Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych - dziedzina ilorazu

Q: Jak dzielić wyrażenia wymierne?

Pomnóż dzielną przez odwrotność dzielnika: A/B : C/D = A/B · D/C, a potem postępuj jak przy mnożeniu.

Q: Jak podzielić ułamek algebraiczny przez wielomian?

Zapisz wielomian jako ułamek o mianowniku 1 i pomnóż przez jego odwrotność: A/B : W = A/B · W, przy warunku W ≠ 0.

Klasa 3 liceum i technikum

Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Mnożenie - licznik razy licznik, mianownik razy mianownik:

$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}, \qquad B \neq 0,\ D \neq 0$

Dzielenie - mnożenie przez odwrotność dzielnika:

$\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}, \qquad B \neq 0,\ D \neq 0,\ C \neq 0$

Przy dzieleniu dochodzi warunek licznik dzielnika $\neq 0$ - dzielnik nie może być zerem.

Mnożenie wyrażeń wymiernych wykonujemy jak mnożenie ułamków zwykłych: mnożymy liczniki i mianowniki, a przed wymnożeniem skracamy wspólne czynniki. Dzielenie wyrażeń wymiernych zamieniamy na mnożenie przez odwrotność dzielnika. Dziedzina ilorazu wyklucza miejsca zerowe obu mianowników oraz licznika dzielnika.

Mnożenie i dzielenie są łatwiejsze niż dodawanie i odejmowanie, bo nie potrzebują wspólnego mianownika. Cała praca to rozkład na czynniki i skracanie. Jedyna prawdziwa pułapka działu to dziedzina ilorazu.

Mnożenie wyrażeń wymiernych

Schemat:

Wyznacz dziedzinę: wszystkie mianowniki różne od zera.
Rozłóż wszystkie liczniki i mianowniki na czynniki.
Skróć czynniki występujące w dowolnym liczniku i dowolnym mianowniku (także „na krzyż”).
Wymnóż to, co zostało.

Kolejność 2-3-4 jest ważna: wymnożenie przed skróceniem daje wielomiany wysokiego stopnia, które potem trzeba z powrotem rozkładać.

Przykład 1. Oblicz $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 2x} \cdot \dfrac{x + 2}{x - 3}$ .

Krok 1. Dziedzina. $x^2 + 2x = x(x + 2) \neq 0$ i $x - 3 \neq 0$ , czyli $x \notin \{-2,\ 0,\ 3\}$ .

Krok 2. Rozkład.

$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x - 3}$

Krok 3. Skracamy $(x - 3)$ i $(x + 2)$ .

Odpowiedź. $\dfrac{x + 3}{x}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 3\}$ .

Przykład 2. Oblicz $\dfrac{2x - 6}{x^2 - 1} \cdot \dfrac{x^2 + x}{x^2 - 6x + 9}$ .

Krok 1. Rozkład.

$\frac{2(x - 3)}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{x(x + 1)}{(x - 3)^2}$

Krok 2. Dziedzina. Mianowniki: $(x - 1)(x + 1) \neq 0$ i $(x - 3)^2 \neq 0$ , czyli $x \notin \{-1,\ 1,\ 3\}$ .

Krok 3. Skracamy $(x + 1)$ oraz jeden czynnik $(x - 3)$ - w mianowniku zostaje drugi.

Odpowiedź. $\dfrac{2x}{(x - 1)(x - 3)}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 1,\ 3\}$ .

Przykład 3 (wielomian razy ułamek). Oblicz $(x^2 - 4) \cdot \dfrac{x + 1}{x^2 + 4x + 4}$ .

Wielomian to ułamek o mianowniku $1$ . Mianownik drugiego czynnika: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ , więc $x \neq -2$ .

$\frac{(x - 2)(x + 2)(x + 1)}{(x + 2)^2} = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x + 2}$

Odpowiedź. $\dfrac{(x - 2)(x + 1)}{x + 2}$ dla $x \neq -2$ .

Dzielenie wyrażeń wymiernych

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność - odwracamy tylko dzielnik (ułamek po znaku dzielenia).

Schemat:

Dziedzina: oba mianowniki $\neq 0$ i licznik dzielnika $\neq 0$ .
Zamień dzielenie na mnożenie przez odwrotność dzielnika.
Dalej jak przy mnożeniu: rozkład, skracanie, wymnożenie.

Przykład 4. Oblicz $\dfrac{x^2 - 25}{x + 1} : \dfrac{x + 5}{x^2 - 1}$ .

Krok 1. Dziedzina. Trzy warunki:

mianownik dzielnej: $x + 1 \neq 0$ , czyli $x \neq -1$ ;
mianownik dzielnika: $x^2 - 1 \neq 0$ , czyli $x \neq -1$ i $x \neq 1$ ;
licznik dzielnika: $x + 5 \neq 0$ , czyli $x \neq -5$ .

Zatem $D = \mathbb{R} \setminus \{-5,\ -1,\ 1\}$ .

Dziedzina ilorazu (x² − 25)/(x + 1) : (x + 5)/(x² − 1). Liczby −1 i 1 wykluczają mianowniki, a liczbę −5 - licznik dzielnika, o którym najłatwiej zapomnieć.

Krok 2. Odwracamy dzielnik.

$\frac{(x - 5)(x + 5)}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 5}$

Krok 3. Skracamy $(x + 5)$ i $(x + 1)$ .

Odpowiedź. $(x - 5)(x - 1)$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-5,\ -1,\ 1\}$ .

Wynik jest wielomianem, a mimo to trzy liczby są wykluczone. Gdybyśmy pominęli warunek z licznika dzielnika, dla $x = -5$ wzór $(x - 5)(x - 1)$ dałby $60$ , tymczasem wyjściowe wyrażenie to wtedy $\frac{0}{-4} : \frac{0}{24} = 0 : 0$ - działanie niewykonalne.

Przykład 5. Oblicz $\dfrac{x^2 - 3x}{x + 2} : \dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 4x + 4}$ .

Krok 1. Rozkład. $x^2 - 3x = x(x - 3)$ , $\ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ , $\ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ .

Krok 2. Dziedzina. Mianowniki: $x \neq -2$ . Licznik dzielnika: $(x - 3)(x + 3) \neq 0$ , czyli $x \neq \pm 3$ . Razem $D = \mathbb{R} \setminus \{-3,\ -2,\ 3\}$ .

Krok 3. Odwracamy i skracamy.

$\frac{x(x - 3)}{x + 2} \cdot \frac{(x + 2)^2}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x(x + 2)}{x + 3}$

Odpowiedź. $\dfrac{x(x + 2)}{x + 3}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3,\ -2,\ 3\}$ .

Przykład 6 (ułamek przez wielomian). Oblicz $\dfrac{x^2 - 4x}{x + 3} : (x - 4)$ .

Wielomian $x - 4$ to ułamek $\frac{x - 4}{1}$ , jego odwrotność to $\frac{1}{x - 4}$ . Dziedzina: $x \neq -3$ (mianownik) i $x \neq 4$ (dzielnik).

$\frac{x(x - 4)}{x + 3} \cdot \frac{1}{x - 4} = \frac{x}{x + 3}$

Odpowiedź. $\dfrac{x}{x + 3}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 4\}$ .

Dlaczego licznik dzielnika musi być różny od zera

Ułamek $\frac{C}{D}$ jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy $C = 0$ (przy $D \neq 0$ ). Dzielenie przez $\frac{C}{D}$ jest więc dzieleniem przez zero właśnie dla tych $x$ , które zerują licznik dzielnika. Po odwróceniu ten licznik ląduje w mianowniku - i to jest drugi sposób, żeby zapamiętać warunek: każde wyrażenie, które choć na chwilę znalazło się w mianowniku, musi być różne od zera.

Działanie	Warunki dziedziny
A/B · C/D	B ≠ 0, D ≠ 0
A/B : C/D	B ≠ 0, D ≠ 0, C ≠ 0
A/B : W (W - wielomian)	B ≠ 0, W ≠ 0
W : C/D	D ≠ 0, C ≠ 0

Kilka działań: kolejność od lewej do prawej

Mnożenie i dzielenie mają ten sam priorytet, więc wykonujemy je od lewej do prawej. Wygodnie jest od razu zamienić każde dzielenie na mnożenie przez odwrotność - wtedy kolejność przestaje mieć znaczenie.

Przykład 7. Oblicz $\dfrac{x}{x + 1} : \dfrac{x}{x - 1} \cdot \dfrac{x + 1}{x - 1}$ .

Krok 1. Dziedzina. Mianowniki: $x \neq -1$ , $x \neq 1$ . Licznik dzielnika: $x \neq 0$ . Zatem $D = \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}$ .

Krok 2. Zamieniamy dzielenie na mnożenie.

$\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x + 1}{x - 1} = 1$

Odpowiedź. $1$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}$ .

Częsty błąd to wykonanie najpierw mnożenia po prawej stronie, czyli potraktowanie wyrażenia jak $\frac{x}{x + 1} : \left(\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 1}\right)$ . Wychodzi wtedy $\frac{(x - 1)^2}{(x + 1)^2}$ - zupełnie inny wynik (dla $x = 2$ jest to $\frac{1}{9}$ zamiast $1$ ).

Typowe błędy

Zapomniany licznik dzielnika w dziedzinie - najczęstszy błąd działu (przykład 4).
Odwrócenie dzielnej zamiast dzielnika. Odwracamy ułamek stojący po znaku dzielenia.
Skracanie składników. W $\frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x}{x + 3}$ wolno skrócić $x$ (czynnik), ale nie „dwójkę z trójką” ani $x$ z $x + 2$ .
Wymnażanie przed skracaniem. Rachunek wydłuża się kilkakrotnie, a wynik i tak trzeba rozłożyć z powrotem.
Dziedzina z wyniku. Odpowiedź $(x - 5)(x - 1)$ wygląda na wielomian określony wszędzie, ale dziedzinę bierzemy z wyrażenia wyjściowego.

Najczęstsze pytania

Jak mnożyć wyrażenia wymierne? Rozłóż liczniki i mianowniki na czynniki, skróć wspólne czynniki (licznik z dowolnym mianownikiem), a potem pomnóż licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.

Jak dzielić wyrażenia wymierne? Pomnóż dzielną przez odwrotność dzielnika: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$ , a potem postępuj jak przy mnożeniu.

Jak wyznaczyć dziedzinę ilorazu wyrażeń wymiernych? Wyklucz miejsca zerowe obu mianowników i miejsca zerowe licznika dzielnika. Dla $\frac{x^2 - 25}{x + 1} : \frac{x + 5}{x^2 - 1}$ wychodzi $\mathbb{R} \setminus \{-5,\ -1,\ 1\}$ .

Dlaczego przy dzieleniu licznik dzielnika musi być różny od zera? Bo gdy licznik dzielnika jest zerem, cały dzielnik jest zerem, a przez zero dzielić nie wolno. Po zamianie na mnożenie ten licznik trafia do mianownika.

Czy można skracać na krzyż? Tak - w iloczynie ułamków wolno skrócić czynnik z licznika jednego ułamka z czynnikiem z mianownika drugiego. Przy dzieleniu skracamy dopiero po odwróceniu dzielnika.

Jak podzielić ułamek algebraiczny przez wielomian? Zapisz wielomian jako ułamek o mianowniku $1$ i pomnóż przez jego odwrotność: $\frac{A}{B} : W = \frac{A}{B \cdot W}$ , przy warunku $W \neq 0$ .

Czy wynik mnożenia lub dzielenia trzeba zapisać z dziedziną? Tak. Po skróceniu część wykluczonych liczb znika z zapisu, ale nadal nie należy do dziedziny.

Podsumowanie

Mnożenie: rozkład → skracanie (także na krzyż) → wymnożenie.
Dzielenie: odwracamy dzielnik i mnożymy.
Dziedzina ilorazu: oba mianowniki $\neq 0$ i licznik dzielnika $\neq 0$ .
Kilka działań wykonujemy od lewej do prawej - najprościej zamieniając każde dzielenie na mnożenie.
Wynik zawsze z dziedziną wyrażenia wyjściowego.

Zobacz też

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych - poprzednia lekcja.
Upraszczanie wyrażeń wymiernych - następna lekcja: działania łączne i ułamki piętrowe.
Wyrażenie wymierne - dziedzina i skracanie.
Wzory skróconego mnożenia - najszybsze narzędzie rozkładu liczników i mianowników.
Rozkład wielomianu na czynniki - zadania →.
Działania na wielomianach - zadania →.
Rozkład na czynniki ze wzorów skróconego mnożenia →.