Wybrane konstrukcje geometryczne

Klasa 2 liceum i technikum

Po co konstrukcje

Konstrukcja to nie rysunek „mniej więcej”, tylko dowód, że dana figura istnieje i da się ją otrzymać z danych. Każdy krok musi być uzasadniony - dlatego opis konstrukcji zawsze kończy się wyjaśnieniem, dlaczego otrzymana figura ma żądaną własność.

W tej lekcji zbieramy konstrukcje, które wracają w zadaniach najczęściej.

Symetralna odcinka

Konstrukcja. Dany odcinek $AB$.

1. Rysujemy okrąg o środku $A$ i promieniu większym od połowy $|AB|$.
2. Rysujemy okrąg o środku $B$ i tym samym promieniu.
3. Okręgi przecinają się w dwóch punktach; prosta przez nie to szukana symetralna.

Dlaczego działa. Oba punkty przecięcia są jednakowo oddalone od $A$ i od $B$, a symetralna to właśnie zbiór punktów równoodległych od końców odcinka. Przy okazji symetralna przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła - stąd konstrukcja daje też podział odcinka na połowy.

Dwusieczna kąta

Konstrukcja. Dany kąt o wierzchołku $W$.

1. Rysujemy okrąg o środku $W$; przecina on ramiona w punktach $P$ i $Q$.
2. Rysujemy dwa okręgi o tym samym promieniu, o środkach $P$ i $Q$; przecinają się w punkcie $R$.
3. Półprosta $WR$ to dwusieczna kąta.

Dlaczego działa. Trójkąty $WPR$ i $WQR$ są przystające (bok-bok-bok), więc kąty przy wierzchołku $W$ są równe.

Prosta prostopadła i równoległa

Prostopadła do prostej $k$ przechodząca przez punkt $P$: rysujemy okrąg o środku $P$ przecinający $k$ w dwóch punktach, a następnie budujemy symetralną odcinka wyznaczonego przez te punkty. Symetralna jest prostopadła do $k$ i przechodzi przez $P$.

Równoległa do prostej $k$ przez punkt $P$: wystarczy dwa razy poprowadzić prostopadłą - najpierw do $k$ przez $P$, potem do otrzymanej prostej przez ten sam punkt. Dwie proste prostopadłe do tej samej prostej są równoległe.

Kąty 60° i 90°

Kąt $60^\circ$ powstaje z trójkąta równobocznego: na danej półprostej odmierzamy odcinek $AB$, a następnie rysujemy dwa okręgi o promieniu $|AB|$ i środkach $A$ oraz $B$. Punkt ich przecięcia daje trzeci wierzchołek trójkąta równobocznego, a więc kąt $60^\circ$.

Kąt $90^\circ$ to konstrukcja prostopadłej. Mając te dwa kąty, przez wielokrotne dzielenie dwusieczną otrzymujemy również $30^\circ$, $45^\circ$, $15^\circ$ i tak dalej.

Czego nie da się skonstruować. Cyrklem i linijką nie da się podzielić dowolnego kąta na trzy równe części ani skonstruować kwadratu o polu równym danemu kołu. To udowodnione twierdzenia, a nie brak pomysłu - warto o tym wiedzieć, żeby nie tracić czasu na próby.

Styczna do okręgu z punktu zewnętrznego

Konstrukcja. Dany okrąg o środku $O$ i punkt $P$ na zewnątrz.

1. Wyznaczamy środek $S$ odcinka $OP$ (symetralną).
2. Rysujemy okrąg o środku $S$ i promieniu $|SO|$.
3. Przecina on dany okrąg w dwóch punktach $A$ i $A'$ - to punkty styczności.
4. Proste $PA$ i $PA'$ są szukanymi stycznymi.

Dlaczego działa. Kąt $OAP$ jest wpisany w okrąg o średnicy $OP$, więc ma miarę $90^\circ$. Promień $OA$ jest zatem prostopadły do prostej $PA$, a to oznacza, że $PA$ jest styczna - korzystamy tu z twierdzenia o kącie opartym na średnicy.

Jak zapisać konstrukcję

Rozwiązanie zadania konstrukcyjnego ma zwykle cztery części:

1. Analiza - zakładamy, że figura istnieje, i szukamy zależności pozwalających ją zbudować.
2. Konstrukcja - wypisujemy kolejne kroki.
3. Dowód - uzasadniamy, że otrzymana figura spełnia warunki zadania.
4. Dyskusja - sprawdzamy, dla jakich danych konstrukcja jest wykonalna i ile jest rozwiązań.

W szkole najczęściej wymagane są kroki 2 i 3, ale warto znać cały schemat.

Najczęstsze pytania

Czy wolno mierzyć linijką? Nie w konstrukcji klasycznej. Linijka służy tylko do prowadzenia prostych przez dwa punkty; wszystkie długości przenosimy cyrklem.

Czy promień okręgu pomocniczego można wybrać dowolnie? Zwykle tak, ale często z ograniczeniem - np. przy symetralnej musi być większy od połowy odcinka, inaczej okręgi się nie przetną.

Czy konstrukcja to to samo co dowód? Konstrukcja pokazuje, jak zbudować figurę, a dowód uzasadnia, dlaczego zbudowana figura ma żądane własności. Pełne rozwiązanie zawiera oba elementy.

Ile stycznych da się poprowadzić z punktu do okręgu? Z punktu zewnętrznego - dwie, z punktu na okręgu - jedną, z punktu wewnątrz - żadnej. Konstrukcja z tej lekcji dotyczy pierwszego przypadku.

Dlaczego niektórych konstrukcji nie da się wykonać? Bo cyrkiel i linijka pozwalają otrzymywać tylko określone długości (rozwiązania równań pewnego typu). Trysekcja kąta czy kwadratura koła wymagają wyjścia poza ten zbiór - udowodniono to w XIX wieku.

Przećwicz

• Okrąg opisany i wpisany → - zadania wykorzystujące symetralne i dwusieczne z tej lekcji.

Podsumowanie

• Konstrukcja klasyczna dopuszcza tylko prostą przez dwa punkty, okrąg i punkty przecięcia.
• Symetralna - dwa okręgi o równych promieniach ze środkami w końcach odcinka.
• Dwusieczna - okrąg ze środkiem w wierzchołku i dwa okręgi o równych promieniach.
• Styczna z punktu zewnętrznego - okrąg o średnicy $OP$; punkty przecięcia to punkty styczności.
• Pełne rozwiązanie zadania konstrukcyjnego: analiza, konstrukcja, dowód, dyskusja.