Dzielenie wielomianów - pisemnie i z resztą, krok po kroku

Q: Jak dzielić wielomiany?

Porządkujemy oba wielomiany według malejących potęg, uzupełniamy brakujące potęgi zerami i dzielimy pisemnie: najwyższy wyraz przez najwyższy wyraz dzielnika, mnożymy, odejmujemy, sprowadzamy kolejny wyraz - aż stopień reszty spadnie poniżej stopnia dzielnika. Przy dzieleniu przez dwumian x - a szybszy jest schemat Hornera.

Q: Co to znaczy, że wielomian jest podzielny przez dwumian?

Że da się go zapisać jako iloczyn tego dwumianu i innego wielomianu, czyli reszta z dzielenia wynosi 0. Na przykład x³ - 4x² + x + 6 = (x - 2)(x² - 2x - 3), więc jest podzielny przez x - 2.

Q: Jaki stopień ma reszta z dzielenia wielomianu?

Mniejszy niż stopień dzielnika. Przy dzieleniu przez wielomian stopnia 1 reszta jest liczbą, przy dzieleniu przez wielomian stopnia 2 ma postać px + q (może też być zerowa).

Q: Jaki stopień ma iloraz dwóch wielomianów?

Stopień dzielnej minus stopień dzielnika: deg Q = deg W - deg P. Wielomian stopnia 4 podzielony przez wielomian stopnia 2 daje iloraz stopnia 2.

Q: Jak sprawdzić, czy dobrze podzieliłem wielomian?

Pomnóż iloraz przez dzielnik i dodaj resztę. Jeśli wyjdzie dzielna, rachunek jest poprawny.

Q: Czy można podzielić wielomian przez wielomian wyższego stopnia?

Można, ale wynik jest trywialny: iloraz to 0, a reszta to cała dzielna. Na przykład x + 1 = (x² + 1) · 0 + (x + 1).

Klasa 2 liceum i technikum

Dzielenie wielomianu W przez wielomian P

$W(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x), \qquad \deg R < \deg P$

$\deg Q = \deg W - \deg P$

Podzielność: $W$ jest podzielny przez $P$ , gdy reszta jest zerowa, czyli $W(x) = P(x) \cdot Q(x)$ .

Podzielić wielomian $W$ przez niezerowy wielomian $P$ to znaleźć takie wielomiany $Q$ (iloraz) i $R$ (resztę), że $W(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x)$ , a stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika. Wielomian $W$ jest podzielny przez $P$ , gdy ta reszta jest wielomianem zerowym.

Kiedy wielomian jest podzielny przez inny wielomian

Dokładnie tak samo jak przy liczbach całkowitych: $12$ jest podzielne przez $4$ , bo $12 = 4 \cdot 3$ . Dla wielomianów:

Wielomian $W$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P$ , jeżeli istnieje wielomian $Q$ taki, że $W(x) = P(x) \cdot Q(x)$ dla każdego $x$ .

Przykład. Ze wzoru na różnicę sześcianów mamy

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4),$

więc wielomian $x^3 - 8$ jest podzielny przez $x - 2$ (i przez $x^2 + 2x + 4$ ). Iloczyn sprawdzamy zwykłym mnożeniem wielomianów.

Najczęściej jednak dzielnika nie widać od razu. Wtedy dzielimy - i patrzymy, czy reszta wyszła zerowa.

Twierdzenie o dzieleniu z resztą

Liczby całkowite dzielimy z resztą: $17 = 5 \cdot 3 + 2$ , a reszta $2$ jest mniejsza od dzielnika $5$ . Dla wielomianów „mniejsza” znaczy niższego stopnia:

Twierdzenie. Dla każdego wielomianu $W$ i każdego niezerowego wielomianu $P$ istnieje dokładnie jedna para wielomianów $Q$ i $R$ taka, że $W(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x)$ oraz $\deg R < \deg P$ (albo $R$ jest wielomianem zerowym).

Z tego wynikają dwie rzeczy, które warto mieć w głowie przed każdym dzieleniem:

iloraz ma stopień $\deg W - \deg P$ - dzieląc wielomian stopnia $4$ przez wielomian stopnia $2$ , dostaniemy iloraz stopnia $2$ ;
reszta ma stopień mniejszy od dzielnika: przy dzieleniu przez dwumian $x - a$ reszta jest liczbą, przy dzieleniu przez wielomian stopnia $2$ - co najwyżej wyrażeniem $px + q$ .

Dzielenie pisemne krok po kroku

Wielomiany dzielimy „pod kreską”, podobnie jak liczby w szkole podstawowej. Algorytm:

Uporządkuj dzielną i dzielnik według malejących potęg i uzupełnij brakujące potęgi zerami (np. $2x^3 - 7x + 4 = 2x^3 + 0x^2 - 7x + 4$ ).
Podziel najwyższy wyraz dzielnej przez najwyższy wyraz dzielnika. Wynik to kolejny wyraz ilorazu - zapisujemy go nad kreską.
Pomnóż ten wyraz przez cały dzielnik i wpisz iloczyn pod dzielną z przeciwnymi znakami.
Dodaj (to jest właśnie odejmowanie iloczynu) i sprowadź kolejny wyraz dzielnej.
Powtarzaj kroki 2-4, aż stopień tego, co zostało, będzie mniejszy od stopnia dzielnika. To, co zostało, to reszta.

Przykład 1 - dzielenie przez dwumian bez reszty

Zadanie. Podziel $W(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ przez $P(x) = x - 2$ .

$\begin{array}{l} \underline{\phantom{-x^3}\mathllap{}\;\phantom{-\,4x^2}\mathllap{x^2}\;\phantom{-\,2x}\mathllap{-\,2x}\;\phantom{-\,3}\mathllap{-\,3}}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-x^3}\mathllap{x^3}\;\phantom{-\,4x^2}\mathllap{-\,4x^2}\;\phantom{-\,2x}\mathllap{+\,x}\;\phantom{-\,3}\mathllap{+\,6}\;:\;(x - 2) \\ \underline{\phantom{-x^3}\mathllap{-x^3}\;\phantom{-\,4x^2}\mathllap{+\,2x^2}}\;\phantom{-\,2x}\;\phantom{-\,3}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-x^3}\;\phantom{-\,4x^2}\mathllap{-2x^2}\;\phantom{-\,2x}\mathllap{+\,x}\;\phantom{-\,3}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-x^3}\;\underline{\phantom{-\,4x^2}\mathllap{2x^2}\;\phantom{-\,2x}\mathllap{-\,4x}}\;\phantom{-\,3}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-x^3}\;\phantom{-\,4x^2}\;\phantom{-\,2x}\mathllap{-3x}\;\phantom{-\,3}\mathllap{+\,6}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-x^3}\;\phantom{-\,4x^2}\;\underline{\phantom{-\,2x}\mathllap{3x}\;\phantom{-\,3}\mathllap{-\,6}}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-x^3}\;\phantom{-\,4x^2}\;\phantom{-\,2x}\;\phantom{-\,3}\mathllap{0}\phantom{\;:\;(x - 2)} \end{array}$

Krok 1. $x^3 : x = x^2$ . Mnożymy $x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2$ i zapisujemy z przeciwnymi znakami: $-x^3 + 2x^2$ . Po dodaniu zostaje $-2x^2$ , dopisujemy $+x$ .

Krok 2. $-2x^2 : x = -2x$ . Iloczyn $-2x(x - 2) = -2x^2 + 4x$ zapisujemy jako $2x^2 - 4x$ . Zostaje $-3x$ , dopisujemy $+6$ .

Krok 3. $-3x : x = -3$ . Iloczyn $-3(x - 2) = -3x + 6$ zapisujemy jako $3x - 6$ . Zostaje $0$ .

Sprawdzenie. $(x - 2)(x^2 - 2x - 3) = x^3 - 2x^2 - 3x - 2x^2 + 4x + 6 = x^3 - 4x^2 + x + 6.$

Odpowiedź. $x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x - 2)(x^2 - 2x - 3)$ - reszta jest zerowa, więc $W$ jest podzielny przez $x - 2$ .

Przykład 2 - brakująca potęga i reszta różna od zera

Zadanie. Podziel $W(x) = 2x^3 - 7x + 4$ przez $x - 2$ .

W dzielnej nie ma $x^2$ , więc zapisujemy ją jako $2x^3 + 0x^2 - 7x + 4$ . Bez tego zera wyrazy różnych stopni wpadłyby do jednej kolumny.

$\begin{array}{l} \underline{\phantom{-2x^3}\mathllap{}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{2x^2}\;\phantom{+\,4x}\mathllap{+\,4x}\;\phantom{+\,1}\mathllap{+\,1}}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-2x^3}\mathllap{2x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{+\,0x^2}\;\phantom{+\,4x}\mathllap{-\,7x}\;\phantom{+\,1}\mathllap{+\,4}\;:\;(x - 2) \\ \underline{\phantom{-2x^3}\mathllap{-2x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{+\,4x^2}}\;\phantom{+\,4x}\;\phantom{+\,1}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-2x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{4x^2}\;\phantom{+\,4x}\mathllap{-\,7x}\;\phantom{+\,1}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-2x^3}\;\underline{\phantom{+\,0x^2}\mathllap{-4x^2}\;\phantom{+\,4x}\mathllap{+\,8x}}\;\phantom{+\,1}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-2x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\;\phantom{+\,4x}\mathllap{x}\;\phantom{+\,1}\mathllap{+\,4}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-2x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\;\underline{\phantom{+\,4x}\mathllap{-x}\;\phantom{+\,1}\mathllap{+\,2}}\phantom{\;:\;(x - 2)} \\ \phantom{-2x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\;\phantom{+\,4x}\;\phantom{+\,1}\mathllap{6}\phantom{\;:\;(x - 2)} \end{array}$

Kolejne wyrazy ilorazu: $2x^3 : x = 2x^2$ , potem $4x^2 : x = 4x$ , na końcu $x : x = 1$ . Zostaje liczba $6$ - jej stopień ( $0$ ) jest mniejszy od stopnia dzielnika ( $1$ ), więc kończymy.

Odpowiedź. Iloraz $Q(x) = 2x^2 + 4x + 1$ , reszta $R = 6$ :

$2x^3 - 7x + 4 = (x - 2)(2x^2 + 4x + 1) + 6.$

Wielomian nie jest podzielny przez $x - 2$ .

Przykład 3 - dzielenie przez wielomian stopnia 2

Program liceum wymaga też dzielenia przez wielomian stopnia większego od $1$ . Algorytm jest ten sam - zmienia się tylko to, że iloczyn zajmuje trzy kolumny, a reszta może zawierać $x$ .

Zadanie. Podziel $W(x) = 2x^4 + 3x^3 - x^2 + 5x - 4$ przez $P(x) = x^2 + x - 2$ .

Nad kreską iloraz, pod nią dzielna (dzielnik $x^2 + x - 2$ zostawiamy z boku, żeby schemat zmieścił się na ekranie telefonu):

$\begin{array}{l} \underline{\phantom{-2x^4}\mathllap{}\;\phantom{+\,3x^3}\mathllap{}\;\phantom{+\,4x^2}\mathllap{2x^2}\;\phantom{+\,5x}\mathllap{+\,x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{+\,2}} \\ \phantom{-2x^4}\mathllap{2x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\mathllap{+\,3x^3}\;\phantom{+\,4x^2}\mathllap{-\,x^2}\;\phantom{+\,5x}\mathllap{+\,5x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{-\,4} \\ \underline{\phantom{-2x^4}\mathllap{-2x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\mathllap{-\,2x^3}\;\phantom{+\,4x^2}\mathllap{+\,4x^2}}\;\phantom{+\,5x}\;\phantom{+\,2} \\ \phantom{-2x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\mathllap{x^3}\;\phantom{+\,4x^2}\mathllap{+\,3x^2}\;\phantom{+\,5x}\mathllap{+\,5x}\;\phantom{+\,2} \\ \phantom{-2x^4}\;\underline{\phantom{+\,3x^3}\mathllap{-x^3}\;\phantom{+\,4x^2}\mathllap{-\,x^2}\;\phantom{+\,5x}\mathllap{+\,2x}}\;\phantom{+\,2} \\ \phantom{-2x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\;\phantom{+\,4x^2}\mathllap{2x^2}\;\phantom{+\,5x}\mathllap{+\,7x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{-\,4} \\ \phantom{-2x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\;\underline{\phantom{+\,4x^2}\mathllap{-2x^2}\;\phantom{+\,5x}\mathllap{-\,2x}\;\phantom{+\,2}\mathllap{+\,4}} \\ \phantom{-2x^4}\;\phantom{+\,3x^3}\;\phantom{+\,4x^2}\;\phantom{+\,5x}\mathllap{5x}\;\phantom{+\,2} \end{array}$

Krok 1. $2x^4 : x^2 = 2x^2$ , iloczyn $2x^2(x^2 + x - 2) = 2x^4 + 2x^3 - 4x^2$ . Po odjęciu: $x^3 + 3x^2$ , dopisujemy $+5x$ .

Krok 2. $x^3 : x^2 = x$ , iloczyn $x(x^2 + x - 2) = x^3 + x^2 - 2x$ . Po odjęciu: $2x^2 + 7x$ , dopisujemy $-4$ .

Krok 3. $2x^2 : x^2 = 2$ , iloczyn $2(x^2 + x - 2) = 2x^2 + 2x - 4$ . Po odjęciu zostaje $5x$ .

Stopień $5x$ to $1$ , a dzielnik ma stopień $2$ - koniec.

Odpowiedź. $Q(x) = 2x^2 + x + 2$ , $R(x) = 5x$ :

$2x^4 + 3x^3 - x^2 + 5x - 4 = (x^2 + x - 2)(2x^2 + x + 2) + 5x.$

Wyznaczanie parametru z podzielności

Dzielenie działa także wtedy, gdy we współczynnikach jest parametr. Dzielimy normalnie, a na końcu żądamy, żeby reszta była zerowa.

Zadanie. Wyznacz $a$ i $b$ tak, żeby wielomian $W(x) = x^3 + ax + b$ był podzielny przez $P(x) = x^2 - x - 2$ .

Krok 1. Dzielimy $x^3 + 0x^2 + ax + b$ przez $x^2 - x - 2$ :

$\begin{array}{l} \underline{\phantom{-x^3}\mathllap{}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{}\;\phantom{+\,(a+2)x}\mathllap{x}\;\phantom{+\,(b+2)}\mathllap{+\,1}} \\ \phantom{-x^3}\mathllap{x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{+\,0x^2}\;\phantom{+\,(a+2)x}\mathllap{+\,ax}\;\phantom{+\,(b+2)}\mathllap{+\,b} \\ \underline{\phantom{-x^3}\mathllap{-x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{+\,x^2}\;\phantom{+\,(a+2)x}\mathllap{+\,2x}}\;\phantom{+\,(b+2)} \\ \phantom{-x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\mathllap{x^2}\;\phantom{+\,(a+2)x}\mathllap{+\,(a+2)x}\;\phantom{+\,(b+2)}\mathllap{+\,b} \\ \phantom{-x^3}\;\underline{\phantom{+\,0x^2}\mathllap{-x^2}\;\phantom{+\,(a+2)x}\mathllap{+\,x}\;\phantom{+\,(b+2)}\mathllap{+\,2}} \\ \phantom{-x^3}\;\phantom{+\,0x^2}\;\phantom{+\,(a+2)x}\mathllap{(a+3)x}\;\phantom{+\,(b+2)}\mathllap{+\,(b+2)} \end{array}$

Krok 2. Reszta musi być zerowa. $R(x) = (a + 3)x + (b + 2)$ jest wielomianem zerowym tylko wtedy, gdy oba współczynniki są zerami:

$a + 3 = 0 \quad \text{i} \quad b + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = -3,\ b = -2.$

Sprawdzenie. $(x^2 - x - 2)(x + 1) = x^3 + x^2 - x^2 - x - 2x - 2 = x^3 - 3x - 2.$

Odpowiedź. $a = -3$ , $b = -2$ .

Gdy dzielnik jest dwumianem $x - c$ , ten sam warunek da się zapisać krócej: $W(c) = 0$ . To treść twierdzenia Bézouta - dwie lekcje dalej.

Typowe błędy

Pominięte zero za brakującą potęgę. Bez $0x^2$ w Przykładzie 2 wyraz $-7x$ ląduje pod $x^2$ i cały rachunek się rozjeżdża. Uzupełniamy zerami dzielną i dzielnik.
Odejmowanie bez zmiany znaków. Iloczyn trzeba odjąć - dlatego zapisujemy go z przeciwnymi znakami i dopiero wtedy dodajemy. Najczęściej gubi się zmianę znaku przy drugim wyrazie.
Dzielenie o krok za długo albo za krótko. Kończymy dokładnie wtedy, gdy stopień tego, co zostało, jest mniejszy od stopnia dzielnika - przy dzielniku stopnia $2$ reszta $5x$ jest już gotowa, mimo że zawiera $x$ .
Brak sprawdzenia. Wynik zawsze można sprawdzić: $P \cdot Q + R$ musi dać $W$ .

Najczęstsze pytania

Jak dzielić wielomiany? Porządkujemy oba wielomiany według malejących potęg, uzupełniamy brakujące potęgi zerami i dzielimy pisemnie: najwyższy wyraz przez najwyższy wyraz dzielnika, mnożymy, odejmujemy, sprowadzamy kolejny wyraz - aż stopień reszty spadnie poniżej stopnia dzielnika. Przy dzieleniu przez dwumian $x - a$ szybszy jest schemat Hornera.

Co to znaczy, że wielomian jest podzielny przez dwumian? Że da się go zapisać jako iloczyn tego dwumianu i innego wielomianu, czyli reszta z dzielenia wynosi $0$ . Na przykład $x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x - 2)(x^2 - 2x - 3)$ , więc jest podzielny przez $x - 2$ .

Jaki stopień ma reszta z dzielenia wielomianu? Mniejszy niż stopień dzielnika. Przy dzieleniu przez wielomian stopnia $1$ reszta jest liczbą, przy dzieleniu przez wielomian stopnia $2$ ma postać $px + q$ (może też być zerowa).

Jaki stopień ma iloraz dwóch wielomianów? Stopień dzielnej minus stopień dzielnika: $\deg Q = \deg W - \deg P$ . Wielomian stopnia $4$ podzielony przez wielomian stopnia $2$ daje iloraz stopnia $2$ .

Jak sprawdzić, czy dobrze podzieliłem wielomian? Pomnóż iloraz przez dzielnik i dodaj resztę. Jeśli wyjdzie dzielna, rachunek jest poprawny.

Czy można podzielić wielomian przez wielomian wyższego stopnia? Można, ale wynik jest trywialny: iloraz to $0$ , a reszta to cała dzielna. Na przykład $x + 1 = (x^2 + 1) \cdot 0 + (x + 1)$ .

Przećwicz

Dzielenie wielomianów → - dzielenie pisemne przez dwumian i przez trójmian kwadratowy, z resztą i bez, z brakującymi potęgami oraz z parametrami wyznaczanymi z reszty.

Podsumowanie

$W(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x)$ , gdzie $\deg R < \deg P$ - iloraz i reszta są wyznaczone jednoznacznie.
$W$ jest podzielny przez $P$ , gdy reszta jest zerowa: $W = P \cdot Q$ .
Przed dzieleniem porządkujemy wielomiany i wpisujemy zera za brakujące potęgi.
Iloczyn zapisujemy pod dzielną z przeciwnymi znakami i dodajemy.
Parametr z warunku podzielności: dzielimy z parametrem i przyrównujemy każdy współczynnik reszty do zera.

Zobacz też

Schemat Hornera - szybkie dzielenie przez dwumian $x - a$ na samych współczynnikach.
Twierdzenie Bézouta - reszta z dzielenia przez $x - a$ bez dzielenia.
Rozkład wielomianu na czynniki - do czego dzielenie przydaje się najczęściej.
Wielomiany - wzory i twierdzenia - zestawienie najważniejszych twierdzeń.