Miejsce zerowe funkcji

Klasa 1 liceum i technikum

Czym jest miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument $x_0$, dla którego wartość funkcji wynosi zero, czyli $f(x_0) = 0$.

Zwróć uwagę na słowo argument: miejsce zerowe to liczba z osi poziomej $OX$ (jakaś wartość $x$), a nie wartość funkcji. Wartość w tym punkcie jest z definicji równa zeru - dlatego nazwa „miejsce zerowe”.

Interpretacja na wykresie

Skoro $f(x_0) = 0$, to punkt wykresu odpowiadający argumentowi $x_0$ ma współrzędne $(x_0, 0)$ - leży na osi $OX$. Stąd prosta i bardzo przydatna interpretacja:

Miejsce zerowe to odcięta punktu, w którym wykres przecina (lub dotyka) oś $OX$.

Funkcja może mieć jedno miejsce zerowe, kilka, nieskończenie wiele albo wcale - jeśli jej wykres w ogóle nie dotyka osi $OX$ (np. $f(x) = x^2 + 1$ jest zawsze dodatnia, więc miejsc zerowych nie ma).

Jak wyznaczyć miejsce zerowe

Z definicji wynika prosty przepis: przyrównujemy wzór funkcji do zera i rozwiązujemy równanie $f(x) = 0$. Jego rozwiązania to właśnie miejsca zerowe.

Przykład 1. Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x) = 2x - 6$.

Rozwiązujemy równanie $f(x) = 0$:

$2x - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.$

Funkcja ma jedno miejsce zerowe: $x_0 = 3$. Jej wykres przecina oś $OX$ w punkcie $(3, 0)$.

Przykład 2. Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x) = x^2 - 9$.

$x^2 - 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad x = -3 \ \text{ lub } \ x = 3.$

Tu pomocny jest wzór skróconego mnożenia: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$, a iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem. Funkcja ma dwa miejsca zerowe: $x = -3$ oraz $x = 3$.

Przykład 3. Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x) = \dfrac{x - 4}{x + 1}$.

Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero (a mianownik różny od zera):

$x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.$

Sprawdzamy mianownik: dla $x = 4$ mamy $x + 1 = 5 \ne 0$, więc $4$ należy do dziedziny. Miejscem zerowym jest $x_0 = 4$.

Po co nam miejsca zerowe

Miejsca zerowe dzielą oś $OX$ na przedziały, w których funkcja ma stały znak (jest cały czas dodatnia albo cały czas ujemna). Dzięki temu, znając miejsca zerowe, łatwo ustalić, gdzie $f(x) > 0$, a gdzie $f(x) < 0$ - to bardzo częste pytanie w zadaniach i na maturze. Wrócimy do tego przy odczytywaniu własności z wykresu.

Najczęstsze pytania

Czy miejsce zerowe to punkt, czy liczba? To liczba - argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero. Na wykresie odpowiada mu punkt $(x_0, 0)$, ale samo miejsce zerowe podajemy jako liczbę, np. $x_0 = 3$.

Czy funkcja może nie mieć miejsc zerowych? Tak. Wykres po prostu nie dotyka osi $OX$ - tak jest np. dla $f(x) = x^2 + 1$ czy dla funkcji stałej $f(x) = 4$. Funkcja może też mieć ich wiele, a nawet nieskończenie wiele (np. funkcje trygonometryczne).

Jak znaleźć miejsca zerowe, gdy funkcja jest iloczynem? Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się choć jeden czynnik. Dla $f(x) = (x-2)(x+5)$ przyrównujemy do zera każdy nawias osobno i dostajemy $x_0 = 2$ oraz $x_0 = -5$. Ta sztuczka jest powodem, dla którego tak często rozkłada się wyrażenia na czynniki.

Czy znalezione rozwiązanie zawsze jest miejscem zerowym? Tylko wtedy, gdy należy do dziedziny. Rozwiązując równanie $f(x) = 0$ dla funkcji z ułamkiem lub pierwiastkiem, trzeba na końcu sprawdzić, czy wynik nie został wcześniej wykluczony przez warunki dziedziny.

Przećwicz

• Miejsca zerowe funkcji → - funkcja liniowa, kwadratowa, wymierna i wielomianowa.

Podsumowanie

• Miejsce zerowe to argument $x_0$, dla którego $f(x_0) = 0$.
• Na wykresie to odcięta punktu przecięcia z osią $OX$ (punkt $(x_0, 0)$).
• Miejsca zerowe wyznaczamy, rozwiązując równanie $f(x) = 0$; funkcja może ich mieć dowolnie wiele lub nie mieć wcale.