Działania na zbiorach - suma, iloczyn, różnica

Klasa 1 liceum i technikum

Pojęcie zbioru i elementu

Zbiór jest jednym z pojęć pierwotnych matematyki - nie definiujemy go, posługujemy się nim w znaczeniu intuicyjnym, podobnie jak w mowie potocznej mówimy o zbiorze książek na półce czy zbiorze uczniów w klasie. Obiekty należące do zbioru nazywamy jego elementami.

Zbiory oznaczamy zwykle wielkimi literami $A, B, C, \dots$, a ich elementy - małymi literami $a, b, c, \dots$ Zapis

$a \in A$

czytamy: „element $a$ należy do zbioru $A$”. Jeżeli $a$ nie jest elementem zbioru $A$, piszemy:

$a \notin A.$

Na przykład dla zbioru $A$ jednocyfrowych liczb naturalnych dodatnich mamy $3 \in A$ oraz $12 \notin A$.

Sposoby opisywania zbioru

Zbiór możemy opisać na dwa sposoby.

1. Przez wymienienie wszystkich elementów (zapis w nawiasach klamrowych):

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}.$

Kolejność wypisania elementów nie ma znaczenia, a każdy element liczymy tylko raz - zapisy $\{1, 2, 3\}$ i $\{3, 2, 1, 1\}$ oznaczają ten sam zbiór.

2. Przez podanie własności, którą spełniają wszystkie elementy zbioru (i tylko one):

$A = \{x : x \text{ jest liczbą naturalną i } 1 \le x \le 5\}.$

Dwukropek czytamy „takich, że”. Oba powyższe zapisy opisują ten sam zbiór.

Rodzaje zbiorów

• Zbiór skończony ma skończoną liczbę elementów, np. $A = \{2, 4, 6, 8\}$.
• Zbiór nieskończony ma nieskończenie wiele elementów, np. zbiór wszystkich liczb parzystych.
• Zbiór pusty to zbiór, który nie ma żadnego elementu. Oznaczamy go symbolem $\varnothing$ (lub $\{\,\}$). Przykładowo zbiór liczb rzeczywistych spełniających warunek $x^2 = -1$ jest pusty.

Dwa zbiory są równe, gdy mają dokładnie te same elementy. Piszemy wtedy $A = B$.

Podzbiór

Zbiór $A$ jest podzbiorem zbioru $B$, jeżeli każdy element zbioru $A$ należy także do zbioru $B$. Zapisujemy to:

$A \subseteq B.$

Mówimy wtedy, że $A$ zawiera się w $B$. Na przykład $\{1, 2\} \subseteq \{1, 2, 3\}$.

Każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem ($A \subseteq A$), a zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru ($\varnothing \subseteq A$).

Działania na zbiorach

Mając dane dwa zbiory $A$ i $B$, możemy utworzyć z nich nowe zbiory.

Suma zbiorów

Sumą zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór złożony z elementów należących do zbioru $A$lub do zbioru $B$ (lub do obu jednocześnie). Oznaczamy ją $A \cup B$:

$A \cup B = \{x : x \in A \ \text{lub}\ x \in B\}.$

Przykład: dla $A = \{1, 2, 3\}$ i $B = \{3, 4, 5\}$ mamy

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}.$

Iloczyn zbiorów (część wspólna)

Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór złożony z elementów należących jednocześnie do $A$ i do $B$. Oznaczamy go $A \cap B$:

$A \cap B = \{x : x \in A \ \text{i}\ x \in B\}.$

Dla zbiorów z poprzedniego przykładu:

$A \cap B = \{3\}.$

Jeżeli zbiory nie mają wspólnych elementów, czyli $A \cap B = \varnothing$, to nazywamy je zbiorami rozłącznymi.

Różnica zbiorów

Różnicą zbiorów $A$ i $B$ (w tej kolejności) nazywamy zbiór tych elementów zbioru $A$, które nie należą do zbioru $B$. Oznaczamy ją $A \setminus B$:

$A \setminus B = \{x : x \in A \ \text{i}\ x \notin B\}.$

Dla $A = \{1, 2, 3\}$ i $B = \{3, 4, 5\}$:

$A \setminus B = \{1, 2\}, \qquad B \setminus A = \{4, 5\}.$

Zwróć uwagę, że na ogół $A \setminus B \ne B \setminus A$ - kolejność zbiorów jest istotna.

Przykład

Dane są zbiory $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ (dzielniki liczby $12$) oraz $B = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ (dzielniki liczby $18$). Wyznaczmy wyniki działań.

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18\},$

$A \cap B = \{1, 2, 3, 6\},$

$A \setminus B = \{4, 12\}, \qquad B \setminus A = \{9, 18\}.$

Część wspólna $A \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$ to zbiór wspólnych dzielników liczb $12$ i $18$; największy z nich, $6$, to ich największy wspólny dzielnik.

Najczęstsze pytania

Czy zbiór może być elementem innego zbioru? Tak. W zbiorze $\{1, 2, \{3, 4\}\}$ są trzy elementy: liczby $1$ i $2$ oraz zbiór$\{3, 4\}$. Dlatego rozróżniamy znaki: $\in$ (należenie elementu) i $\subset$ (zawieranie zbioru).

Czym różni się $\in$ od $\subset$? Zapis $2 \in \{1, 2, 3\}$ czytamy „liczba $2$ należy do zbioru”, a $\{2\} \subset \{1, 2, 3\}$

• „zbiór jednoelementowy zawiera się w zbiorze”. Po lewej stronie $\in$ stoi element, po lewej stronie $\subset$ - zbiór.

Czy kolejność i powtórzenia elementów mają znaczenie? Nie. Zbiory $\{1, 2, 3\}$, $\{3, 1, 2\}$ i $\{1, 1, 2, 3\}$ to dokładnie ten sam zbiór. Liczy się tylko to, jakie elementy do niego należą.

Ile podzbiorów ma zbiór $n$-elementowy? Dokładnie $2^n$ - dla każdego elementu decydujemy niezależnie, czy go bierzemy. Zbiór trzyelementowy ma więc $8$ podzbiorów, wliczając zbiór pusty i cały zbiór.

Czy zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru? Tak. Nie ma w nim elementu, który nie należałby do drugiego zbioru, więc warunek zawierania jest spełniony „bez wysiłku”. Zbiór pusty zapisujemy $\emptyset$, a nie $\{\emptyset\}$ - ten drugi zapis oznacza zbiór zawierający zbiór pusty, czyli ma jeden element.