Przekształcenia wykresów funkcji

Klasa 2 liceum i technikum

Do tej pory każdy nowy wykres rysowaliśmy od zera - licząc punkty i łącząc je krzywą. Ten dział pokazuje krótszą drogę: jeden znany wykres wystarczy, żeby narysować dziesiątki innych. Wystarczy go przesunąć, odbić, rozciągnąć albo ścisnąć.

Zaczynamy od wektora, bo to on jest językiem, w którym opisuje się przesunięcia: wektor $\vec{u} = [p, q]$ mówi dokładnie, o ile w bok i o ile w górę przesuwamy figurę. Potem po kolei poznajemy wszystkie przekształcenia, a na końcu składamy je razem i wykorzystujemy do rozwiązywania równań i nierówności.

Czego nauczysz się w tym dziale:

• czym jest wektor i jak zapisać go w układzie współrzędnych;
• przesuwać wykres wzdłuż osi $OX$ ($y = f(x - p)$) i wzdłuż osi $OY$ ($y = f(x) + q$);
• odbijać wykres w symetrii osiowej względem osi $OX$ ($y = -f(x)$) i $OY$ ($y = f(-x)$);
• stosować symetrię środkową względem początku układu ($y = -f(-x)$);
• rysować wykresy $y = |f(x)|$ oraz $y = f(|x|)$;
• rozciągać i ściskać wykres: $y = k \cdot f(x)$ oraz $y = f(k \cdot x)$;
• szkicować wykresy funkcji powstałych przez złożenie kilku przekształceń;
• odczytywać z wykresu rozwiązania równań i nierówności.

Ten materiał przydaje się natychmiast w kolejnym dziale - postać kanoniczna funkcji kwadratowej to nic innego jak przesunięta parabola $y = x^2$. Warto wcześniej znać pojęcie funkcji i jej własności oraz wykres funkcji.

Wszystkie przekształcenia pokazujemy na tej samej łamanej - dzięki temu na każdym rysunku od razu widać, co dokładnie zmieniło się względem wykresu wyjściowego. Do samodzielnych prób przyda się rysownik przekształceń wykresu: suwakami składasz przesunięcia, symetrie i moduły, a wykres bazowy zostaje na rysunku obok przekształconego. Ogólne własności funkcji sprawdzisz w rysowniku funkcji.