Nierówności wymierne - jak rozwiązać krok po kroku

Klasa 3 liceum i technikum

Nierówność wymierna to nierówność, w której niewiadoma występuje w mianowniku wyrażenia wymiernego, np. $\dfrac{x - 3}{x + 2} \le 0$ albo $\dfrac{1}{x - 1} < \dfrac{2}{x + 2}$. Rozwiązujemy ją, sprowadzając do postaci $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0$ i badając znak ilorazu wielomianów - najwygodniej przez zamianę na iloczyn $P(x) \cdot Q(x)$ i metodę wężyka.

Potrzebne narzędzia znasz z wcześniejszych lekcji: dziedzinę i sprowadzanie do wspólnego mianownika z lekcji o dodawaniu i odejmowaniu wyrażeń wymiernych, a wężyk - z nierówności wielomianowych.

Dlaczego nie wolno mnożyć przez mianownik

W równaniu wymiernym mnożenie obu stron przez wspólny mianownik jest bezpieczne. W nierówności - nie, bo mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot, a znaku wyrażenia $x - 2$ nie znamy.

Zadanie. Rozwiąż nierówność $\dfrac{x + 1}{x - 2} > 1$.

Błędnie: „mnożymy przez $x - 2$” i dostajemy $x + 1 > x - 2$, czyli $1 > -2$ - zdanie zawsze prawdziwe. Wychodziłoby, że rozwiązaniem jest każda liczba z dziedziny, czyli $x \neq 2$. Sprawdzenie obala ten wynik: dla $x = 0$ lewa strona to $\tfrac{1}{-2} = -0{,}5$, a $-0{,}5 > 1$ jest fałszem.

Poprawnie: przenosimy jedynkę na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.

$\frac{x + 1}{x - 2} - 1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2} > 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{x - 2} > 0.$

Licznik $3$ jest dodatni, więc ułamek jest dodatni dokładnie wtedy, gdy mianownik jest dodatni: $x - 2 > 0$.

Odpowiedź. $x \in (2;\ +\infty)$.

Mnożenie przez $x - 2$ „zadziałało” tylko dla $x > 2$ - dla $x < 2$ trzeba było odwrócić zwrot, i właśnie tam leżały fałszywe rozwiązania.

Dlaczego iloraz można zamienić na iloczyn

Iloraz i iloczyn dwóch liczb mają ten sam znak: oba są dodatnie, gdy liczby mają jednakowe znaki, i ujemne, gdy różne. Formalnie: dla $Q(x) \neq 0$

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x) \cdot Q(x)}{Q(x)^2},$

a mianownik $Q(x)^2$ jest dodatni. Inaczej mówiąc, zamiast mnożyć przez $Q(x)$, mnożymy przez $Q(x)^2 > 0$ - to wolno, bo zwrot się nie zmienia. Trzeba tylko pamiętać, że $Q(x) \neq 0$: iloczyn $P(x) \cdot Q(x)$ istnieje także w miejscach zerowych mianownika, a ułamek - nie.

Przy nierównościach ostrych warunek $Q(x) \neq 0$ spełnia się sam, bo iloczyn równy zeru i tak nie jest ani dodatni, ani ujemny.

Przykład 1 - jeden ułamek, nierówność nieostra

Zadanie. Rozwiąż nierówność $\dfrac{x - 3}{x + 2} \le 0$.

Krok 1. Dziedzina. $x + 2 \neq 0$, czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

Krok 2. Iloczyn. Prawa strona jest już zerem, więc od razu

$(x - 3)(x + 2) \le 0 \quad \text{i} \quad x \neq -2.$

Krok 3. Znak. To nierówność kwadratowa: parabola o ramionach w górę i miejscach zerowych $-2$ i $3$ jest niedodatnia na $\langle -2;\ 3\rangle$.

Krok 4. Końce przedziału. Liczba $3$ zeruje licznik, więc ułamek jest równy $0$ - należy do rozwiązania. Liczba $-2$ zeruje mianownik - odpada.

Odpowiedź. $x \in (-2;\ 3\rangle$.

Przykład 2 - po przeniesieniu wychodzi wielomian stopnia 3

Zadanie. Rozwiąż nierówność $\dfrac{2x}{x + 1} \ge x$.

Krok 1. Dziedzina. $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

Krok 2. Jedna strona i wspólny mianownik.

$\frac{2x}{x + 1} - x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2x - x(x + 1)}{x + 1} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x - x^2}{x + 1} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{-x(x - 1)}{x + 1} \ge 0.$

Krok 3. Iloczyn. $-x(x - 1)(x + 1) \ge 0$ i $x \neq -1$.

Krok 4. Wężyk. Pierwiastki $-1$, $0$, $1$ - wszystkie pojedyncze. Wyraz najwyższego stopnia: $-x \cdot x \cdot x = -x^3$, więc wężyk zaczyna po prawej pod osią.

Krok 5. Odczyt. Szukamy fragmentów nad osią i punktów na osi: $(-\infty;\ -1)$ oraz $\langle 0;\ 1\rangle$. Punkt $-1$ wypada z dziedziny, $0$ i $1$ zerują licznik, więc zostają.

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ -1) \cup \langle 0;\ 1\rangle$.

Sprawdzenie dla $x = -2$: lewa strona $\tfrac{-4}{-1} = 4$, prawa $-2$, a $4 \ge -2$ - zgadza się. Gdyby ktoś pomnożył przez $x + 1$ bez zastanowienia, dostałby $2x \ge x^2 + x$, czyli $\langle 0;\ 1\rangle$, i zgubiłby cały przedział $(-\infty;\ -1)$.

Przykład 3 - dwa ułamki po obu stronach

Zadanie. Rozwiąż nierówność $\dfrac{1}{x - 1} < \dfrac{2}{x + 2}$.

Krok 1. Dziedzina. $x \neq 1$ i $x \neq -2$, czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 1\}$.

Krok 2. Wspólny mianownik. Przenosimy prawą stronę na lewo; wspólny mianownik to $(x - 1)(x + 2)$.

$\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 2} < 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x + 2) - 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} < 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4 - x}{(x - 1)(x + 2)} < 0.$

Krok 3. Iloczyn. $(4 - x)(x - 1)(x + 2) < 0$.

Krok 4. Wężyk. Pierwiastki $-2$, $1$, $4$ (pojedyncze). Czynnik $(4 - x)$ wnosi minus: wyraz najwyższego stopnia to $-x^3$, start od prawej pod osią.

Odpowiedź. $x \in (-2;\ 1) \cup (4;\ +\infty)$.

Sprawdzenie dla $x = 0$: $\tfrac{1}{-1} = -1 < \tfrac{2}{2} = 1$ - prawda. Dla $x = 2$: $\tfrac{1}{1} = 1 < \tfrac{2}{4} = 0{,}5$ - fałsz, zgodnie z odpowiedzią.

Uwaga na pokusę „mnożenia na krzyż” ($x + 2 < 2(x - 1)$). Tak wolno robić w proporcji, czyli w równaniu, ale nie w nierówności - oba mianowniki mają zmienny znak.

Przykład 4 - podwójny czynnik w mianowniku

Zadanie. Rozwiąż nierówność $\dfrac{x + 3}{(x - 1)^2} \ge 0$.

Krok 1. Dziedzina. $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Krok 2. Iloczyn. $(x + 3)(x - 1)^2 \ge 0$ i $x \neq 1$.

Krok 3. Wężyk. Pierwiastek $-3$ pojedynczy, $1$ podwójny. Wyraz najwyższego stopnia $x^3$ - start nad osią; w $1$ odbicie, w $-3$ przejście pod oś.

Krok 4. Odczyt. Nad osią lub na osi: od $-3$ w prawo. Gdyby to była nierówność wielomianowa, punkt $1$ by należał (iloczyn jest tam zerem). Tu jednak $1$ zeruje mianownik, więc wypada.

Odpowiedź. $x \in \langle -3;\ 1) \cup (1;\ +\infty)$.

Ten sam wynik widać bez wężyka: $(x - 1)^2 > 0$ w całej dziedzinie, więc znak ułamka to znak licznika $x + 3$.

Kiedy wolno pomnożyć przez mianownik

Gdy znak mianownika jest znany i stały. Typowy przypadek to trójmian z $\Delta < 0$ i dodatnim współczynnikiem przy $x^2$ albo wyrażenie typu $x^2 + 4$.

Zadanie. Rozwiąż nierówność $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 4} \le 0$.

Mianownik $x^2 + 4$ jest zawsze dodatni (dziedzina to $\mathbb{R}$), więc mnożymy przez niego bez zmiany zwrotu: $x^2 - 9 \le 0$, czyli $(x - 3)(x + 3) \le 0$.

Odpowiedź. $x \in \langle -3;\ 3\rangle$.

Podobnie można pomnożyć przez kwadrat, np. $(x - 1)^2$, ale wtedy trzeba osobno wykluczyć punkt, w którym jest on zerem - jak w przykładzie 4.

Zapis odpowiedzi - które końce należą do rozwiązania

Na rysunku wężyka wygodnie zaznaczać miejsca zerowe mianownika pustym kółkiem od razu, zanim zaczniemy odczytywać przedziały - wtedy trudno o nie zapomnieć. Jeżeli ta sama liczba zeruje licznik i mianownik, np. $\dfrac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$, nadal jest spoza dziedziny: można skrócić ułamek, ale punkt $x = 2$ trzeba wykluczyć osobno.

Najczęstsze błędy

• Mnożenie przez mianownik o nieznanym znaku albo „na krzyż” - gubi przedziały, na których mianownik jest ujemny.
• Domknięty przedział w miejscu zerowym mianownika przy $\ge$ lub $\le$. Ułamek tam nie istnieje, więc nie może być ani równy zeru, ani dodatni.
• Pominięcie dziedziny po skróceniu ułamka. Skrócony czynnik znika z zapisu, ale nie z dziedziny.
• Zgubiony minus z czynnika typu $(4 - x)$ - wężyk startuje wtedy pod osią.
• Przeniesienie liczby bez wspólnego mianownika, np. $\dfrac{x + 1}{x - 2} - 1 = \dfrac{x}{x - 2}$. Jedynkę trzeba zapisać jako $\dfrac{x - 2}{x - 2}$.

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać nierówność wymierną? Wyznacz dziedzinę, przenieś wszystko na jedną stronę, sprowadź do wspólnego mianownika, zamień iloraz $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ na iloczyn $P(x) \cdot Q(x)$ i rozwiąż go metodą wężyka. Na końcu wyrzuć z odpowiedzi miejsca zerowe mianownika.

Czy w nierówności wymiernej można pomnożyć przez mianownik? Tylko wtedy, gdy znasz jego znak - np. $x^2 + 4$ jest zawsze dodatni. Mianownik typu $x - 2$ raz jest dodatni, raz ujemny, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Zawsze bezpiecznie można pomnożyć przez kwadrat mianownika.

Dlaczego iloraz ma ten sam znak co iloczyn? Bo $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot b}{b^2}$, a $b^2 > 0$. Obie liczby są dodatnie, gdy $a$ i $b$ mają jednakowe znaki, i ujemne, gdy znaki są różne.

Czy miejsce zerowe mianownika może należeć do rozwiązania? Nie, nigdy. W tym punkcie ułamek nie jest określony, więc przy każdej nierówności - także nieostrej - stawiamy przy nim nawias okrągły.

Czym różni się nierówność wymierna od wielomianowej? Metoda jest ta sama (wężyk), ale w wymiernej dochodzi dziedzina: miejsca zerowe mianownika są granicami przedziałów, w których wolno zmienić znak, a jednocześnie nie należą do rozwiązania.

Co to jest nierówność ułamkowa? To potoczna nazwa nierówności wymiernej - nierówności z niewiadomą w mianowniku ułamka algebraicznego.

Podsumowanie

• Najpierw dziedzina: mianowniki różne od zera.
• Wszystko na jedną stronę, wspólny mianownik, postać $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0$.
• Nie mnożymy przez mianownik o nieznanym znaku; iloraz zamieniamy na iloczyn $P(x) \cdot Q(x)$.
• Iloczyn rozwiązujemy wężykiem - jak nierówność wielomianową.
• Miejsca zerowe licznika należą do rozwiązania tylko przy $\ge$ i $\le$, mianownika - nigdy.

Zobacz też

• Równania wymierne - dziedzina i mnożenie przez wspólny mianownik, które w równaniu jest dozwolone.
• Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych - sprowadzanie do wspólnego mianownika.
• Dowodzenie nierówności z użyciem średnich - następna lekcja: nierówności z ułamkami, które trzeba wykazać, a nie rozwiązać.
• Funkcja homograficzna - te same nierówności odczytane z wykresu hiperboli.
• Nierówności wielomianowe - zadania - trening wężyka z pierwiastkami wielokrotnymi.
• Nierówności kwadratowe i funkcja wymierna - wzory.