Równania prowadzące do równań kwadratowych

Klasa 2 liceum i technikum

Wspólna idea

Wiele równań, które na pierwszy rzut oka nie są kwadratowe, sprowadza się do kwadratowych - przez pomnożenie przez mianownik, przez podstawienie albo przez rozkład na czynniki. Warto je rozpoznawać, bo pojawiają się na maturze regularnie.

We wszystkich trzech typach obowiązuje jedna zasada: rozwiązania trzeba na końcu skonfrontować z dziedziną. Przekształcenia potrafią dołożyć rozwiązania, których pierwotne równanie nie ma.

Typ 1: równania wymierne

Zadanie. Rozwiąż równanie $\dfrac{x + 6}{x} = x$.

Krok 1. Dziedzina. Mianownik nie może być zerem, więc $x \ne 0$.

Krok 2. Mnożymy obie strony przez $x$ (wolno, bo z dziedziny wiemy, że $x \ne 0$):

$x + 6 = x^2.$

Krok 3. Porządkujemy i rozwiązujemy:

$x^2 - x - 6 = 0, \qquad \Delta = 1 + 24 = 25, \qquad x_1 = \frac{1-5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1+5}{2} = 3.$

Krok 4. Sprawdzamy dziedzinę. Obie liczby są różne od zera, więc obie zostają.

Odpowiedź. $x = -2$ lub $x = 3$.

A teraz przykład, w którym rozwiązanie odpada. Dla równania

$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$

dziedziną jest $x \ne 2$. Licznik zeruje się dla $x = -2$ oraz $x = 2$, ale drugie z tych rozwiązań nie należy do dziedziny. Odpowiedź: $x = -2$.

Dlaczego to takie ważne. Podstawienie $x = 2$ do pierwotnego równania daje $\frac{0}{0}$ - wyrażenie bez sensu. Rozwiązanie, które psuje mianownik, zawsze odrzucamy.

Typ 2: równania dwukwadratowe

Równanie $ax^4 + bx^2 + c = 0$ zawiera tylko parzyste potęgi $x$, więc podstawienie $t = x^2$ zamienia je w kwadratowe. Kluczowy warunek: $t \ge 0$, bo kwadrat nie bywa ujemny.

Zadanie. Rozwiąż równanie $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Krok 1. Podstawienie $t = x^2$, gdzie $t \ge 0$:

$t^2 - 5t + 4 = 0.$

Krok 2. Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta = 25 - 16 = 9, \qquad t_1 = \frac{5-3}{2} = 1, \qquad t_2 = \frac{5+3}{2} = 4.$

Krok 3. Wracamy do $x$. Oba $t$ są nieujemne, więc oba dają rozwiązania:

$x^2 = 1 \ \Rightarrow\ x = -1 \ \text{ lub } \ x = 1, \qquad x^2 = 4 \ \Rightarrow\ x = -2 \ \text{ lub } \ x = 2.$

Odpowiedź. $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$ - równanie czwartego stopnia ma tu cztery rozwiązania.

Przykład z odrzuceniem. W równaniu $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$ podstawienie daje $t^2 + 3t - 4 = 0$, czyli $t = -4$ albo $t = 1$. Wartość $t = -4$ odpada (bo $x^2$ nie może być ujemne), więc zostaje $x^2 = 1$, czyli $x = \pm 1$.

Typ 3: rozkład na czynniki

Gdy równanie ma stopień wyższy niż dwa, ale wyrazy mają wspólny czynnik albo dają się pogrupować, rozkładamy je na iloczyn i korzystamy z zasady: iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników.

Przykład 1 - wspólny czynnik.

$x^3 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x^2 - 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-2)(x+2) = 0,$

więc $x = 0$, $x = 2$ lub $x = -2$.

Przykład 2 - grupowanie.

$x^3 + 2x^2 - 3x - 6 = 0.$

Grupujemy wyrazy parami i wyłączamy wspólne czynniki:

$x^2(x + 2) - 3(x + 2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x + 2)(x^2 - 3) = 0.$

Stąd $x = -2$ albo $x^2 = 3$, czyli $x = \pm\sqrt{3}$.

Przykład 3 - iloczyn już gotowy. Gdy równanie ma postać $(2x - 1)(x + 5) = 0$, nie ma po co wymnażać nawiasów - od razu $x = \frac{1}{2}$ lub $x = -5$.

Uwaga na przekształcenia, które dokładają rozwiązania

Mnożenie obu stron przez wyrażenie z niewiadomą oraz podnoszenie do kwadratu potrafią wprowadzić rozwiązania obce - liczby spełniające równanie po przekształceniu, ale nie pierwotne. Dlatego:

1. Dziedzinę wypisujemy na początku, przed przekształceniami.
2. Otrzymane rozwiązania konfrontujemy z dziedziną.
3. Przy podnoszeniu do kwadratu (patrz lekcja o niewiadomej pod pierwiastkiem) sprawdzamy każdy wynik w równaniu wyjściowym.

Najczęstsze pytania

Dlaczego przy podstawieniu $t = x^2$ trzeba pisać $t \ge 0$? Bo kwadrat liczby rzeczywistej nie bywa ujemny. Bez tego warunku łatwo „rozwiązać” $x^2 = -4$ i podać nieistniejące pierwiastki.

Ile rozwiązań może mieć równanie dwukwadratowe? Od zera do czterech. Każde nieujemne $t$ daje dwa rozwiązania (przeciwne liczby), $t = 0$ daje jedno, a ujemne - żadnego.

Czy dziedzinę zawsze trzeba wypisywać? Przy równaniach wymiernych i z pierwiastkami - tak, to część rozwiązania. Przy wielomianowych dziedziną jest całe $\mathbb{R}$, więc nie ma czego ograniczać.

Jak rozpoznać, że równanie da się rozłożyć przez grupowanie? Zwykle po tym, że ma cztery wyrazy, a pierwsze dwa i ostatnie dwa mają wspólne czynniki prowadzące do tego samego nawiasu. Jeśli nawiasy nie wychodzą identyczne, warto zmienić grupowanie albo poszukać innej metody.

Co zrobić z równaniem $x^3 = x$? Przenieść wszystko na jedną stronę i rozłożyć: $x^3 - x = x(x-1)(x+1) = 0$, czyli $x \in \{-1, 0, 1\}$. Dzielenie obu stron przez $x$ zgubiłoby rozwiązanie $x = 0$.

Przećwicz

• Równania kwadratowe → - w tym równania wymierne, dwukwadratowe i rozkładane na czynniki.

Podsumowanie

• Wymierne: wypisz dziedzinę, pomnóż przez mianownik, na końcu odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.
• Dwukwadratowe: podstaw $t = x^2$ z warunkiem $t \ge 0$, rozwiąż równanie kwadratowe, wróć do $x$.
• Wyższych stopni: rozłóż na czynniki (wspólny czynnik, grupowanie, wzory skróconego mnożenia) i przyrównaj każdy czynnik do zera.
• Przekształcenia mnożące przez niewiadomą mogą dołożyć rozwiązania obce - zawsze sprawdzaj je z dziedziną.