Twierdzenie cosinusów (Carnota) - wzór, dowód i przykłady

Q: Jak obliczyć kąt, znając trzy boki?

Przekształcając wzór: cosγ = a² + b² - c²/2ab, a potem odczytując kąt z tablic albo kalkulatorem.

Q: Jaki jest związek z twierdzeniem Pitagorasa?

Dla kąta prostego cos 90° = 0 i wzór przechodzi w c² = a² + b². Twierdzenie cosinusów jest więc uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.

Twierdzenie cosinusów

W każdym trójkącie o bokach $a$ , $b$ , $c$ i kącie $\gamma$ leżącym naprzeciw boku $c$ :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma.$

Analogicznie $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ oraz $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta$ . Dla $\gamma = 90^\circ$ wzór staje się twierdzeniem Pitagorasa.

Co mówi twierdzenie

Twierdzenie cosinusów (w Polsce nazywane też twierdzeniem Carnota) mówi, że kwadrat dowolnego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi. To uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na trójkąty, które nie są prostokątne: składnik $-2ab\cos\gamma$ jest „poprawką”, która znika, gdy $\gamma = 90^\circ$ .

Twierdzenie pozwala rozwiązać trójkąt, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi (obliczamy trzeci bok) albo trzy boki (obliczamy kąty). W pozostałych przypadkach wygodniejsze jest twierdzenie sinusów.

Wysokość h dzieli bok b na odcinki a · cos γ (przy C) i b − a · cos γ. Twierdzenie Pitagorasa w obu trójkątach prostokątnych daje c² = a² + b² − 2ab · cos γ.

Założenia

Figura jest trójkątem na płaszczyźnie euklidesowej - dowolnym, także rozwartokątnym.
Kąt $\gamma$ leży między bokami $a$ i $b$ (czyli naprzeciw boku $c$ ).

Dowód przez wysokość

Pokaż dowódUkryj dowód

Opuśćmy wysokość $h$ z wierzchołka $B$ na bok $AC$ (rysunek wyżej). Dzieli ona bok $b$ na odcinek $a\cos\gamma$ przy wierzchołku $C$ i odcinek $b - a\cos\gamma$ przy wierzchołku $A$ , a sama ma długość $h = a\sin\gamma$ .

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym przy wierzchołku $A$ :

$c^2 = h^2 + (b - a\cos\gamma)^2 = a^2\sin^2\gamma + b^2 - 2ab\cos\gamma + a^2\cos^2\gamma.$

Ponieważ $\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$ , pierwszy i ostatni składnik dają razem $a^2$ :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma. \qquad \blacksquare$

(Gdy $\gamma$ jest rozwarty, spodek wysokości leży na przedłużeniu boku, $\cos\gamma < 0$ , a rachunek przebiega tak samo.)

Dowód we współrzędnych

Pokaż dowódUkryj dowód

Umieśćmy wierzchołek $C$ w początku układu, wierzchołek $A$ w punkcie $(b, 0)$ , a wierzchołek $B$ w punkcie $(a\cos\gamma,\ a\sin\gamma)$ . Wtedy

$c^2 = |AB|^2 = (a\cos\gamma - b)^2 + (a\sin\gamma)^2 = a^2(\cos^2\gamma + \sin^2\gamma) - 2ab\cos\gamma + b^2.$

Ten dowód działa bez rozróżniania przypadków - dla kąta ostrego, prostego i rozwartego naraz. $\blacksquare$

Przykład

Trzeci bok. Boki $a = 5$ i $b = 8$ tworzą kąt $\gamma = 60^\circ$ . Wtedy

$c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49, \qquad c = 7.$

Kąt z trzech boków. Trójkąt ma boki $4$ , $5$ i $7$ . Największy kąt leży naprzeciw boku $7$ :

$\cos\gamma = \frac{4^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{-8}{40} = -0{,}2, \qquad \gamma \approx 101{,}54^\circ.$

Cosinus jest ujemny, więc kąt jest rozwarty - trójkąt jest rozwartokątny.

Jaki to trójkąt? Wniosek z twierdzenia

Z twierdzenia cosinusów wynika prosty test na rodzaj trójkąta. Niech $c$ będzie najdłuższym bokiem:

$c^2 < a^2 + b^2$ - trójkąt ostrokątny ( $\cos\gamma > 0$ ),
$c^2 = a^2 + b^2$ - trójkąt prostokątny (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa),
$c^2 > a^2 + b^2$ - trójkąt rozwartokątny ( $\cos\gamma < 0$ ).

Dla boków $4$ , $5$ , $7$ : $49 > 16 + 25 = 41$ - rozwartokątny, zgodnie z rachunkiem wyżej.

Po co to komu

Rozwiązywanie trójkątów z dwóch boków i kąta albo z trzech boków - np. odległość między dwoma statkami, gdy znamy ich odległości od portu i kąt między kursami.
Rozpoznawanie rodzaju trójkąta bez liczenia kątów.
Długość przekątnych równoległoboku: $e^2 + f^2 = 2(a^2 + b^2)$ - suma twierdzeń cosinusów dla dwóch trójkątów, na które dzielą go przekątne.
Iloczyn skalarny wektorów $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\gamma$ - twierdzenie cosinusów to ten sam fakt zapisany w geometrii trójkąta.

Kto i kiedy

Bez cosinusów twierdzenie znał już Euklides (ok. 300 r. p.n.e.): twierdzenia II.12 i II.13 „Elementów” opisują, o ile kwadrat boku leżącego naprzeciw kąta rozwartego (ostrego) jest większy (mniejszy) od sumy kwadratów pozostałych boków - geometrycznie, jako pole prostokąta. Postać trygonometryczną podał w XV wieku perski matematyk al-Kaszi, dlatego we Francji twierdzenie nosi jego imię. W Polsce przyjęła się nazwa twierdzenie Carnota, od francuskiego matematyka Lazare’a Carnota (przełom XVIII i XIX wieku), który je upowszechnił.

Najczęstsze pytania

Jak brzmi twierdzenie cosinusów? Kwadrat boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków minus podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ .

Dlaczego twierdzenie cosinusów nazywa się twierdzeniem Carnota? Od Lazare’a Carnota, który je spopularyzował. To ta sama zależność - w innych krajach bywa nazywana twierdzeniem al-Kaszi albo po prostu prawem cosinusów.

Jak obliczyć kąt, znając trzy boki? Przekształcając wzór: $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ , a potem odczytując kąt z tablic albo kalkulatorem.

Jaki jest związek z twierdzeniem Pitagorasa? Dla kąta prostego $\cos 90^\circ = 0$ i wzór przechodzi w $c^2 = a^2 + b^2$ . Twierdzenie cosinusów jest więc uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest rozwartokątny, znając boki? Porównaj kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów dwóch pozostałych: jeśli jest większy, trójkąt jest rozwartokątny.

Podsumowanie

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ w każdym trójkącie; dla $\gamma = 90^\circ$ to twierdzenie Pitagorasa.
Dowody: przez wysokość i jedynkę trygonometryczną albo we współrzędnych.
Stosujemy przy danych „dwa boki i kąt między nimi” lub „trzy boki”.
Rodzaj trójkąta: porównanie $c^2$ z $a^2 + b^2$ dla najdłuższego boku $c$ .
Uzupełnienie: twierdzenie sinusów; praktyka: rozwiązywanie trójkąta.