtedy, gdy wiemy, jaki ma znak - inaczej nie wiadomo, czy odwracać zwrot. Zwykle prościej jest rozważyć przypadki.

Jak sprawdzić odpowiedź? Podstawić konkretną wartość parametru z każdego przypadku i rozwiązać powstałą zwykłą nierówność - wynik musi zgadzać się ze wzorem ogólnym.

Przećwicz

Zadania z parametrem → - dyskusja nierówności liniowych z parametrem i warunki na zbiór rozwiązań.

Podsumowanie

Nierówność porządkujemy do postaci $ax > b$ i rozważamy trzy przypadki.
$a > 0$ - dzielimy bez zmiany zwrotu; $a < 0$ - odwracamy zwrot.
$a = 0$ - zostaje nierówność liczbowa: prawdziwa (całe $\mathbb{R}$ ) albo fałszywa (brak rozwiązań).
Przypadek zerowego współczynnika jest jedynym, w którym rozwiązaniem może być cała prosta albo zbiór pusty.