Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych krok po kroku

Q: Jak wyznaczyć dziedzinę sumy wyrażeń wymiernych?

Wyrzuć ze zbioru R miejsca zerowe wszystkich mianowników, czyli weź część wspólną dziedzin składników.

Q: Co zrobić z mianownikami x − a i a − x?

Wyłącz minus: B/a - x = -B/x - a. Wtedy mianowniki są takie same.

Klasa 3 liceum i technikum

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Ten sam mianownik - dodajemy (odejmujemy) liczniki:

$\frac{A}{Q} \pm \frac{B}{Q} = \frac{A \pm B}{Q}$

Różne mianowniki - sprowadzamy do wspólnego:

$\frac{A}{P} + \frac{B}{Q} = \frac{A \cdot Q + B \cdot P}{P \cdot Q}$

Najprostszy wspólny mianownik = NWW mianowników: rozkładamy je na czynniki i bierzemy każdy czynnik w najwyższej potędze, w jakiej występuje.

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych polega na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika - najlepiej najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) mianowników rozłożonych na czynniki - a potem dodaniu lub odjęciu liczników przy niezmienionym mianowniku. Dziedziną wyniku jest część wspólna dziedzin wszystkich składników.

To dokładnie ten sam mechanizm co przy ułamkach zwykłych. Lekcja zakłada, że znasz pojęcie wyrażenia wymiernego, jego dziedzinę i skracanie.

Analogia z ułamkami zwykłymi

Przy $\frac{1}{6} + \frac{3}{4}$ nie mnożymy mianowników ( $6 \cdot 4 = 24$ ), tylko szukamy $\operatorname{NWW}(6, 4) = 12$ : rozkładamy $6 = 2 \cdot 3$ , $4 = 2^2$ i bierzemy $2^2 \cdot 3$ .

$\frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{11}{12}$

Z wyrażeniami wymiernymi jest identycznie - rolę liczb pierwszych grają czynniki liniowe (i kwadratowe bez pierwiastków).

Mianowniki	Rozkład na czynniki	Wspólny mianownik (NWW)
6 i 4	2 · 3 oraz 2²	2² · 3 = 12
x − 1 i x + 2	bez wspólnych czynników	(x − 1)(x + 2)
x² − 4 i x² + 2x	(x − 2)(x + 2) oraz x(x + 2)	x(x − 2)(x + 2)
x² − 2x + 1 i x² − x	(x − 1)² oraz x(x − 1)	x(x − 1)²
x − 2 i 2 − x	2 − x = −(x − 2)	x − 2 (wystarczy zmienić znak)

Ułamki o tym samym mianowniku

Przykład 1. Oblicz $\dfrac{2x + 1}{x - 3} - \dfrac{x + 4}{x - 3}$ .

Krok 1. Dziedzina. $x \neq 3$ .

Krok 2. Odejmujemy liczniki, biorąc odejmowany licznik w nawias:

$\frac{(2x + 1) - (x + 4)}{x - 3} = \frac{2x + 1 - x - 4}{x - 3} = \frac{x - 3}{x - 3}$

Odpowiedź. $1$ dla $x \neq 3$ . Bez nawiasu wyszłoby $2x + 1 - x + 4 = x + 5$ - to najczęstszy błąd całego działu.

Mianowniki bez wspólnych czynników

Gdy mianowniki nie mają wspólnego czynnika, wspólnym mianownikiem jest ich iloczyn - każdy ułamek rozszerzamy przez mianownik drugiego.

Przykład 2. Oblicz $\dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{3}{x + 2}$ .

Krok 1. Dziedzina. $x \neq 1$ i $x \neq -2$ .

Krok 2. Rozszerzamy.

$\frac{2(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)} + \frac{3(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x + 4 + 3x - 3}{(x - 1)(x + 2)}$

Odpowiedź. $\dfrac{5x + 1}{(x - 1)(x + 2)}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 1\}$ .

Mianownika nie wymnażamy - postać iloczynowa przyda się, gdyby trzeba było coś skrócić albo rozwiązać równanie czy nierówność wymierną.

Wspólny mianownik jako NWW mianowników

Gdy mianowniki mają wspólne czynniki, iloczyn mianowników też zadziała, ale da wyrażenie niepotrzebnie duże, które trzeba będzie potem skracać. Szybciej działa schemat:

Rozłóż każdy mianownik na czynniki (rozkład wielomianu na czynniki).
Wspólny mianownik = iloczyn wszystkich różnych czynników, każdy w najwyższej potędze.
Każdy ułamek rozszerz o czynniki, których mu brakuje.
Dodaj liczniki, uprość, sprawdź, czy coś się skraca.

Przykład 3. Oblicz $\dfrac{1}{x^2 - 4} + \dfrac{1}{x^2 + 2x}$ .

Krok 1. Rozkład. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ , $\ x^2 + 2x = x(x + 2)$ . Dziedzina: $x \neq -2$ , $x \neq 0$ , $x \neq 2$ .

Krok 2. NWW. Czynniki $x$ , $x - 2$ , $x + 2$ - każdy w pierwszej potędze: $x(x - 2)(x + 2)$ .

Krok 3. Rozszerzamy. Pierwszemu ułamkowi brakuje $x$ , drugiemu $(x - 2)$ :

$\frac{x}{x(x - 2)(x + 2)} + \frac{x - 2}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x - 2}{x(x - 2)(x + 2)}$

Odpowiedź. $\dfrac{2(x - 1)}{x(x - 2)(x + 2)}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 2\}$ .

Przykład 4 (skracanie na końcu). Oblicz $\dfrac{x}{x - 3} - \dfrac{18}{x^2 - 9}$ .

Krok 1. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ , dziedzina $x \neq \pm 3$ , wspólny mianownik $(x - 3)(x + 3)$ .

Krok 2.

$\frac{x(x + 3) - 18}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x^2 + 3x - 18}{(x - 3)(x + 3)}$

Krok 3. Licznik: $\Delta = 9 + 72 = 81$ , pierwiastki $x = \frac{-3 - 9}{2} = -6$ i $x = \frac{-3 + 9}{2} = 3$ , czyli $x^2 + 3x - 18 = (x + 6)(x - 3)$ . Skracamy przez $(x - 3)$ :

$\frac{(x + 6)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 6}{x + 3}$

Odpowiedź. $\dfrac{x + 6}{x + 3}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 3\}$ . Liczba $3$ zostaje wykluczona, choć zniknęła z mianownika.

Przykład 5 (czynnik w kwadracie). Oblicz $\dfrac{1}{x^2 - 2x + 1} - \dfrac{1}{x^2 - x}$ .

Krok 1. $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ , $\ x^2 - x = x(x - 1)$ . Dziedzina: $x \neq 0$ , $x \neq 1$ .

Krok 2. NWW. Czynnik $(x - 1)$ występuje najwyżej w drugiej potędze, $x$ w pierwszej: $x(x - 1)^2$ . Pierwszemu ułamkowi brakuje $x$ , drugiemu $(x - 1)$ .

$\frac{x}{x(x - 1)^2} - \frac{x - 1}{x(x - 1)^2} = \frac{x - (x - 1)}{x(x - 1)^2}$

Odpowiedź. $\dfrac{1}{x(x - 1)^2}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{0,\ 1\}$ .

Mianowniki przeciwne: x − 2 i 2 − x

Wyrażenia $x - 2$ i $2 - x$ różnią się tylko znakiem. Nie trzeba ich mnożyć - wystarczy zmienić znak przed ułamkiem: $\frac{B}{2 - x} = -\frac{B}{x - 2}$ .

Przykład 6. Oblicz $\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{x}{2 - x}$ .

$\frac{3}{x - 2} + \frac{x}{2 - x} = \frac{3}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} = \frac{3 - x}{x - 2}$

Odpowiedź. $\dfrac{3 - x}{x - 2}$ dla $x \neq 2$ .

Suma wielomianu i ułamka

Wielomian traktujemy jak ułamek o mianowniku $1$ i rozszerzamy go do mianownika drugiego składnika.

Przykład 7. Zapisz $x + 1 - \dfrac{2}{x + 1}$ w postaci jednego ułamka.

$x + 1 - \frac{2}{x + 1} = \frac{(x + 1)^2 - 2}{x + 1} = \frac{x^2 + 2x + 1 - 2}{x + 1}$

Odpowiedź. $\dfrac{x^2 + 2x - 1}{x + 1}$ dla $x \neq -1$ .

Dziedzina sumy i różnicy

Suma ma sens tylko wtedy, gdy ma sens każdy składnik, więc dziedzina sumy to część wspólna dziedzin składników. W przykładzie 3 pierwszy ułamek wyklucza $\pm 2$ , drugi $0$ i $-2$ , a suma - wszystkie trzy liczby: $-2$ , $0$ , $2$ . Dziedzinę zapisujemy na początku, bo po skróceniu (przykład 4) część wykluczonych liczb przestaje być widoczna.

Typowe błędy

Minus przed ułamkiem zmieniający znak tylko pierwszego wyrazu licznika. Poprawnie $-\frac{x + 4}{x - 3} = \frac{-x - 4}{x - 3}$ - minus zmienia znak całego licznika. Bezpieczny nawyk: odejmowany licznik zawsze w nawias.
Dodawanie liczników i mianowników osobno. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \neq \frac{2}{x + y}$ . Dla $x = y = 1$ : lewa strona to $2$ , prawa $1$ .
Rozszerzanie samego mianownika. Mnożąc mianownik przez $(x + 2)$ , trzeba pomnożyć przez $(x + 2)$ także licznik.
Za duży wspólny mianownik. Iloczyn $(x^2 - 4)(x^2 + 2x)$ zawiera czynnik $(x + 2)$ dwa razy; rachunek się wydłuża, a wynik i tak trzeba skrócić.
Brak dziedziny w odpowiedzi - szczególnie gdy coś się skróciło.

Najczęstsze pytania

Jak dodawać wyrażenia wymierne? Wyznacz dziedzinę, rozłóż mianowniki na czynniki, sprowadź ułamki do wspólnego mianownika (NWW mianowników), dodaj liczniki i skróć wynik, jeśli się da.

Jak znaleźć wspólny mianownik wyrażeń wymiernych? Rozłóż każdy mianownik na czynniki i weź iloczyn wszystkich różnych czynników, każdy w najwyższej potędze, w jakiej się pojawia. Dla $(x - 1)^2$ i $x(x - 1)$ jest to $x(x - 1)^2$ .

Jak odejmować ułamki algebraiczne? Tak jak dodawać, ale odejmowany licznik bierzemy w nawias, bo minus zmienia znaki wszystkich jego wyrazów.

Czy trzeba wymnażać wspólny mianownik? Nie. Postać iloczynowa jest lepsza: od razu widać dziedzinę i ewentualne skracanie.

Czy wynik dodawania wyrażeń wymiernych trzeba skracać? Tak, jeśli licznik ma czynnik wspólny z mianownikiem - rozłóż licznik i sprawdź. Wynik podajemy w najprostszej postaci, ale z dziedziną wyrażenia wyjściowego.

Jak wyznaczyć dziedzinę sumy wyrażeń wymiernych? Wyrzuć ze zbioru $\mathbb{R}$ miejsca zerowe wszystkich mianowników, czyli weź część wspólną dziedzin składników.

Co zrobić z mianownikami x − a i a − x? Wyłącz minus: $\frac{B}{a - x} = -\frac{B}{x - a}$ . Wtedy mianowniki są takie same.

Podsumowanie

Ten sam mianownik: dodajemy lub odejmujemy liczniki.
Różne mianowniki: rozkład na czynniki → NWW → rozszerzenie → działanie na licznikach.
Odejmowany licznik zawsze w nawias.
Mianowniki przeciwne ( $x - a$ i $a - x$ ) wyrównujemy zmianą znaku przed ułamkiem.
Dziedzina sumy to część wspólna dziedzin składników; zapisujemy ją przed skracaniem.

Zobacz też

Wyrażenie wymierne - dziedzina, skracanie i rozszerzanie - poprzednia lekcja.
Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych - następna lekcja.
Upraszczanie wyrażeń wymiernych - działania łączne i ułamki piętrowe.
Działania na wyrażeniach algebraicznych - opuszczanie nawiasów i redukcja wyrazów podobnych w licznikach.
Rozkład wielomianu na czynniki - zadania → - pierwszy krok szukania wspólnego mianownika.
Upraszczanie wyrażeń - zadania →.
NWW i rozkład na czynniki pierwsze - ten sam pomysł na liczbach.