Definicja logarytmu - co to jest logarytm

Klasa 1 liceum i technikum

Pytanie odwrotne do potęgowania

Potęgowanie odpowiada na pytanie: „ile wynosi $2^3$?” (odpowiedź: $8$). Logarytm odpowiada na pytanie odwrotne: „do której potęgi podnieść $2$, żeby otrzymać $8$?”. Skoro $2^3 = 8$, tą potęgą jest $3$. Zapisujemy to:

$\log_2 8 = 3.$

Definicja logarytmu

Logarytmem liczby $b$ przy podstawie $a$ nazywamy wykładnik $c$, do którego trzeba podnieść $a$, aby otrzymać $b$:

$\log_a b = c \quad\Longleftrightarrow\quad a^c = b.$

Liczbę $a$ nazywamy podstawą logarytmu, a $b$ - liczbą logarytmowaną. Obowiązują przy tym założenia:

$a > 0, \qquad a \ne 1, \qquad b > 0.$

Dlaczego akurat takie? Ponieważ $a^c$ dla dodatniej podstawy jest zawsze dodatnie, więc $b$ musi być dodatnie. Podstawa musi być dodatnia i różna od $1$ - gdyby $a = 1$, to $1^c = 1$ dla każdego $c$ i logarytm nie miałby jednej wartości.

Jak obliczyć logarytm - krok po kroku

Każdy logarytm liczymy, zadając jedno i to samo pytanie: „do której potęgi podnieść podstawę, żeby otrzymać liczbę logarytmowaną?”. Najwygodniej trzymać się prostego schematu:

1. Zapisz $\log_a b = x$.
2. Przepisz to jako potęgę (to jest sama definicja): $a^x = b$.
3. Zapisz liczbę $b$ jako potęgę podstawy $a$.
4. Porównaj wykładniki - to daje szukane $x$.

Przykład 1 (podstawowy). Oblicz $\log_2 32$. Zapisujemy $\log_2 32 = x$, czyli $2^x = 32$. Ponieważ $32 = 2^5$, mamy $2^x = 2^5$, więc $x = 5$. Zatem $\log_2 32 = 5$.

Przykład 2 (ułamek pod logarytmem). Oblicz $\log_3 \frac{1}{9}$. Szukamy $x$ takiego, że $3^x = \frac{1}{9}$. Ponieważ $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$, otrzymujemy $x = -2$.

Przykład 3 (ułamkowa podstawa). Oblicz $\log_{1/2} 8$. Mamy $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 8$. Zapiszmy obie strony jako potęgi dwójki: $\tfrac{1}{2} = 2^{-1}$ oraz $8 = 2^3$. Wtedy $\left(2^{-1}\right)^x = 2^3$, czyli $2^{-x} = 2^3$, stąd $-x = 3$, więc $x = -3$.

Przykład 4 (pierwiastek). Oblicz $\log_2 \sqrt{2}$. Korzystamy z zapisu pierwiastka jako potęgi: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$. Z równania $2^x = 2^{1/2}$ wynika $x = \tfrac{1}{2}$.

Przykład 5 (przypadki szczególne). $\log_7 1 = 0$, bo $7^0 = 1$; oraz $\log_7 7 = 1$, bo $7^1 = 7$. Działa też podstawa dziesiętna: $\log_{10} 1000 = 3$, bo $10^3 = 1000$.

Podstawowe tożsamości

Wprost z definicji wynikają trzy równości, które warto znać na pamięć (dla dozwolonych $a$, $b$):

$\log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1, \qquad a^{\log_a b} = b.$

Pierwsza: do potęgi $0$ podniesione cokolwiek daje $1$. Druga: $a^1 = a$. Trzecia mówi, że potęgowanie i logarytm o tej samej podstawie „znoszą się” nawzajem - są działaniami odwrotnymi.

Najczęstsze błędy

• Logarytm to wykładnik, nie wynik mnożenia ani dzielenia. $\log_2 8$ pyta „dwójka do której potęgi da $8$” - odpowiedź to $3$, a nie $2 \cdot 8$ czy $\tfrac{8}{2}$.
• Pamiętaj o założeniach. Liczba logarytmowana musi być dodatnia, więc $\log_2 0$ oraz $\log_2(-4)$ nie istnieją. Podstawa musi być dodatnia i różna od $1$.
• Brak zapisanej podstawy oznacza $10$. Zapis $\log 100$ to $\log_{10} 100 = 2$.
• Nie myl $\log_a b$ z $\log_b a$ - to zwykle różne liczby: $\log_2 8 = 3$, ale $\log_8 2 = \tfrac{1}{3}$.

Logarytm dziesiętny i naturalny

Dwie podstawy są tak częste, że mają własne oznaczenia:

• logarytm dziesiętny (podstawa $10$): $\log b = \log_{10} b$;
• logarytm naturalny (podstawa $e \approx 2{,}718$): $\ln b = \log_e b$.

Liczba $e$ to stała matematyczna (liczba Eulera), która pojawia się naturalnie m.in. przy procencie składanym i wzroście wykładniczym.

Najczęstsze pytania

Jaka jest podstawa logarytmu naturalnego? Liczba $e \approx 2{,}71828$ (liczba Eulera). Zapis $\ln x$ oznacza więc $\log_e x$, np. $\ln e = 1$ i $\ln 1 = 0$. Liczba $e$ jest niewymierna - jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy ani nie powtarza. Logarytm dziesiętny $\log x$ ma podstawę $10$.

Dlaczego podstawa logarytmu nie może być równa $1$? Bo $1$ podniesiona do dowolnej potęgi daje zawsze $1$. Pytanie „do której potęgi podnieść $1$, żeby dostać $8$” nie ma odpowiedzi, a pytanie o wynik $1$ miałoby ich nieskończenie wiele - logarytm przestałby być jednoznaczny.

Czy logarytm może wyjść ujemny? Tak. Ujemny wynik oznacza po prostu ujemny wykładnik, czyli liczbę logarytmowaną mniejszą od $1$ (przy podstawie większej od $1$): $\log_2 \tfrac{1}{8} = -3$, bo $2^{-3} = \tfrac{1}{8}$. Ujemna nie może być natomiast liczba logarytmowana.

Co zrobić, gdy wynik nie jest liczbą całkowitą? Najpierw sprawdź, czy da się zapisać obie liczby jako potęgi tej samej podstawy - wtedy wynik bywa ułamkiem, np. $\log_8 2 = \tfrac{1}{3}$, bo $8^{1/3} = 2$. Jeśli się nie da (np. $\log_2 10$), wartość jest niewymierna i zostawiamy ją w postaci logarytmu albo liczymy przybliżenie kalkulatorem.

Czy $\log_2 8$ to to samo co $\log 28$? Nie. W zapisie $\log_2 8$ dwójka jest podstawą (pisaną w indeksie dolnym), a $8$ liczbą logarytmowaną - wynik to $3$. Zapis $\log 28$ oznacza logarytm dziesiętny liczby $28$.

Do czego logarytmy przydają się poza lekcją matematyki? Wszędzie tam, gdzie wielkości zmieniają się wielokrotnie, a nie o stałą wartość: skala pH, skala Richtera, decybele, czas podwojenia kapitału na lokacie czy okres połowicznego rozpadu. Logarytm odpowiada na pytanie „ile razy trzeba pomnożyć”, a nie „ile dodać”.

Przećwicz

Logarytmy najlepiej „wchodzą” przez liczenie. Zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku:

• Obliczanie logarytmów z definicji → - $\log_2 32$, $\log_{1/2} 16$, $\log_8 2$ i podobne.
• Wyznaczanie niewiadomej w logarytmie → - równania typu $\log_2 x = 5$, $\log_x 25 = 2$.
• Prawa logarytmów → oraz zamiana podstawy → - gdy znasz już prawa logarytmów.

Albo zobacz wszystkie zadania z logarytmów →.