Matura maj 2023 matematyka podstawowa - odpowiedzi i rozwiązania

Zaznaczony zbiór to dwie półproste $(-\infty, -2] \cup [5, +\infty)$ - liczby leżące daleko od środka odcinka $[-2, 5]$. Odpowiadają temu nierówności z $\ge$, więc C i D odpadają (opisują sam odcinek).

Środek i promień. Środek odcinka to $\frac{-2 + 5}{2} = 1{,}5$, a odległość środka od końców wynosi $5 - 1{,}5 = 3{,}5$. Zbiór to wszystkie liczby, których odległość od $1{,}5$ jest równa co najmniej $3{,}5$:

$|x - 1{,}5| \ge 3{,}5 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le -2 \quad\text{lub}\quad x \ge 5.$

W odpowiedzi A zamieniono miejscami środek i promień - ta nierówność daje $x \le 2$ lub $x \ge 5$.

Odpowiedź: B. Zobacz: interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej.

Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia to pierwiastek z iloczynu:

$\sqrt[3]{-\frac{27}{16} \cdot 2} = \sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\frac{3}{2},$

bo $\left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{27}{8}$. Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny - dlatego odpada odpowiedź B.

Odpowiedź: A. Zobacz: pierwiastek arytmetyczny.

Krok 1. Przekształcamy wyrażenie. Ze wzoru skróconego mnożenia:

$(2n + 1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n^2 + 4n = 4n(n + 1).$

Krok 2. Parzystość. Liczby $n$ i $n + 1$ to dwie kolejne liczby naturalne, więc jedna z nich jest parzysta - ich iloczyn $n(n + 1)$ jest liczbą parzystą, czyli $n(n + 1) = 2k$ dla pewnej naturalnej $k$.

Krok 3. Wniosek.

$(2n + 1)^2 - 1 = 4 \cdot 2k = 8k,$

więc ta liczba jest podzielna przez $8$, co kończy dowód. (Przykład: dla $n = 3$ mamy $49 - 1 = 48 = 8 \cdot 6$.)

Sama postać $4n(n + 1)$ daje tylko podzielność przez $4$ - kluczowy jest argument o dwóch kolejnych liczbach.

Odpowiedź: $(2n + 1)^2 - 1 = 4n(n + 1)$, a $n(n + 1)$ jest parzyste, więc liczba dzieli się przez $8$. Zobacz: definicja, twierdzenie, dowód.

Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu:

$\log_9 27 + \log_9 3 = \log_9 (27 \cdot 3) = \log_9 81 = 2,$

bo $9^2 = 81$. Odpowiedź A to sam argument $81$ - wynik po zapomnieniu, że trzeba jeszcze obliczyć logarytm.

Odpowiedź: D. Zobacz: zastosowanie logarytmów.

Rozwijamy oba kwadraty:

$(4a^2 - 12a + 9) - (4a^2 + 12a + 9) = -24a.$

Albo ze wzoru na różnicę kwadratów: $\big((2a - 3) - (2a + 3)\big)\big((2a - 3) + (2a + 3)\big) = (-6) \cdot 4a = -24a$. Odpowiedź B wynika z błędnego przekonania, że kwadraty liczb „przeciwnych” się znoszą, a C - ze zgubienia minusa przed drugim nawiasem.

Odpowiedź: A. Zobacz: wzory skróconego mnożenia.

Mnożymy obie strony przez $3$:

$-6x - 18 \le 2 - x.$

Przenosimy wyrazy:

$-6x + x \le 2 + 18 \quad\Longrightarrow\quad -5x \le 20 \quad\Longrightarrow\quad x \ge -4.$

Przy dzieleniu przez $-5$ zmieniamy zwrot nierówności - bez tego wyszłaby odpowiedź A. Sprawdzenie dla $x = 0$: $-6 \le \frac{2}{3}$ - prawda, a $0 \ge -4$.

Odpowiedź: C. Zobacz: nierówności z jedną niewiadomą.

Iloczyn jest równy zeru, gdy zerem jest któryś czynnik. Czynnik $\sqrt{3}$ zerem nie jest, więc

$x^2 - 2 = 0 \quad\text{lub}\quad x + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2}, \quad x = -3.$

Wśród odpowiedzi jest tylko $\sqrt{2}$. Pułapki: C bierze liczbę $\sqrt{3}$ ze współczynnika, a A - liczbę $3$ z nawiasu $(x + 3)$ bez zmiany znaku.

Odpowiedź: D. Zobacz: wielomiany.

Dziedzina. Mianownik $(x - 1)(x + 1)^2$ zeruje się dla $x = 1$ i $x = -1$, więc obie te liczby trzeba wykluczyć.

Rozwiązania. Ułamek jest zerem tylko wtedy, gdy zerem jest licznik: $(x + 1)(x - 1)^2 = 0$, czyli $x = -1$ lub $x = 1$. Obie liczby leżą poza dziedziną, więc równanie nie ma rozwiązań.

Pułapka C: po skróceniu dostajemy $\frac{x - 1}{x + 1}$, co zeruje się dla $x = 1$ - ale skracanie nie usuwa warunku z dziedziny pierwotnego równania.

Odpowiedź: A. Zobacz: funkcja wymierna.

Krok 1. Grupujemy wyrazy parami.

$3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = x^2(3x - 2) - 4(3x - 2).$

Krok 2. Wyłączamy wspólny nawias i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

$(3x - 2)\left(x^2 - 4\right) = (3x - 2)(x - 2)(x + 2).$

Krok 3. Przyrównujemy czynniki do zera.

$3x - 2 = 0 \quad\text{lub}\quad x - 2 = 0 \quad\text{lub}\quad x + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2}{3}, \quad x = 2, \quad x = -2.$

Sprawdzenie dla $x = 2$: $24 - 8 - 24 + 8 = 0$.

Odpowiedź: $x = -2$, $x = \frac{2}{3}$, $x = 2$. Zobacz: wielomiany.

Prosta malejąca przechodzi przez punkty $(0, 2)$ i $(2, 0)$, więc ma wzór $y = -x + 2$.

Prosta rosnąca przechodzi przez $(0, -1)$ i $(1, 1)$: współczynnik kierunkowy $\frac{1 - (-1)}{1 - 0} = 2$, wyraz wolny $-1$, czyli $y = 2x - 1$.

Taki układ jest w odpowiedzi D. Kontrola: obie proste przechodzą przez punkt przecięcia $(1, 1)$ - $-1 + 2 = 1$ i $2 \cdot 1 - 1 = 1$.

Odpowiedź: D. Zobacz: graficzne rozwiązywanie układów równań.

Obwód prostokąta to $2a + 2b = 2(a + b) = 30$. Odpadają A ($2ab$ to podwojone pole), B ($2a + b$) i F ($a + b$ to połowa obwodu).

Różnica boków. Skoro $a > b$, krótszy jest bok $b$: $b = a - 5$, czyli równoważnie $a - b = 5$. Warunek „o $5$ krótszy” oznacza różnicę, a nie iloraz - dlatego odpada D ($b = 5a$).

Zostają układy C i E (to ten sam układ zapisany na dwa sposoby). Jego rozwiązanie: $a = 10$, $b = 5$ - obwód $30$, różnica $5$.

Odpowiedź: C oraz E. Zobacz: zastosowanie układów równań.

12.1. Dziedzinę odczytujemy z osi $Ox$ - to wszystkie argumenty, nad lub pod którymi jest wykres. Wykres zaczyna się w zamalowanym punkcie $(-6, 2)$, a kończy w zamalowanym $(5, 3)$. Puste kółka nie robią „dziur” w dziedzinie: dla $x = -3$ wartością jest $-3$ (zamalowany punkt $(-3, -3)$), a dla $x = 1$ wartością jest $1$. Dziedzina to $[-6, 5]$. Odpowiedź: A.

12.2. W przedziale $[-4, 1]$ wykres składa się z kawałka poziomego $y = 2$ dla $x \in [-4, -3)$ oraz odcinka od $(-3, -3)$ do $(1, 1)$. Największa wartość to $2$. Pułapka D ($5$): punkt $(1, 5)$ jest pusty, więc $f(1) = 1$, a nie $5$. Odpowiedź: C.

12.3. Funkcja maleje tam, gdzie wykres opada: na odcinku od $(2, 5)$ do $(5, 3)$. Na $[-6, -3)$ jest stała, na $[-3, 1]$ rośnie, a na $(1, 2]$ jest stała. Odpowiedź: D.

Zobacz: odczytywanie własności funkcji z wykresu.

Znak $a$. Prosta opada (im większe $x$, tym mniejsze $y$), więc funkcja jest malejąca i $a < 0$.

Znak $b$. Wyraz wolny to wartość funkcji w zerze, $f(0) = b$ - czyli rzędna punktu przecięcia wykresu z osią $Oy$. Prosta przecina oś $Oy$ powyżej początku układu, więc $b > 0$.

Odpowiedź: C. Zobacz: współczynnik kierunkowy.

Parabola jest symetryczna względem prostej $x = 3$ przechodzącej przez wierzchołek, a pierwsza współrzędna wierzchołka to średnia arytmetyczna miejsc zerowych:

$\frac{-5 + x_2}{2} = 3 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = 11.$

Liczba $-5$ leży $8$ jednostek na lewo od osi symetrii, więc drugie miejsce zerowe leży $8$ jednostek na prawo: $3 + 8 = 11$. Odpowiedź D to odbicie „w złą stronę”.

Odpowiedź: A. Zobacz: miejsca zerowe i postać iloczynowa.

Podstawiamy $n = 4$:

$a_4 = 2^4 \cdot (4 + 1) = 16 \cdot 5 = 80.$

Pułapka A ($64 = 2^4 \cdot 4$) to wynik po zapomnieniu o „$+1$” w nawiasie.

Odpowiedź: D. Zobacz: ciągi.

Iloraz ciągu to $q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$, więc trzeci wyraz to $9 \cdot \frac{1}{3} = 3$:

$a - 1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad a = 4.$

To samo z warunku na środkowy wyraz: $9^2 = 27(a - 1)$, czyli $a - 1 = 3$. Pułapka A to wartość trzeciego wyrazu, a nie liczby $a$.

Odpowiedź: C. Zobacz: ciąg geometryczny.

Krok 1. Model. Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $r = -30$. Suma $18$ wyrazów to cała pożyczka: $S_{18} = 8910$.

Krok 2. Wzór na sumę.

$S_{18} = \frac{2a_1 + 17r}{2} \cdot 18 = 9\left(2a_1 - 510\right) = 8910.$

Krok 3. Rozwiązujemy.

$2a_1 - 510 = 990 \quad\Longrightarrow\quad 2a_1 = 1500 \quad\Longrightarrow\quad a_1 = 750.$

Krok 4. Sprawdzenie. Ostatnia rata: $a_{18} = 750 - 17 \cdot 30 = 240$ zł, a suma $\frac{750 + 240}{2} \cdot 18 = 495 \cdot 18 = 8910$ zł. Zgadza się - i wszystkie raty są dodatnie.

Odpowiedź: pierwsza rata wynosiła $750$ zł. Zobacz: ciąg arytmetyczny.

Dla punktu $P = (x, y)$ leżącego na drugim ramieniu kąta $\operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x}$:

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}.$

Pozostałe odpowiedzi to inne wielkości: A to $\sin \alpha = \frac{y}{r}$, B to $\cos \alpha = \frac{x}{r}$ (przy $r = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$), a C to odwrócony ułamek $\frac{x}{y}$.

Odpowiedź: D. Zobacz: funkcje trygonometryczne.

Wyłączamy $\sin^2 \alpha$ przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$\sin^2 \alpha \left(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\right) = \sin^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha.$

Odpowiedź D to $\sin^2 \alpha\left(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha\right)$ - znak minus zamiast plusa w nawiasie.

Odpowiedź: A. Zobacz: zadania na związki między funkcjami trygonometrycznymi.

Pole rombu liczymy na dwa sposoby. Z boku i kąta:

$P = a^2 \sin 150° = \left(6\sqrt{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = 72 \cdot \frac{1}{2} = 36.$

Z przekątnych: $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$, więc

$d_1 \cdot d_2 = 2P = 72.$

Pułapka C ($36$) to samo pole - pytanie dotyczyło iloczynu przekątnych, który jest dwa razy większy.

Odpowiedź: B. Zobacz: zadania z równoległoboku i rombu.

Krok 1. Trójkąt równoramienny. $|OA| = |OC|$ (promienie), więc w trójkącie $AOC$ kąty przy podstawie są równe: $|\angle OAC| = |\angle OCA| = 70°$. Stąd kąt środkowy

$|\angle AOC| = 180° - 2 \cdot 70° = 40°.$

Krok 2. Kąt wpisany. Kąt $ABC$ jest oparty na tym samym łuku $AC$ co kąt środkowy $AOC$, więc jest od niego dwa razy mniejszy: $|\angle ABC| = 20°$.

Odpowiedź D ($40°$) to kąt środkowy, a C ($35°$) - połowa $70°$.

Odpowiedź: B. Zobacz: koła i kąty.

Krok 1. Przeciwprostokątna $T_1$ z twierdzenia Pitagorasa:

$c_1 = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13.$

Krok 2. Skala podobieństwa. $k = \frac{26}{13} = 2$, więc przyprostokątne $T_2$ mają długości $10$ i $24$.

Krok 3. Pole.

$P_{T_2} = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120.$

(Inaczej: $P_{T_1} = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30$, a pola figur podobnych są w stosunku $k^2 = 4$, więc $P_{T_2} = 4 \cdot 30 = 120$. Częsty błąd to pomnożenie pola tylko przez $k = 2$.)

Odpowiedź: $P_{T_2} = 120$. Zobacz: zadania z podobieństwa trójkątów.

Prostopadłość. Iloczyn współczynników kierunkowych: $\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -1$, więc proste są prostopadłe - A.

Punkt przecięcia. Przyrównujemy prawe strony:

$\frac{2}{3}x = -\frac{3}{2}x + 13 \quad\Big|\cdot 6 \quad\Longrightarrow\quad 4x = -9x + 78 \quad\Longrightarrow\quad x = 6,$

a $y = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$. Punkt $P = (6, 4)$ - odpowiedź 2.

Odpowiedź: A2. Zobacz: zadania z prostych prostopadłych.

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy: $a = -\frac{1}{3}$. Współczynnik $b$ wyznaczamy z punktu $P = (3, 5)$:

$5 = -\frac{1}{3} \cdot 3 + b \quad\Longrightarrow\quad 5 = -1 + b \quad\Longrightarrow\quad b = 6.$

Odpowiedzi A i C mają współczynnik $a = 3$ - taki ma prosta prostopadła do $k$ (bo $-\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$), a pytanie dotyczyło prostej równoległej. Odpowiedź B ma dobry współczynnik, ale prosta $y = -\frac{1}{3}x + 4$ nie przechodzi przez $P$ (dla $x = 3$ daje $y = 3$).

Odpowiedź: D. Zobacz: zadania z prostych równoległych.

Krok 1. Rzut przekątnej. Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu: $d = 15\sqrt{2}$.

Krok 2. Trójkąt prostokątny. Przekątna graniastosłupa $D$, przekątna podstawy $d$ i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny, w którym $d$ przylega do kąta $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{d}{D} \quad\Longrightarrow\quad D = \frac{d}{\cos \alpha} = \frac{15\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{3}} = 15 \cdot 3 = 45.$

Odpowiedź A to przekątna podstawy, nie graniastosłupa.

Odpowiedź: B. Zobacz: graniastosłupy.

Krok 1. Trójkąt prostokątny z rysunku. Tworzą go wysokość ostrosłupa $H$, wysokość ściany bocznej $h = 6$ (przeciwprostokątna) i odcinek od środka podstawy do środka krawędzi, równy połowie krawędzi podstawy $\frac{a}{2}$. Kąt $30°$ leży przy krawędzi podstawy:

$H = 6 \sin 30° = 3, \qquad \frac{a}{2} = 6 \cos 30° = 3\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad a = 6\sqrt{3}.$

Krok 2. Pole podstawy i objętość.

$P_p = a^2 = \left(6\sqrt{3}\right)^2 = 108, \qquad V = \frac{1}{3} \cdot 108 \cdot 3 = 108.$

Krok 3. Pole powierzchni bocznej. Cztery trójkąty o podstawie $a$ i wysokości $h = 6$:

$P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 72\sqrt{3}.$

Krok 4. Pole całkowite.

$P_c = P_p + P_b = 108 + 72\sqrt{3}.$

Uwaga na mylenie ról: $6$ to wysokość ściany, a nie ostrosłupa, i to przy krawędzi (nie przy wierzchołku) leży kąt $30°$.

Odpowiedź: $V = 108$, $P_c = 108 + 72\sqrt{3}$. Zobacz: ostrosłupy.

Ostrosłup, którego podstawą jest $n$-kąt, ma $W = n + 1$ wierzchołków ($n$ w podstawie i wierzchołek ostrosłupa) oraz $K = 2n$ krawędzi ($n$ w podstawie i $n$ bocznych):

$\frac{n + 1}{2n} = \frac{3}{5} \quad\Longrightarrow\quad 5n + 5 = 6n \quad\Longrightarrow\quad n = 5.$

Sprawdzenie: ostrosłup pięciokątny ma $6$ wierzchołków i $10$ krawędzi, a $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Odpowiedź: B. Zobacz: ostrosłupy.

Liczymy z reguły mnożenia, cyfra po cyfrze. Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc na pierwszym miejscu są $2$ możliwości ($5$ lub $7$), a na każdym z pozostałych czterech - $3$ możliwości ($0$, $5$ lub $7$):

$2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^4 = 162.$

Cyfry mogą się powtarzać (jak w $55\,555$). Pułapka D ($3^5$) liczy też „liczby” zaczynające się od zera.

Odpowiedź: C. Zobacz: zadania z reguły mnożenia.

Dane. Z diagramu: $5{,}05$ zł - $2$ sklepy, $5{,}60$ zł - $4$, $5{,}70$ zł - $2$, $6{,}00$ zł - $5$, $6{,}30$ zł - $3$. Razem $16$ sklepów.

29.1. Mediana. Liczba danych jest parzysta, więc mediana to średnia $8.$ i $9.$ ceny w uporządkowanym ciągu. Ceny $5{,}05$ zajmują miejsca $1$-$2$, ceny $5{,}60$ - miejsca $3$-$6$, ceny $5{,}70$ - miejsca $7$-$8$, ceny $6{,}00$ - miejsca $9$-$13$:

$\text{mediana} = \frac{5{,}70 + 6{,}00}{2} = 5{,}85 \text{ zł}.$

Odpowiedź C. (Pułapka E to środkowa z pięciu różnych cen, bez uwzględnienia liczby sklepów.)

29.2. Średnia. Liczymy średnią ważoną liczbą sklepów:

$\frac{2 \cdot 5{,}05 + 4 \cdot 5{,}60 + 2 \cdot 5{,}70 + 5 \cdot 6{,}00 + 3 \cdot 6{,}30}{16} = \frac{92{,}80}{16} = 5{,}80 \text{ zł}.$

Odpowiedź A. (Pułapka B, $5{,}73$ zł, to średnia pięciu różnych cen bez wag, a D - dominanta.)

Odpowiedź: 29.1 - C, 29.2 - A. Zobacz: zadania z diagramów i tabel.

Krok 1. Wszystkie wyniki. Losowanie ze zwracaniem, kolejność ma znaczenie: $|\Omega| = 8 \cdot 8 = 64$.

Krok 2. Kiedy iloczyn dzieli się przez $15 = 3 \cdot 5$. Potrzebny jest czynnik $5$ i czynnik $3$. Czynnik $5$ ma w tym zbiorze tylko liczba $5$, a czynnik $3$ - liczby $3, 6, 9$. Iloczyn dwóch liczb dzieli się więc przez $15$ tylko wtedy, gdy jedna z nich to $5$, a druga jest jedną z liczb $3, 6, 9$:

$(5, 3), (5, 6), (5, 9), (3, 5), (6, 5), (9, 5).$

Para $(5, 5)$ daje $25$ - nie dzieli się przez $3$. Zatem $|A| = 6$.

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

$P(A) = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}.$

Odpowiedź: $P(A) = \frac{3}{32}$. Zobacz: rachunek prawdopodobieństwa.

31.1. (1) $L(30)$ to liczba klientów obsłużonych trzydziestego dnia, a nie suma z całego okresu: $L(30) = -900 + 660 + 279 = 39$, podczas gdy każdego dnia obsłużono co najmniej $39$ osób. Fałsz.

(2) $L(3) = -9 + 66 + 279 = 336$. Prawda.

Odpowiedź: F, P.

31.2. $L$ to funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy $n^2$, więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

$n_w = \frac{-22}{2 \cdot (-1)} = 11.$

Liczba $11$ jest naturalna i należy do przedziału $[1, 30]$, więc to rzeczywiście jeden z analizowanych dni. Tego dnia obsłużono

$L(11) = -121 + 242 + 279 = 400$

klientów. (Gdyby wierzchołek wypadł między liczbami naturalnymi, trzeba by porównać wartości w dwóch najbliższych dniach.)

Odpowiedź: najwięcej klientów, $400$, obsłużono $11.$ dnia. Zobacz: wartości funkcji kwadratowej w przedziale.