Matura 1997 z matematyki - zadania i rozwiązania

Krok 0. Upraszczamy wzór - to klucz do całego zadania.

Mianownik rozkładamy na czynniki:

$x - x^2 = x(1 - x) = -x(x - 1).$

Dziedzina: mianownik nie może być zerem, więc $x \neq 0$ i $x \neq 1$, czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$. Dla $x$ z dziedziny czynnik $x - 1$ skraca się:

$f(x) = \frac{2(x-1)}{-x(x-1)} = -\frac{2}{x}.$

Uwaga: po skróceniu wzór wygląda jak zwykła hiperbola, ale punkt $x = 1$ nadal jest wyłączony z dziedziny - skracanie nie przywraca punktu, którego w dziedzinie nie było. To właśnie na tym opiera się podpunkt c).

a) Nierówność $f(x) \leq 2x$.

$-\frac{2}{x} \leq 2x \quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{2}{x} - 2x \leq 0.$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$\frac{-2 - 2x^2}{x} \leq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{2 + 2x^2}{x} \geq 0.$

Licznik $2 + 2x^2$ jest zawsze dodatni (suma liczby dodatniej i kwadratu), więc o znaku całego ułamka decyduje wyłącznie mianownik. Nierówność zachodzi dokładnie wtedy, gdy $x > 0$.

Pozostaje wyłączyć $x = 1$, którego nie ma w dziedzinie.

Odpowiedź: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

b) Równanie $f(x) + f'(x) = 1{,}5$.

Zapisujemy $f(x) = -2x^{-1}$ i różniczkujemy:

$f'(x) = -2 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \frac{2}{x^2}.$

Podstawiamy do równania:

$-\frac{2}{x} + \frac{2}{x^2} = \frac{3}{2}.$

Mnożymy obie strony przez $2x^2$ (wolno, bo $x \neq 0$):

$-4x + 4 = 3x^2 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x^2 + 4x - 4 = 0.$

$\Delta = 16 + 48 = 64, \qquad \sqrt{\Delta} = 8,$

$x_1 = \frac{-4 - 8}{6} = -2, \qquad x_2 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{2}{3}.$

Obie liczby należą do dziedziny. Sprawdzenie dla $x = \tfrac{2}{3}$: $f = -3$, $f' = \tfrac{2}{4/9} = 4{,}5$, suma $= 1{,}5$. Dla $x = -2$: $f = 1$, $f' = \tfrac{2}{4} = 0{,}5$, suma $= 1{,}5$.

Odpowiedź: $x = -2$ lub $x = \tfrac{2}{3}$.

c) Liczba rozwiązań równania $|f(x)| = m$.

$|f(x)| = \left|-\frac{2}{x}\right| = \frac{2}{|x|}, \qquad x \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}.$

Wykres składa się z dwóch gałęzi leżących nad osią $OX$, z „dziurą” w punkcie $(1, 2)$.

Wartość $\tfrac{2}{|x|}$ jest zawsze dodatnia, więc dla $m \leq 0$ równanie nie ma rozwiązań.

Niech $m > 0$. Równanie $\tfrac{2}{|x|} = m$ daje $|x| = \tfrac{2}{m}$, czyli

$x = \frac{2}{m} \qquad \text{albo} \qquad x = -\frac{2}{m}.$

Liczba $-\tfrac{2}{m}$ jest ujemna, więc zawsze należy do dziedziny. Liczba $\tfrac{2}{m}$ jest dodatnia i należy do dziedziny poza jednym przypadkiem: gdy $\tfrac{2}{m} = 1$, czyli gdy $m = 2$. Wtedy odpada.

Odpowiedź:

• $m \leq 0$ - brak rozwiązań,
• $m = 2$ - dokładnie jedno rozwiązanie ($x = -1$),
• $m > 0$ i $m \neq 2$ - dokładnie dwa rozwiązania.

Krok 0. Odczytujemy środki i promienie.

Z postaci kanonicznej równania okręgu:

$K_1: \ S_1 = (4, 0), \ r_1 = 3, \qquad K_2: \ S_2 = (0, m), \ r_2 = |m|.$

Zauważmy, że $K_2$ zawsze przechodzi przez początek układu: dla $x = 0$, $y = 0$ mamy $(0 - m)^2 + 0 = m^2$. Dla $m = 0$ „okrąg” $K_2$ degeneruje się do punktu, więc zakładamy $m \neq 0$.

a) Wspólne styczne dla $m = 3$.

Wtedy $S_2 = (0, 3)$ i $r_2 = 3$, czyli oba okręgi mają równe promienie $r_1 = r_2 = 3$.

Odległość środków:

$|S_1 S_2| = \sqrt{(0-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5.$

Ponieważ $|r_1 - r_2| = 0 < 5 < 6 = r_1 + r_2$, okręgi przecinają się w dwóch punktach - mają więc dokładnie dwie wspólne styczne (obie zewnętrzne).

Przy równych promieniach styczne zewnętrzne są równoległe do prostej środków. Współczynnik kierunkowy prostej $S_1S_2$:

$a = \frac{3 - 0}{0 - 4} = -\frac{3}{4},$

więc szukane styczne mają postać $3x + 4y + C = 0$. Warunek styczności to odległość środka od prostej równa promieniowi:

$\frac{|3 \cdot 4 + 4 \cdot 0 + C|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 3 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{|12 + C|}{5} = 3 \quad\Longleftrightarrow\quad |12 + C| = 15.$

Stąd $C = 3$ albo $C = -27$. Dla drugiego okręgu warunek daje $\tfrac{|4 \cdot 3 + C|}{5} = \tfrac{|12 + C|}{5} = 3$ - tę samą równość, co potwierdza, że obie proste są styczne do obu okręgów.

Odpowiedź: $3x + 4y + 3 = 0$ oraz $3x + 4y - 27 = 0$, czyli $y = -\tfrac{3}{4}x - \tfrac{3}{4}$ oraz $y = -\tfrac{3}{4}x + \tfrac{27}{4}$.

b) Dokładnie jeden punkt wspólny.

Okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, gdy są styczne - zewnętrznie albo wewnętrznie:

$|S_1S_2| = r_1 + r_2 \qquad \text{albo} \qquad |S_1S_2| = |r_1 - r_2|.$

Liczymy odległość środków: $|S_1S_2| = \sqrt{16 + m^2}$.

Styczność zewnętrzna:

$\sqrt{16 + m^2} = 3 + |m| \quad\Longrightarrow\quad 16 + m^2 = 9 + 6|m| + m^2 \quad\Longrightarrow\quad |m| = \frac{7}{6}.$

Styczność wewnętrzna:

$\sqrt{16 + m^2} = \big|3 - |m|\big| \quad\Longrightarrow\quad 16 + m^2 = 9 - 6|m| + m^2 \quad\Longrightarrow\quad 6|m| = -7,$

co jest niemożliwe - styczności wewnętrznej nie ma dla żadnego $m$.

Sprawdzenie dla $m = \tfrac{7}{6}$: $r_2 = \tfrac{7}{6}$, a odległość środków wynosi $\sqrt{16 + \tfrac{49}{36}} = \sqrt{\tfrac{625}{36}} = \tfrac{25}{6} = 3 + \tfrac{7}{6}$. Zgadza się.

Odpowiedź: $m = \tfrac{7}{6}$ lub $m = -\tfrac{7}{6}$.

c) Pole czworokąta.

Punkty przecięcia $K_2$ z osią $OY$. Podstawiamy $x = 0$:

$(y - m)^2 = m^2 \quad\Longrightarrow\quad y - m = \pm m \quad\Longrightarrow\quad y = 0 \ \text{ lub } \ y = 2m.$

Zgodnie z treścią zadania pierwszy punkt to początek układu, więc $C = (0, 2m)$.

Punkty przecięcia $K_1$ z osią $OX$. Podstawiamy $y = 0$:

$(x - 4)^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad x - 4 = \pm 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 \ \text{ lub } \ x = 7,$

czyli $A = (1, 0)$ i $B = (7, 0)$.

Wierzchołki czworokąta: $A = (1,0)$, $B = (7,0)$, $C = (0, 2m)$ oraz $S_2 = (0, m)$. Dwa leżą na osi $OX$, dwa na osi $OY$. Przekątna $AC$ dzieli go na dwa trójkąty.

Trójkąt $ABC$ - podstawa $AB$ leży na osi $OX$ i ma długość $7 - 1 = 6$, a wysokość to odległość punktu $C$ od osi $OX$, czyli $|2m|$:

$P_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot |2m| = 6|m|.$

Trójkąt $ACS_2$ - podstawa $CS_2$ leży na osi $OY$ i ma długość $|2m - m| = |m|$, a wysokość to odległość punktu $A$ od osi $OY$, czyli $1$:

$P_2 = \frac{1}{2} \cdot |m| \cdot 1 = \frac{|m|}{2}.$

$P = P_1 + P_2 = 6|m| + \frac{|m|}{2} = \frac{13|m|}{2}.$

Odpowiedź: $P = \tfrac{13|m|}{2} = 6{,}5 \cdot |m|$. Dla $m = 3$ z podpunktu a) daje to $P = 19{,}5$.

Krok 0. Oznaczenia. Niech $q$ będzie ilorazem ciągu. Wtedy

$b = aq, \qquad c = aq^2, \qquad d = aq^3,$

przy czym $a \neq 0$ i $q \neq 0$ (wszystkie wyrazy są różne od zera).

a) Wyznaczenie ilorazu.

Warunek zapisujemy jako $b + d = 2(a + c)$:

$aq + aq^3 = 2(a + aq^2).$

Wyłączamy wspólne czynniki po obu stronach:

$aq(1 + q^2) = 2a(1 + q^2).$

Dzielimy przez $a \neq 0$ oraz przez $1 + q^2$, które jest zawsze dodatnie, więc dzielenie jest bezpieczne:

$q = 2.$

Odpowiedź: $q = 2$.

b) Warunek z logarytmami.

Najpierw dziedzina: logarytmy istnieją tylko dla argumentów dodatnich, więc $a, b, c, d > 0$. Skoro $a > 0$ i $b = aq > 0$, to $q > 0$.

Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu:

$\log_{0,5}(ab) > \log_{0,5}(cd).$

Podstawa $0{,}5$ jest mniejsza od $1$, więc funkcja logarytmiczna jest malejąca - nierówność między logarytmami odwraca się przy przejściu do argumentów:

$ab < cd.$

Podstawiamy $ab = a \cdot aq = a^2q$ oraz $cd = aq^2 \cdot aq^3 = a^2q^5$:

$a^2 q < a^2 q^5 \quad\Longleftrightarrow\quad q < q^5 \quad\Longleftrightarrow\quad q^5 - q > 0.$

$q(q^4 - 1) > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad q(q^2 - 1)(q^2 + 1) > 0.$

Z dziedziny wiemy, że $q > 0$, a czynnik $q^2 + 1$ jest zawsze dodatni. Zostaje $q^2 - 1 > 0$, czyli $q > 1$.

Sprawdzenie dla $q = 2$, $a = 1$: wyrazy to $1, 2, 4, 8$, a lewa strona wynosi $0 + (-1) = -1$, prawa $(-2) + (-3) = -5$. Istotnie $-1 > -5$.

Odpowiedź: $q \in (1, +\infty)$.

c) Wyznaczenie wyrazów.

Pierwszy warunek - suma trzech pierwszych wyrazów:

$a + aq + aq^2 = 26 \quad\Longleftrightarrow\quad a(1 + q + q^2) = 26.$

Drugi warunek - ciąg arytmetyczny. Wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów:

$2(b + 6) = (a + 1) + (c + 3) \quad\Longleftrightarrow\quad 2b + 12 = a + c + 4 \quad\Longleftrightarrow\quad 2b = a + c - 8.$

Podstawiamy $b = aq$ i $c = aq^2$:

$2aq = a + aq^2 - 8 \quad\Longleftrightarrow\quad a(q^2 - 2q + 1) = 8 \quad\Longleftrightarrow\quad a(q-1)^2 = 8.$

Dzielimy równania stronami (prawe strony są niezerowe):

$\frac{1 + q + q^2}{(q-1)^2} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4}.$

$4(1 + q + q^2) = 13(q^2 - 2q + 1) \quad\Longleftrightarrow\quad 4 + 4q + 4q^2 = 13q^2 - 26q + 13,$

$9q^2 - 30q + 9 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3q^2 - 10q + 3 = 0.$

$\Delta = 100 - 36 = 64, \qquad q_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}, \qquad q_2 = \frac{10 + 8}{6} = 3.$

Przypadek $q = 3$: $a(1 + 3 + 9) = 26$, czyli $13a = 26$ i $a = 2$. Wyrazy:

$a = 2, \quad b = 6, \quad c = 18, \quad d = 54.$

Sprawdzenie: $2 + 6 + 18 = 26$. Ciąg $a+1, b+6, c+3$ to $3, 12, 21$ - różnica stała $9$.

Przypadek $q = \tfrac{1}{3}$: $a\left(1 + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{9}\right) = 26$, czyli $a \cdot \tfrac{13}{9} = 26$ i $a = 18$. Wyrazy:

$a = 18, \quad b = 6, \quad c = 2, \quad d = \frac{2}{3}.$

Sprawdzenie: $18 + 6 + 2 = 26$. Ciąg $a+1, b+6, c+3$ to $19, 12, 5$ - różnica stała $-7$.

Odpowiedź: zadanie ma dwa rozwiązania: $(2, 6, 18, 54)$ oraz $\left(18, 6, 2, \tfrac{2}{3}\right)$.

Krok 0. Podstawowe zależności.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, a spodek wysokości leży w jego środku, czyli w punkcie przecięcia przekątnych. Oznaczmy bok podstawy przez $s$, a wysokość przez $H$.

Rzutem krawędzi bocznej na płaszczyznę podstawy jest odcinek łączący wierzchołek podstawy ze środkiem kwadratu, czyli połowa przekątnej. Z trójkąta prostokątnego:

$\cos\alpha = \frac{s\sqrt{2}/2}{b} \quad\Longrightarrow\quad s = b\sqrt{2}\cos\alpha,$

$\sin\alpha = \frac{H}{b} \quad\Longrightarrow\quad H = b\sin\alpha.$

a) Objętość.

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{\text{podstawy}} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot s^2 \cdot H.$

$s^2 = \left(b\sqrt{2}\cos\alpha\right)^2 = 2b^2\cos^2\alpha,$

$V = \frac{1}{3} \cdot 2b^2\cos^2\alpha \cdot b\sin\alpha = \frac{2}{3}b^3 \sin\alpha \cos^2\alpha.$

Odpowiedź: $V = \tfrac{2}{3}b^3 \sin\alpha \cos^2\alpha$.

b) Kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi (dla $b = 10$, $\alpha = 60°$).

Liczymy wymiary: $\cos 60° = \tfrac{1}{2}$, $\sin 60° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$, więc

$s = 10\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{2}, \qquad H = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}.$

Oznaczmy podstawę $ABCD$ i wierzchołek $S$. Szukamy kąta dwuściennego przy krawędzi $SB$, czyli między ścianami $SAB$ i $SBC$. Prowadzimy z punktów $A$ i $C$ odcinki prostopadłe do krawędzi $SB$ - z symetrii trafiają w ten sam punkt $K$ na $SB$. Kątem dwuściennym jest kąt $AKC$.

Krok 1. Długość $AK$. W trójkącie $SAB$ mamy $|SA| = |SB| = 10$ oraz $|AB| = 5\sqrt{2}$. Pole liczymy dwoma sposobami. Wysokość opuszczona na $AB$:

$h = \sqrt{10^2 - \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{100 - 12{,}5} = \sqrt{87{,}5} = \frac{5\sqrt{14}}{2}.$

$P_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{5\sqrt{14}}{2} = \frac{25\sqrt{28}}{4} = \frac{25 \cdot 2\sqrt{7}}{4} = \frac{25\sqrt{7}}{2}.$

Z drugiej strony $P_{SAB} = \tfrac{1}{2} \cdot |SB| \cdot |AK| = 5|AK|$, więc

$|AK| = \frac{25\sqrt{7}}{2 \cdot 5} = \frac{5\sqrt{7}}{2}.$

Z symetrii $|CK| = |AK| = \tfrac{5\sqrt{7}}{2}$.

Krok 2. Długość $AC$. To przekątna kwadratu o boku $5\sqrt{2}$:

$|AC| = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10.$

Krok 3. Twierdzenie cosinusów w trójkącie $AKC$.

$|AC|^2 = |AK|^2 + |CK|^2 - 2 \cdot |AK| \cdot |CK| \cdot \cos\varphi,$

gdzie $|AK|^2 = \tfrac{175}{4}$. Podstawiamy:

$100 = \frac{175}{4} + \frac{175}{4} - 2 \cdot \frac{175}{4} \cdot \cos\varphi = \frac{175}{2}\left(1 - \cos\varphi\right).$

$1 - \cos\varphi = \frac{200}{175} = \frac{8}{7} \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi = 1 - \frac{8}{7} = -\frac{1}{7}.$

Wynik jest ujemny, więc kąt jest rozwarty ($\varphi \approx 98°$) - tak być powinno dla ostrosłupa.

Odpowiedź: $\cos\varphi = -\tfrac{1}{7}$.

c) Promień okręgu opisanego na ścianie bocznej.

Ściana boczna to trójkąt równoramienny o ramionach $b$ i podstawie $s = b\sqrt{2}\cos\alpha$. Korzystamy ze wzoru $R = \tfrac{xyz}{4P}$, gdzie $x, y, z$ to boki, a $P$ pole.

Krok 1. Wysokość ściany opuszczona na podstawę $s$:

$h_s = \sqrt{b^2 - \left(\frac{s}{2}\right)^2} = \sqrt{b^2 - \frac{2b^2\cos^2\alpha}{4}} = b\sqrt{1 - \frac{\cos^2\alpha}{2}} = \frac{b\sqrt{2 - \cos^2\alpha}}{\sqrt{2}}.$

Krok 2. Pole ściany:

$P = \frac{1}{2} \cdot s \cdot h_s = \frac{1}{2} \cdot b\sqrt{2}\cos\alpha \cdot \frac{b\sqrt{2-\cos^2\alpha}}{\sqrt{2}} = \frac{b^2\cos\alpha\sqrt{2-\cos^2\alpha}}{2}.$

Krok 3. Promień:

$R = \frac{b \cdot b \cdot b\sqrt{2}\cos\alpha}{4 \cdot \dfrac{b^2\cos\alpha\sqrt{2-\cos^2\alpha}}{2}} = \frac{b^3\sqrt{2}\cos\alpha}{2b^2\cos\alpha\sqrt{2-\cos^2\alpha}} = \frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{2-\cos^2\alpha}}.$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej $2 - \cos^2\alpha = 1 + \sin^2\alpha$, dostajemy postać wygodniejszą:

$R = \frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{1 + \sin^2\alpha}}.$

Sprawdzenie dla danych z podpunktu b) ($b = 10$, $\alpha = 60°$, czyli $\sin^2\alpha = \tfrac{3}{4}$):

$R = \frac{10\sqrt{2}}{2\sqrt{7/4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{10\sqrt{14}}{7} \approx 5{,}35.$

Trójkąt ma wtedy boki $10$, $10$, $5\sqrt{2}$ - promień musi być większy od połowy najdłuższego boku, czyli od $5$. Zgadza się.

Odpowiedź: $R = \dfrac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{1 + \sin^2\alpha}}$.

a) Dokładnie jeden punkt wspólny z prostą $y = 3x - 1$.

Przyrównujemy wzory:

$(m-3)x^2 + (m-1)x - 1 = 3x - 1 \quad\Longleftrightarrow\quad (m-3)x^2 + (m-4)x = 0.$

Wyłączamy $x$ przed nawias:

$x\big[(m-3)x + (m-4)\big] = 0.$

Przypadek $m = 3$. Równanie redukuje się do $x \cdot (-1) = 0$, czyli $x = 0$ - dokładnie jedno rozwiązanie. Warto zauważyć, że dla $m = 3$ funkcja $f$ nie jest kwadratowa, lecz liniowa ($f(x) = 2x - 1$), a treść zadania tego nie wyklucza - mowa jest o „wykresie funkcji $f$”, nie o paraboli. To najczęściej pomijany przypadek w tym zadaniu.

Przypadek $m \neq 3$. Równanie ma dwa pierwiastki: $x = 0$ oraz $x = \tfrac{4 - m}{m - 3}$. Punkt wspólny jest dokładnie jeden, gdy te pierwiastki się pokrywają:

$\frac{4-m}{m-3} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m = 4.$

Sprawdzenie dla $m = 4$: $f(x) = x^2 + 3x - 1$, a równanie $x^2 + 3x - 1 = 3x - 1$ daje $x^2 = 0$ - pierwiastek podwójny, czyli prosta jest styczna do paraboli.

Odpowiedź: $m = 3$ lub $m = 4$.

b) Suma kwadratów pierwiastków równania $f(x) = -1$.

Uwaga o treści zadania. W archiwalnym zapisie tego arkusza zdanie urywa się po słowach „suma kwadratów pierwiastków równania $f(x) = -1$” - brakuje warunku, który ta suma ma spełniać (np. „jest najmniejsza” albo „jest równa danej liczbie”). Braku nie da się dziś uzupełnić z pewnością, więc poniżej rozwiązujemy część niezależną od brakującego warunku, a potem pokazujemy, jak dokończyć rachunek w dwóch najbardziej prawdopodobnych wersjach.

Krok 1. Rozwiązujemy równanie $f(x) = -1$.

$(m-3)x^2 + (m-1)x - 1 = -1 \quad\Longleftrightarrow\quad (m-3)x^2 + (m-1)x = 0,$

$x\big[(m-3)x + (m-1)\big] = 0.$

Dla $m = 3$ zostaje $2x = 0$, czyli jeden pierwiastek $x = 0$. Dla $m \neq 3$ pierwiastki to

$x_1 = 0, \qquad x_2 = \frac{1 - m}{m - 3}.$

Krok 2. Suma kwadratów pierwiastków.

$x_1^2 + x_2^2 = 0 + \left(\frac{1-m}{m-3}\right)^2 = \left(\frac{m-1}{m-3}\right)^2.$

To jest pełna odpowiedź na pytanie „ile wynosi suma kwadratów pierwiastków” - reszta zależy od brakującego warunku.

Wersja 1: suma ma być najmniejsza. Wyrażenie jest kwadratem, więc jest nieujemne, a wartość $0$ osiąga dokładnie wtedy, gdy $m - 1 = 0$:

$m = 1.$

Wtedy $f(x) = -2x^2 - 1$, a równanie $f(x) = -1$ ma pierwiastek podwójny $x = 0$ i suma kwadratów wynosi $0$ - czyli faktycznie najmniej, jak się da.

Wersja 2: suma ma być równa danej liczbie $k > 0$. Rozwiązujemy

$\left(\frac{m-1}{m-3}\right)^2 = k \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{m-1}{m-3} = \pm\sqrt{k},$

co po przemnożeniu daje równanie liniowe względem $m$. Na przykład dla $k = 4$ otrzymujemy $m = 5$ albo $m = \tfrac{7}{3}$.

c) Zbiór wartości równy $(-\infty, 1\rangle$.

Zbiór wartości postaci $(-\infty, q\rangle$ ma funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół, przyjmująca wartość największą $q$ w wierzchołku. Potrzebne są więc dwa warunki:

Warunek 1 - funkcja ma być kwadratowa o ujemnym współczynniku:

$m - 3 < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m < 3.$

Warunek 2 - druga współrzędna wierzchołka równa $1$. Liczymy wyróżnik dla $a = m-3$, $b = m-1$, $c = -1$:

$\Delta = (m-1)^2 - 4(m-3)(-1) = m^2 - 2m + 1 + 4m - 12 = m^2 + 2m - 11.$

$q = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{m^2 + 2m - 11}{4(m-3)} = 1.$

Mnożymy obie strony przez $4(m-3)$ (jest różne od zera, bo $m < 3$):

$-(m^2 + 2m - 11) = 4(m - 3) \quad\Longleftrightarrow\quad -m^2 - 2m + 11 = 4m - 12,$

$m^2 + 6m - 23 = 0.$

$\Delta_m = 36 + 92 = 128, \qquad \sqrt{\Delta_m} = 8\sqrt{2},$

$m = \frac{-6 \pm 8\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 4\sqrt{2}.$

Sprawdzamy warunek 1. Ponieważ $4\sqrt{2} \approx 5{,}66$, mamy $-3 + 4\sqrt{2} \approx 2{,}66 < 3$ oraz $-3 - 4\sqrt{2} \approx -8{,}66 < 3$. Obie wartości są dopuszczalne.

Odpowiedź: $m = -3 + 4\sqrt{2}$ lub $m = -3 - 4\sqrt{2}$.