Wyrażenie wymierne - dziedzina, skracanie i rozszerzanie

Klasa 3 liceum i technikum

Wyrażenie wymierne (inaczej ułamek algebraiczny) to iloraz dwóch wielomianów $\frac{W(x)}{Q(x)}$, w którym mianownik $Q(x)$ nie jest wielomianem zerowym, np. $\frac{x + 5}{x^2 - 4}$. Wyrażenie wymierne ma sens tylko dla tych $x$, dla których mianownik jest różny od zera - te liczby tworzą jego dziedzinę.

Wyrażenia wymierne są dla wielomianów tym, czym ułamki zwykłe dla liczb całkowitych: można je skracać, rozszerzać, dodawać, mnożyć i dzielić według tych samych reguł. Ta lekcja otwiera rozdział wyrażenia i funkcje wymierne i korzysta z dwóch umiejętności z wcześniejszych lekcji: rozkładu wielomianu na czynniki oraz wzorów skróconego mnożenia.

Co jest, a co nie jest wyrażeniem wymiernym

Wyrażenie jest wymierne, jeśli da się je zapisać jako jeden ułamek, w którego liczniku i mianowniku stoją wielomiany. Zmienna może więc być w mianowniku, ale nie pod pierwiastkiem, w wykładniku ani w wartości bezwzględnej.

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Dziedzinę wyznaczamy zawsze przed jakimkolwiek przekształceniem, w trzech krokach:

1. Zapisz warunek: mianownik $\neq 0$.
2. Rozwiąż równanie „mianownik $= 0$” - najlepiej rozkładając mianownik na czynniki.
3. Dziedzina to $\mathbb{R}$ bez znalezionych liczb.

Przykład 1. Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\dfrac{x + 5}{x^2 - 4}$.

Krok 1. Warunek: $x^2 - 4 \neq 0$.

Krok 2. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, więc mianownik zeruje się dla $x = 2$ i $x = -2$.

Odpowiedź. $D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}$. Licznik nie ma tu nic do rzeczy: dla $x = -5$ wyrażenie istnieje i jest równe $0$.

Przykład 2. Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\dfrac{2x - 1}{x^3 - x^2 - 6x}$.

Krok 1. Wyłączamy $x$ przed nawias: $x^3 - x^2 - 6x = x(x^2 - x - 6)$.

Krok 2. Trójmian: $\Delta = 1 + 24 = 25$, pierwiastki $x = \frac{1 - 5}{2} = -2$ i $x = \frac{1 + 5}{2} = 3$. Zatem

$x^3 - x^2 - 6x = x(x + 2)(x - 3).$

Odpowiedź. $D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 3\}$.

Przykład 3. Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\dfrac{3}{x^2 + 4}$.

Równanie $x^2 + 4 = 0$ nie ma rozwiązań, bo $x^2 + 4 \geq 4$ dla każdego $x$.

Odpowiedź. $D = \mathbb{R}$ - mianownik nigdy się nie zeruje.

Przykład 4. Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\dfrac{x - 1}{x^2 - 6x + 9}$.

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$, a kwadrat jest zerem tylko dla $x = 3$.

Odpowiedź. $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.

Wartość wyrażenia wymiernego

Wartość obliczamy, podstawiając liczbę za $x$ - ale tylko liczbę z dziedziny. Dla wyrażenia z przykładu 2 i $x = 1$:

$\frac{2 \cdot 1 - 1}{1^3 - 1^2 - 6 \cdot 1} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}.$

Dla $x = 3$ wartości nie ma: licznik wynosi $5$, mianownik $0$, a przez zero nie dzielimy.

Wyrażenie wymierne jest równe zeru, gdy licznik jest zerem, a liczba należy do dziedziny. Przykładowo $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ ma licznik równy zeru dla $x = 3$ i $x = -3$, ale $x = -3$ zeruje też mianownik. Wyrażenie jest więc równe zeru tylko dla $x = 3$.

Skracanie wyrażeń wymiernych

Skracanie ułamka algebraicznego to podzielenie licznika i mianownika przez ten sam niezerowy czynnik. Żeby czynniki było widać, najpierw rozkładamy licznik i mianownik na czynniki.

Schemat: dziedzina → rozkład licznika i mianownika → skreślenie wspólnych czynników.

Przykład 5. Skróć wyrażenie $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$.

Krok 1. Dziedzina. $x^2 + 3x = x(x + 3) \neq 0$, więc $x \neq 0$ i $x \neq -3$.

Krok 2. Rozkład.

$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$

Krok 3. Skracamy przez $(x + 3)$, które w dziedzinie nie jest zerem.

Odpowiedź. $\dfrac{x - 3}{x}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 0\}$.

Zwróć uwagę: po skróceniu liczba $-3$ „zniknęła” z mianownika, ale nadal nie należy do dziedziny. Dziedzinę zawsze bierzemy z wyrażenia wyjściowego.

Przykład 6. Skróć wyrażenie $\dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$.

Ze wzoru na różnicę sześcianów: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Mianownik: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, więc $x \neq \pm 2$.

$\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$

Odpowiedź. $\dfrac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$ dla $x \neq -2$ i $x \neq 2$. Trójmian $x^2 + 2x + 4$ ma $\Delta = 4 - 16 < 0$, więc dalej już nic się nie skróci.

Przykład 7. Skróć wyrażenie $\dfrac{2x^2 - 5x + 3}{x^2 - 1}$.

Krok 1. Mianownik: $(x - 1)(x + 1)$, dziedzina $x \neq \pm 1$.

Krok 2. Licznik: $\Delta = 25 - 24 = 1$, pierwiastki $x = \frac{5 - 1}{4} = 1$ i $x = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}$, więc $2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)\left(x - \frac{3}{2}\right) = (x - 1)(2x - 3)$.

$\frac{(x - 1)(2x - 3)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2x - 3}{x + 1}$

Odpowiedź. $\dfrac{2x - 3}{x + 1}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 1\}$.

Przykład 8 (czynniki przeciwne). Skróć wyrażenie $\dfrac{4 - x^2}{x^2 - 2x}$.

Dziedzina: $x(x - 2) \neq 0$, czyli $x \neq 0$ i $x \neq 2$. Licznik to $(2 - x)(2 + x)$, a $2 - x = -(x - 2)$ - czynniki przeciwne też się skracają, zostawiając minus:

$\frac{-(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)} = -\frac{x + 2}{x}$

Odpowiedź. $-\dfrac{x + 2}{x}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{0,\ 2\}$.

Czy wyrażenie skrócone jest „tym samym” wyrażeniem?

Prawie. Wyrażenia $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ i $x + 1$ mają równe wartości dla każdego $x \neq 1$, ale dla $x = 1$ pierwsze nie istnieje, a drugie wynosi $2$. Dlatego wynik skracania zapisujemy zawsze razem z dziedziną. Ta różnica wróci w lekcji o funkcji wymiernej: wykres funkcji $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ to prosta $y = x + 1$ z „dziurą” w punkcie $(1, 2)$.

Rozszerzanie wyrażeń wymiernych

Rozszerzanie to pomnożenie licznika i mianownika przez to samo niezerowe wyrażenie. Robimy to głównie po to, żeby doprowadzić kilka ułamków do wspólnego mianownika przed dodawaniem i odejmowaniem.

Przykład 9. Rozszerz wyrażenie $\dfrac{3}{x - 2}$ tak, aby miało mianownik $x^2 - 4$.

Ponieważ $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, mnożymy licznik i mianownik przez $(x + 2)$:

$\frac{3}{x - 2} = \frac{3(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{3x + 6}{x^2 - 4}$

Równość zachodzi dla $x \neq \pm 2$: rozszerzając przez $(x + 2)$, dokładamy warunek $x \neq -2$, którego wyrażenie wyjściowe nie miało.

Przykład 10. Rozszerz $\dfrac{5}{2x}$ do mianownika $6x^2$.

$6x^2 : 2x = 3x$, więc mnożymy licznik i mianownik przez $3x$: $\dfrac{5}{2x} = \dfrac{15x}{6x^2}$ dla $x \neq 0$.

Typowe błędy

• Skracanie składników zamiast czynników. $\frac{x + 3}{x + 5} \neq \frac{3}{5}$ - dla $x = 1$ lewa strona to $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, a prawa $\frac{3}{5}$. Podobnie $\frac{x^2 + 1}{x} \neq x + 1$. Skracać wolno dopiero po rozkładzie na iloczyn.
• Dziedzina z postaci skróconej. Po skróceniu $\frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$ liczba $-3$ dalej jest wykluczona, choć w wyniku $\frac{x - 3}{x}$ jej nie widać.
• Dziedzina wyznaczana z licznika. Zero w liczniku nie przeszkadza - przeszkadza tylko zero w mianowniku.
• Zgubiony minus przy czynnikach przeciwnych. $\frac{2 - x}{x - 2} = -1$, a nie $1$.

Najczęstsze pytania

Co to jest wyrażenie wymierne? To iloraz dwóch wielomianów $\frac{W(x)}{Q(x)}$, w którym mianownik nie jest wielomianem zerowym, np. $\frac{x + 1}{x^2 - 3}$. Wyrażenie ma sens dla tych $x$, dla których $Q(x) \neq 0$.

Co to jest ułamek algebraiczny? To inna nazwa wyrażenia wymiernego: ułamek, w którego liczniku i mianowniku stoją wielomiany (wyrażenia algebraiczne ze zmienną).

Jak wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego? Przyrównaj mianownik do zera, rozwiąż to równanie (najlepiej rozkładając mianownik na czynniki) i wyrzuć otrzymane liczby ze zbioru $\mathbb{R}$. Dla $\frac{2x - 1}{x^3 - x^2 - 6x}$ wychodzi $\mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 3\}$.

Jak skracać wyrażenia wymierne? Najpierw wyznacz dziedzinę, potem rozłóż licznik i mianownik na czynniki i skreśl czynniki wspólne. Skracać można tylko czynniki, nie składniki sumy.

Czy po skróceniu zmienia się dziedzina wyrażenia? Nie - dziedzina zostaje taka jak w wyrażeniu wyjściowym, dlatego wynik zapisujemy z warunkiem, np. $\frac{x - 3}{x}$ dla $x \neq 0$ i $x \neq -3$.

Czy wielomian jest wyrażeniem wymiernym? Tak. Każdy wielomian można zapisać jako ułamek o mianowniku $1$, a jego dziedziną jest cały zbiór $\mathbb{R}$.

Kiedy wyrażenie wymierne jest równe zero? Gdy jego licznik jest równy zeru dla liczby należącej do dziedziny. Liczba zerująca jednocześnie licznik i mianownik się nie liczy.

Podsumowanie

• Wyrażenie wymierne (ułamek algebraiczny) to iloraz wielomianów $\frac{W(x)}{Q(x)}$.
• Dziedzina: $\mathbb{R}$ bez miejsc zerowych mianownika; wyznaczamy ją na samym początku.
• Skracanie: rozkład licznika i mianownika na czynniki, skreślenie czynników wspólnych (także przeciwnych - zostaje minus).
• Wynik skracania podajemy razem z dziedziną wyrażenia wyjściowego.
• Rozszerzanie przygotowuje ułamki do wspólnego mianownika.

Zobacz też

• Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych - następna lekcja: wspólny mianownik.
• Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych - skracanie w praktyce.
• Dziedzina funkcji - warunek „mianownik różny od zera” w szerszym kontekście.
• Rozkład wielomianu na czynniki - zadania → - trening kroku, od którego zależy każde skracanie.
• Rozkład na czynniki ze wzorów skróconego mnożenia →.
• Dziedzina funkcji - zadania →.
• Zestawienie wzorów: funkcja wymierna - dziedzina i asymptoty.