Wielomiany - kurs: działania, dzielenie, równania i nierówności

Klasa 2 liceum i technikum

Wielomian to wyrażenie typu $2x^3 - 5x^2 + x - 7$ - suma potęg zmiennej pomnożonych przez liczby. Funkcja liniowa i kwadratowa to wielomiany stopnia pierwszego i drugiego; w tym dziale idziemy dalej, do stopnia trzeciego, czwartego i wyższych.

Dla wielomianów wysokiego stopnia nie ma prostego wzoru na pierwiastki, jak delta dla funkcji kwadratowej. Zamiast tego uczymy się rozkładać wielomian na czynniki: zgadujemy pierwiastek (pomaga twierdzenie o pierwiastkach wymiernych), sprawdzamy go twierdzeniem Bézouta, dzielimy schematem Hornera i powtarzamy, aż zostaną czynniki liniowe i kwadratowe. Z rozkładu odczytujemy rozwiązania równań, a z „wężyka” znaków - rozwiązania nierówności.

Czego nauczysz się w tym dziale:

• rozpoznawać wielomian, jego stopień i współczynniki;
• dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany oraz sprawdzać ich równość;
• korzystać ze wzorów skróconego mnożenia stopnia 3 i wzoru na $a^n - b^n$;
• dzielić wielomiany pisemnie i schematem Hornera;
• stosować twierdzenie Bézouta i szukać pierwiastków wymiernych;
• rozpoznawać pierwiastki wielokrotne i ich wpływ na wykres;
• rozkładać wielomiany na czynniki;
• rozwiązywać równania i nierówności wielomianowe, także z parametrem.

Warto wcześniej znać wzory skróconego mnożenia i funkcję kwadratową, w szczególności postać iloczynową i nierówności kwadratowe. Zestawienie najważniejszych twierdzeń jest na stronie wielomiany - wzory i twierdzenia.

Do każdej lekcji są zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku - zestaw zadań z wielomianów: 84 zadania w 12 typach, od działań i dzielenia po nierówności, równania z parametrem i wykres wielomianu.