Upraszczanie wyrażeń wymiernych - ułamki piętrowe i tożsamości

Klasa 3 liceum i technikum

Uproszczenie wyrażenia wymiernego (ułamka algebraicznego) to zapisanie go w postaci jednego ułamka $\frac{W(x)}{Q(x)}$, którego licznika i mianownika nie da się już skrócić, z podaniem dziedziny wyrażenia wyjściowego. Dziedziny nie odczytujemy z wyniku - po skróceniu wynik bywa określony w punktach, w których pierwotne wyrażenie nie miało sensu.

Ta lekcja łączy trzy wcześniejsze: wyrażenie wymierne i jego dziedzinę, dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie. Nowe jest to, że działania występują razem - a każde z nich dokłada własne warunki do dziedziny.

Kolejność działań w wyrażeniu wymiernym

Obowiązuje ta sama kolejność co w arytmetyce. Zanim zaczniemy liczyć, rozkładamy mianowniki na czynniki - wtedy od razu widać i dziedzinę, i wspólny mianownik.

Przykład 1. Uprość wyrażenie $\left(\dfrac{x}{x-2} - \dfrac{x}{x+2}\right) : \dfrac{4x}{x^2-4}$.

Krok 1. Dziedzina. Mianowniki: $x - 2 \neq 0$, $x + 2 \neq 0$, $x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \neq 0$. Dzielimy przez ułamek $\frac{4x}{x^2-4}$, więc jego licznik też nie może być zerem: $4x \neq 0$.

$D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 2\}$

Krok 2. Nawias. Wspólny mianownik to $(x-2)(x+2)$:

$\dfrac{x(x+2) - x(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x^2 + 2x - x^2 + 2x}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{4x}{(x-2)(x+2)}$

Krok 3. Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:

$\dfrac{4x}{(x-2)(x+2)} \cdot \dfrac{(x-2)(x+2)}{4x} = 1$

Odpowiedź. Wyrażenie jest równe $1$ dla każdego $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 2\}$. Bez warunku $x \neq 0$ odpowiedź byłaby błędna - dla $x = 0$ dzielilibyśmy przez zero.

Przykład 2. Uprość wyrażenie $\dfrac{x^2-1}{x^2+2x} \cdot \dfrac{x+2}{x-1} - \dfrac{2}{x}$.

Krok 1. Rozkład i dziedzina. $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, $\ x^2 + 2x = x(x+2)$. Mianowniki: $x \neq 0$, $x \neq -2$, $x \neq 1$, czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 1\}$.

Krok 2. Mnożenie (przed odejmowaniem):

$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x+2)} \cdot \dfrac{x+2}{x-1} = \dfrac{x+1}{x}$

Krok 3. Odejmowanie:

$\dfrac{x+1}{x} - \dfrac{2}{x} = \dfrac{x-1}{x}$

Odpowiedź. $\dfrac{x-1}{x}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 1\}$. Wynik jest określony dla $x = 1$ (daje $0$), ale wyrażenie wyjściowe - nie, bo w drugim ułamku mianownik $x - 1$ się zeruje. Dlatego $1$ zostaje poza dziedziną.

Jak uprościć ułamek piętrowy

Ułamek piętrowy to ułamek, którego licznik lub mianownik sam zawiera ułamki. Upraszczamy go w dwóch ruchach: najpierw sprowadzamy licznik i mianownik „dużej kreski” do pojedynczych ułamków, potem dzielimy jeden przez drugi.

Przykład 3. Uprość wyrażenie $\dfrac{1 - \dfrac{1}{x}}{x - \dfrac{1}{x}}$.

Krok 1. Piętro wyżej i piętro niżej.

$1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}, \qquad x - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x^2-1}{x} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x}$

Krok 2. Dziedzina. Małe mianowniki: $x \neq 0$. Duży mianownik nie może być zerem: $(x-1)(x+1) \neq 0$, więc $x \neq 1$ i $x \neq -1$. Razem $D = \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}$.

Krok 3. Dzielenie:

$\dfrac{x-1}{x} \cdot \dfrac{x}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x+1}$

Odpowiedź. $\dfrac{1}{x+1}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}$.

Przykład 4 (ułamek łańcuchowy). Uprość wyrażenie $\dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}}$.

Pracujemy od środka. Każde piętro dokłada jeden warunek:

Odpowiedź. $\dfrac{x+1}{2x+1}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \left\{-1,\ -\frac{1}{2},\ 0\right\}$. Sprawdzenie dla $x = 1$: wyrażenie wyjściowe daje $\frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$, wynik daje $\frac{2}{3}$.

Obliczanie wartości wyrażenia wymiernego

Gdy trzeba obliczyć wartość dla konkretnej liczby, najpierw upraszczamy, potem podstawiamy. Podstawianie do nieuproszczonego wyrażenia (zwłaszcza liczby z pierwiastkiem) to dużo rachunków i dużo okazji do błędu.

Przykład 5. Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4} : \dfrac{x-2}{x^2+2x}$ dla $x = \sqrt{3}$.

Krok 1. Rozkład. $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$, $\ x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, $\ x^2 + 2x = x(x+2)$.

Krok 2. Dziedzina. Mianowniki: $x \neq 2$, $x \neq -2$, $x \neq 0$; licznik dzielnika: $x - 2 \neq 0$. Zatem $D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 2\}$, a $\sqrt{3}$ do niej należy.

Krok 3. Uproszczenie:

$\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} \cdot \dfrac{x(x+2)}{x-2} = x$

Odpowiedź. Dla $x = \sqrt{3}$ wartość wyrażenia wynosi $\sqrt{3}$. Dla $x = 2$ wartości nie ma wcale, choć wynik „$x$” sugerowałby liczbę $2$.

Przykład 6. Wiadomo, że $\frac{a}{b} = 3$. Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{a^2 + ab}{ab - b^2}$.

Rozkładamy i dzielimy licznik oraz mianownik przez $b^2$ (z warunku wynika $b \neq 0$):

$\dfrac{a(a+b)}{b(a-b)} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{\frac{a}{b} + 1}{\frac{a}{b} - 1} = 3 \cdot \dfrac{4}{2} = 6$

Odpowiedź. $6$. Kontrola na liczbach: $a = 3$, $b = 1$ daje $\frac{9 + 3}{3 - 1} = 6$. Podobne zadania z warunkiem $x + \frac{1}{x} = k$ znajdziesz w zestawie liczba i jej odwrotność.

Dowód tożsamości z wyrażeniami wymiernymi

Tożsamość to równość prawdziwa dla każdej liczby z dziedziny. Dowodzimy jej, przekształcając jedną stronę (zwykle bardziej złożoną) tak długo, aż otrzymamy drugą. Nie „rozwiązujemy” jej jak równania - nie szukamy $x$, tylko pokazujemy, że równość zachodzi zawsze. Dziedzinę podaje zwykle treść; jeśli nie - wyznaczamy ją na początku.

Przykład 7. Wykaż, że dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 1\}$ zachodzi równość $\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{2}{x^2-1} = 1$.

Dowód. Wspólny mianownik lewej strony to $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$:

$L = \dfrac{x(x+1) - (x-1) - 2}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x^2 + x - x + 1 - 2}{x^2 - 1} = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 1} = 1 = P$

Uwaga na minus przed drugim ułamkiem: odejmujemy cały licznik $(x - 1)$, więc $-(x-1) = -x + 1$. To najczęstsze miejsce błędu w takich dowodach.

Przykład 8. Wykaż, że dla $a \neq 0$, $b \neq 0$, $a \neq b$ zachodzi równość $\left(\dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a}\right) : \left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\right) = -(a + b)$.

Dowód. Sprowadzamy oba nawiasy do wspólnego mianownika $ab$:

$\dfrac{a^2 - b^2}{ab} : \dfrac{b - a}{ab} = \dfrac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \dfrac{ab}{b-a} = \dfrac{(a-b)(a+b)}{-(a-b)} = -(a+b)$

Warunek $a \neq b$ jest potrzebny, bo dzielnik $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ zeruje się dokładnie dla $a = b$. Sztuczka $b - a = -(a - b)$ pozwala skrócić czynnik i jest bardzo częsta.

Zestawienie przykładów

Za każdym razem dziedzina jest węższa niż dziedzina postaci uproszczonej. Tak ma być - liczby wykluczone na początku nie wracają do gry po skróceniu.

Typowe błędy

• Dziedzina z wyniku zamiast z wyrażenia wyjściowego (przykłady 2 i 5). Wypisz ją na początku, zanim cokolwiek skrócisz.
• Zapomniany licznik dzielnika. Dzieląc przez $\frac{C}{D}$, wykluczamy także $C = 0$.
• Skracanie składników zamiast czynników. $\frac{x+3}{x} \neq 3$ i $\frac{x^2 + 4}{x + 2} \neq x + 2$ (to nie jest $x^2 - 4$!) - skracać wolno tylko to, co jest mnożone.
• Minus przed ułamkiem z sumą w liczniku - zmienia znaki wszystkich wyrazów licznika.
• Dodawanie przed mnożeniem. W przykładzie 2 najpierw mnożymy, potem odejmujemy.
• W ułamku piętrowym pominięty warunek „duży mianownik ≠ 0” (przykład 3: $x \neq \pm 1$).

Najczęstsze pytania

Jak uprościć wyrażenie wymierne? Rozłóż liczniki i mianowniki na czynniki, wyznacz dziedzinę, wykonaj działania w zwykłej kolejności (nawiasy, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie), a na końcu skróć wspólne czynniki. Wynik podaj razem z dziedziną.

Jak uprościć ułamek piętrowy? Licznik i mianownik dużej kreski sprowadź osobno do pojedynczych ułamków, a potem pomnóż licznik przez odwrotność mianownika. Do dziedziny wejdą wszystkie małe mianowniki i warunek, że duży mianownik jest różny od zera.

Czy po skróceniu zmienia się dziedzina wyrażenia? Dziedzina wyrażenia się nie zmienia - nadal wyznacza ją wyrażenie wyjściowe. Zmienia się tylko zapis. Dlatego mówimy, że wyrażenie jest równe postaci uproszczonej dla $x$ z dziedziny.

Co to jest ułamek algebraiczny? To inna nazwa wyrażenia wymiernego - ilorazu dwóch wielomianów, np. $\frac{x+1}{x^2-4}$, z mianownikiem różnym od zera. Więcej w lekcji o wyrażeniu wymiernym.

Jak obliczyć wartość wyrażenia wymiernego dla danej liczby? Sprawdź, czy liczba należy do dziedziny, uprość wyrażenie i dopiero wtedy podstaw. Jeśli liczba nie należy do dziedziny, wyrażenie nie ma dla niej wartości.

Jak udowodnić tożsamość z ułamkami algebraicznymi? Przekształcaj jedną stronę, aż otrzymasz drugą, albo obie strony do tej samej postaci. Nie mnóż „obu stron przez mianownik” jak w równaniu - w dowodzie tożsamości niczego nie zakładamy, tylko przekształcamy.

Podsumowanie

• Najpierw rozkład na czynniki i dziedzina, potem działania, na końcu skracanie.
• Dziedzina pochodzi z wyrażenia wyjściowego: mianowniki, mianowniki w piętrach, liczniki dzielników.
• Ułamek piętrowy = licznik razy odwrotność mianownika; w łańcuchu pracujemy od środka.
• Wartość liczymy po uproszczeniu, sprawdzając wcześniej dziedzinę.
• Tożsamości dowodzimy przekształcaniem jednej strony; $b - a = -(a - b)$ pomaga skracać.

Zobacz też

• Następna lekcja: równania wymierne - te same przekształcenia, ale z szukaniem niewiadomej i odrzucaniem rozwiązań spoza dziedziny.
• Rozkładanie wielomianów na czynniki - pierwszy krok każdego uproszczenia.
• Upraszczanie wyrażeń algebraicznych → - trening podstaw z klasy 1.
• Upraszczanie wyrażeń ze wzorami skróconego mnożenia →.
• Wzory skróconego mnożenia - najczęstsze rozkłady liczników i mianowników.
• Zestawienie wzorów: funkcja wymierna - wzór, asymptoty, dziedzina.