Dowodzenie nierówności ze średnimi - zadania „wykaż, że”

Klasa 3 liceum i technikum

Dowodzenie nierówności polega na wykazaniu, że nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb spełniających założenia, a nie tylko dla kilku sprawdzonych przykładów. W zadaniach szkolnych prawie zawsze prowadzą do tego dwie drogi: przekształcenie różnicy obu stron do postaci, w której widać kwadrat (kwadrat nie bywa ujemny), albo użycie gotowej nierówności między średnimi.

Samo twierdzenie - z dowodem algebraicznym, geometrycznym i dla $n$ liczb - opisuje hasło nierówność między średnimi, a definicje czterech średnich lekcja średnie: arytmetyczna, geometryczna, harmoniczna. Tutaj ćwiczymy warsztat: jak tych narzędzi użyć w zadaniu „wykaż, że”.

Średnie w liczbach

Zanim zaczniemy dowodzić, warto zobaczyć, jak duże są różnice między średnimi.

Im bliżej siebie leżą liczby, tym ciaśniej skupiają się średnie; dla równych liczb wszystkie są równe. Ta obserwacja podpowiada, gdzie w zadaniach optymalizacyjnych szukać najmniejszej lub największej wartości.

Dwie metody dowodu

Metoda różnicy. Badamy znak różnicy $L - P$ (lewa minus prawa strona). Przekształcamy ją - sprowadzamy do wspólnego mianownika, korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia - aż dojdziemy do wyrażenia, którego znak widać od razu, np. $\dfrac{(a - b)^2}{ab}$.

Gotowa nierówność. Rozpoznajemy w wyrażeniu średnią arytmetyczną i geometryczną (albo inną parę średnich) i stosujemy nierówność między nimi - najczęściej do składników o stałym iloczynie.

Dowód zapisujemy porządnie: założenia, teza, przekształcenia od faktu pewnego do tezy (albo ciąg równoważności od tezy do faktu pewnego) i warunek równości. Ogólny schemat dowodu omawia lekcja definicja, twierdzenie, dowód.

Przykład 1 - suma liczby i jej odwrotności

Zadanie. Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a, b$ zachodzi $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2$.

Sposób 1 - metoda różnicy.

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \frac{(a - b)^2}{ab}.$

Licznik jest kwadratem, więc jest nieujemny, a mianownik $ab$ jest dodatni. Różnica jest nieujemna, czyli $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2$. $\blacksquare$

Sposób 2 - średnie. Liczby $\dfrac{a}{b}$ i $\dfrac{b}{a}$ są dodatnie, a ich iloczyn wynosi $1$:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2\sqrt{1} = 2. \qquad \blacksquare$

Kiedy równość. Gdy $(a - b)^2 = 0$, czyli $a = b$.

Założenie o dodatniości jest potrzebne: dla $a = 1$, $b = -2$ lewa strona to $-\tfrac{1}{2} - 2 = -2{,}5$. Nierówność zachodzi jednak dla wszystkich $a, b$ tego samego znaku, bo wtedy $ab > 0$ - dowód metodą różnicy to pokazuje, a sposób 2 już nie.

Przykład 2 - iloczyn sumy i sumy odwrotności

Zadanie. Wykaż, że dla liczb dodatnich $a, b$ zachodzi $(a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \ge 4$.

Dowód. Wymnażamy nawiasy:

$(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) \ge 2 + 2 = 4,$

gdzie skorzystaliśmy z przykładu 1. Równość dla $a = b$. $\blacksquare$

Ta nierówność to w przebraniu nierówność między średnią arytmetyczną a harmoniczną: po podzieleniu przez $2\left(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b}\right)$ dostajemy $\dfrac{a + b}{2} \ge \dfrac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$.

Wersja dla trzech liczb. Ten sam chwyt daje dla $a, b, c > 0$:

$(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) = 3 + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) + \left(\frac{a}{c} + \frac{c}{a}\right) + \left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right) \ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9.$

Po wymnożeniu wyrazy grupujemy w pary „liczba i jej odwrotność” - każda para daje co najmniej $2$.

Przykład 3 - suma kwadratów

Zadanie. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b, c$ zachodzi $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$.

Dowód. Dla dowolnych liczb rzeczywistych $(a - b)^2 \ge 0$, czyli $a^2 + b^2 \ge 2ab$. Zapisujemy to samo dla trzech par:

$a^2 + b^2 \ge 2ab, \qquad b^2 + c^2 \ge 2bc, \qquad c^2 + a^2 \ge 2ca.$

Dodajemy stronami: $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \ge 2ab + 2bc + 2ca$, i dzielimy przez $2$. $\blacksquare$

Kiedy równość. Gdy wszystkie trzy nawiasy są zerami, czyli $a = b = c$.

Nierówności o tym samym zwrocie wolno dodawać stronami zawsze. Mnożyć - tylko wtedy, gdy wszystkie strony są dodatnie (patrz przykład 4).

Przykład 4 - mnożenie nierówności stronami

Zadanie. Wykaż, że dla liczb dodatnich $a, b, c$ zachodzi $(a + 1)(b + 1)(c + 1) \ge 8\sqrt{abc}$.

Dowód. Dla każdej liczby dodatniej $t$ nierówność między średnimi liczb $t$ i $1$ daje

$t + 1 \ge 2\sqrt{t}.$

Piszemy ją dla $t = a$, $t = b$, $t = c$. Wszystkie strony są dodatnie, więc wolno pomnożyć nierówności stronami:

$(a + 1)(b + 1)(c + 1) \ge 2\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} \cdot 2\sqrt{c} = 8\sqrt{abc}. \qquad \blacksquare$

Kiedy równość. W każdej z trzech nierówności musi być $t = 1$, czyli $a = b = c = 1$. Sprawdzenie: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 = 8\sqrt{1}$.

Przykład 5 - wyrażenie wymierne z jedną zmienną

Zadanie. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $\dfrac{x}{x^2 + 1} \le \dfrac{1}{2}$.

Dowód metodą różnicy. Mianownik $x^2 + 1$ jest dodatni dla każdego $x$, więc dziedziną jest $\mathbb{R}$, a ułamek można porównywać przez różnicę:

$\frac{1}{2} - \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 - 2x}{2(x^2 + 1)} = \frac{(x - 1)^2}{2(x^2 + 1)} \ge 0. \qquad \blacksquare$

Kiedy równość. Dla $x = 1$: $\dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$.

To jest dokładnie ta sama technika co w nierównościach wymiernych: wspólny mianownik i znak licznika. Różnica polega na tym, że tu licznik okazuje się kwadratem, więc nierówność zachodzi zawsze.

Chwyt „dodaj i odejmij”. Wykażemy, że dla $x > 1$ zachodzi $x + \dfrac{1}{x - 1} \ge 3$. Składniki $x$ i $\tfrac{1}{x - 1}$ nie mają stałego iloczynu, ale $x - 1$ i $\tfrac{1}{x - 1}$ - już tak:

$x + \frac{1}{x - 1} = (x - 1) + \frac{1}{x - 1} + 1 \ge 2 + 1 = 3.$

Liczba $x - 1$ jest dodatnia, więc wolno użyć nierówności $t + \tfrac{1}{t} \ge 2$. Równość, gdy $x - 1 = 1$, czyli $x = 2$. $\blacksquare$

Najmniejsza wartość wyrażenia

Nierówność między średnimi daje nie tylko oszacowanie, ale też punkt, w którym jest ono osiągane - a to już rozwiązanie zadania optymalizacyjnego, bez pochodnych.

Zadanie. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f(x) = \dfrac{x^2 + 9}{x}$ dla $x > 0$.

Krok 1. Rozbij ułamek. $f(x) = x + \dfrac{9}{x}$ - dwa dodatnie składniki o stałym iloczynie $9$.

Krok 2. Oszacuj.

$x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 2\sqrt{9} = 6.$

Krok 3. Sprawdź, że równość jest osiągalna. Równość wymaga $x = \dfrac{9}{x}$, czyli $x^2 = 9$, a dla $x > 0$ - $x = 3$. Rzeczywiście $f(3) = 3 + 3 = 6$.

Odpowiedź. Najmniejsza wartość to $6$, przyjmowana dla $x = 3$.

Krok 3 jest obowiązkowy. Samo $f(x) \ge 6$ mówi tylko, że wartości nie spadają poniżej $6$ - dopiero punkt, w którym $f(x) = 6$, dowodzi, że $6$ jest wartością najmniejszą.

Trzy składniki. Najmniejszą wartość $g(x) = x + \dfrac{4}{x^2}$ dla $x > 0$ znajdziemy, dzieląc $x$ na dwie równe części - wtedy iloczyn trzech składników jest stały:

$\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{4}{x^2} \ge 3\sqrt[3]{\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{x^2}} = 3\sqrt[3]{1} = 3.$

Równość, gdy $\dfrac{x}{2} = \dfrac{4}{x^2}$, czyli $x^3 = 8$, $x = 2$. Sprawdzenie: $g(2) = 2 + 1 = 3$. Najmniejsza wartość to $3$.

Zadania geometryczne

Prostokąt o danym polu. Prostokąt ma pole $36\ \text{cm}^2$. Jaki najmniejszy obwód może mieć?

Boki $a, b > 0$ spełniają $ab = 36$. Z nierówności między średnimi:

$a + b \ge 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{36} = 12 \quad\Longrightarrow\quad 2(a + b) \ge 24.$

Równość dla $a = b = 6$. Odpowiedź: najmniejszy obwód to $24$ cm - ma go kwadrat $6 \times 6$. (Odwrotne zadanie - największe pole przy danym obwodzie - rozwiązuje hasło nierówność między średnimi; odpowiedzią też jest kwadrat.)

Wybieg przy ścianie. Z $40$ m siatki trzeba ogrodzić prostokątny wybieg przylegający do muru, który zastępuje jeden bok. Jakie wymiary dadzą największe pole?

Niech $x$ będzie bokiem równoległym do muru, a $y$ - każdym z dwóch boków prostopadłych. Siatki starczy na $x + 2y = 40$, a pole to $xy$. Stała jest suma $x$ i $2y$, więc szacujemy ich iloczyn:

$x \cdot 2y \le \left(\frac{x + 2y}{2}\right)^2 = 20^2 = 400 \quad\Longrightarrow\quad xy \le 200.$

Równość, gdy $x = 2y$, a z $x + 2y = 40$ wychodzi $x = 20$, $y = 10$. Odpowiedź: wybieg $20\ \text{m} \times 10\ \text{m}$ o polu $200\ \text{m}^2$. Wynik nie jest kwadratem - średnie stosujemy do $x$ i $2y$, nie do $x$ i $y$.

Pułapki

• Liczby ujemne. Dla $x < 0$ wyrażenie $x + \tfrac{1}{x}$ jest ujemne, a dokładniej $x + \tfrac{1}{x} \le -2$. Nierówność między średnimi wymaga liczb nieujemnych - zawsze sprawdź założenia.
• Równość nieosiągalna. Dla $x \ge 2$ oszacowanie $x + \tfrac{1}{x} \ge 2$ jest prawdziwe, ale $2$ nie jest wartością najmniejszą, bo równość wymaga $x = 1$. Na tym przedziale wyrażenie rośnie i najmniejsza wartość to $2 + \tfrac{1}{2} = 2{,}5$.
• Dowód „od tezy” bez równoważności. Zaczynanie od tezy i dojście do zdania prawdziwego niczego nie dowodzi, jeśli któreś przejście działa tylko w jedną stronę. Zapisuj $\Longleftrightarrow$ i sprawdzaj każdy krok - albo zaczynaj od faktu pewnego, jak $(a - b)^2 \ge 0$.
• Mnożenie nierówności z ujemnymi stronami. Z $-3 < -1$ i $-3 < 2$ nie wynika $9 < -2$.
• Brak warunku równości. W zadaniach „wyznacz najmniejszą wartość” bez wskazania punktu rozwiązanie jest niepełne.

Najczęstsze pytania

Jak udowodnić nierówność? Najprościej zbadać znak różnicy obu stron: przekształcić $L - P$ (wspólny mianownik, wzory skróconego mnożenia) do postaci z kwadratem, np. $\dfrac{(a - b)^2}{ab}$, i uzasadnić, że jest nieujemna. Drugi sposób to użycie gotowej nierówności, najczęściej między średnią arytmetyczną a geometryczną.

Jak wykazać, że a/b + b/a ≥ 2? Różnica $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2$ po sprowadzeniu do wspólnego mianownika wynosi $\dfrac{(a - b)^2}{ab}$, a to jest nieujemne dla $a, b$ tego samego znaku. Równość zachodzi dla $a = b$.

Jaka jest kolejność średnich? Dla liczb dodatnich: harmoniczna $\le$ geometryczna $\le$ arytmetyczna $\le$ kwadratowa. Równość w każdym miejscu zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są równe.

Jak znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia bez pochodnej? Zapisz wyrażenie jako sumę dodatnich składników o stałym iloczynie i zastosuj nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną. Potem sprawdź, dla jakiego $x$ zachodzi równość - jeśli ten $x$ leży w dziedzinie, otrzymane oszacowanie jest wartością najmniejszą.

Dlaczego trzeba podać, kiedy zachodzi równość? W dowodzie nierówności nie jest to obowiązkowe, ale pokazuje, że oszacowania nie da się poprawić. W zadaniu o najmniejszej lub największej wartości jest konieczne - bez punktu, w którym równość zachodzi, nie wiadomo, czy wartość jest w ogóle osiągana.

Czy nierówność między średnimi jest na maturze? Na maturze rozszerzonej zadania „wykaż, że” z nierównościami pojawiają się regularnie i zwykle wystarczają metody z tej lekcji: różnica z kwadratem albo średnia arytmetyczna i geometryczna dwóch liczb.

Podsumowanie

• Dowód nierówności to uzasadnienie dla wszystkich liczb z założeń, nie sprawdzenie przykładów.
• Metoda różnicy: $L - P$ sprowadzamy do postaci z kwadratem, np. $\dfrac{(a - b)^2}{ab} \ge 0$.
• Nierówność między średnimi stosujemy do dodatnich składników o stałym iloczynie (albo stałej sumie).
• Wnioski do zapamiętania: $a^2 + b^2 \ge 2ab$, $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2$, $(a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \ge 4$.
• Nierówności dodajemy stronami zawsze, mnożymy - tylko przy dodatnich stronach.
• W optymalizacji zawsze sprawdzamy, że równość jest osiągalna w dziedzinie.

Zobacz też

• Nierówność między średnimi - twierdzenie z dowodami, wersja dla $n$ liczb i historia.
• Średnie: arytmetyczna, ważona, geometryczna, harmoniczna - definicje i przykłady zastosowań.
• Nierówności wymierne - poprzednia lekcja: rozwiązywanie nierówności z niewiadomą w mianowniku.
• Upraszczanie wyrażeń wymiernych - dowodzenie tożsamości, czyli równości zamiast nierówności.
• Funkcja homograficzna w zadaniach - optymalizacja kosztu jednostkowego i średniej prędkości.
• Działania na wyrażeniach algebraicznych - zadania - trening przekształceń potrzebnych w metodzie różnicy.