Prezentowanie danych statystycznych - tabela, diagram słupkowy, kołowy i histogram

Klasa 4 liceum i technikum

Obserwacja statystyczna to zbieranie informacji o wybranej cesze pewnej grupy obiektów - na przykład o sposobie dojazdu uczniów do szkoły albo o ich wzroście. Zebrane dane przedstawia się w tabeli liczebności albo na diagramie: słupkowym, kołowym, liniowym, na histogramie lub w diagramie łodygowo-liściowym. Wybór zależy od rodzaju danych i od tego, co chcemy pokazać.

Populacja, próba i cecha statystyczna

Populacja (zbiorowość generalna) to cała grupa, która nas interesuje - wszyscy uczniowie w Polsce, wszystkie żarówki z fabryki. Zwykle nie da się zbadać całej populacji, więc bada się próbę - wybraną jej część, np. $40$ uczniów jednej szkoły. Liczba elementów próby to liczność próby $n$.

Badana właściwość to cecha statystyczna. Cechy dzielą się na dwa rodzaje:

• cecha jakościowa - opisywana słowem, np. sposób dojazdu, ulubiony sport, kolor oczu;
• cecha ilościowa - opisywana liczbą. Bywa skokowa (przyjmuje pojedyncze wartości: liczba rodzeństwa, ocena) albo ciągła (dowolna wartość z przedziału: wzrost, czas, masa).

Rodzaj cechy decyduje o sposobie prezentacji: dla cechy jakościowej rysujemy diagram słupkowy lub kołowy, dla ilościowej ciągłej - histogram danych pogrupowanych w klasy.

Tabela liczebności, częstość i procent

Przykład 1. Zapytano $40$ uczniów, jak dojeżdżają do szkoły. Wyniki zebrano w tabeli. Kolumna częstość to liczebność podzielona przez liczność próby, a ostatnia kolumna to kąt wycinka na diagramie kołowym.

Na przykład dla dojazdu pieszo: częstość $\frac{14}{40} = 0{,}35$, czyli $35\%$, a kąt wycinka $0{,}35 \cdot 360^\circ = 126^\circ$. Ostatni wiersz to sprawdzenie: jeśli suma częstości nie wynosi $1$ albo suma kątów $360^\circ$, gdzieś jest błąd rachunkowy.

Diagram słupkowy

Na diagramie słupkowym każdej wartości cechy odpowiada słupek, którego wysokość jest równa liczebności (albo procentowi). Słupki mają jednakową szerokość i stoją w odstępach.

Z diagramu słupkowego najłatwiej porównać wartości: od razu widać, że pieszo chodzi najwięcej uczniów, a rowerem najmniej. Oś pionowa diagramu słupkowego powinna zaczynać się od zera - w przeciwnym razie różnice wyglądają na większe, niż są (to częsty chwyt w reklamach).

Diagram kołowy

Diagram kołowy pokazuje, jaką część całości stanowi każda grupa. Koło to $100\%$ danych, a każda grupa dostaje wycinek, którego kąt jest proporcjonalny do jej liczebności:

$\alpha = \frac{n_i}{n} \cdot 360^\circ.$

Działa to też w drugą stronę: z kąta wycinka odczytujemy liczebność. Wycinek $90^\circ$ to $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ wszystkich danych, a wycinek $36^\circ$ - dokładnie $10\%$. Diagram kołowy nadaje się do kilku grup; przy dziesięciu wąskich wycinkach staje się nieczytelny.

Histogram i szereg rozdzielczy

Gdy cecha jest ciągła (czas, wzrost, masa), prawie każda wartość jest inna, więc liczebności pojedynczych wartości nic nie mówią. Dane dzielimy wtedy na klasy - przedziały o jednakowej szerokości - i liczymy, ile danych wpada do każdej. Taka tabela to szereg rozdzielczy.

Przykład 2. Czas biegu na $60$ m w grupie $30$ uczniów:

Klasy są przedziałami lewostronnie domkniętymi: wynik $9{,}0$ s należy do klasy $[9, 10)$, a nie do $[8, 9)$. Dzięki temu każda dana trafia do dokładnie jednej klasy.

Histogram to diagram szeregu rozdzielczego: słupki stoją jeden przy drugim (bez odstępów), bo klasy stykają się ze sobą, a na osi poziomej zaznacza się granice klas.

Z histogramu odczytujemy kształt rozkładu: najwięcej uczniów biegło od $10$ do $11$ s (to klasa modalna), a wyniki skrajne są rzadkie. Liczba uczniów, którzy przebiegli dystans w czasie krótszym niż $10$ s, to $3 + 8 = 11$, czyli $\frac{11}{30} \approx 36{,}7\%$ grupy.

Jak liczyć średnią i medianę z szeregu rozdzielczego, pokazują lekcje średnia z próby i mediana, moda i skala centylowa.

Diagram łodygowo-liściowy

Diagram łodygowo-liściowy porządkuje dane i jednocześnie pokazuje ich kształt, nie gubiąc żadnej wartości. Każdą liczbę dzielimy na łodygę (cyfra dziesiątek) i liść (cyfra jedności). Liczba $47$ to łodyga $4$ i liść $7$.

Przykład 3. Wyniki testu (w punktach) $20$ uczniów:

Wiersz „5 | 0 2 3 3 6 8” oznacza wyniki $50, 52, 53, 53, 56, 58$. Najmniejszy wynik to $34$, największy $81$, a najwięcej wyników mieści się między $50$ a $59$. Liście w każdym wierszu są uporządkowane rosnąco, więc z diagramu łatwo odczytać medianę - zrobimy to w lekcji o medianie i kwartylach.

Wykres liniowy - zmiany w czasie

Gdy dane opisują tę samą wielkość w kolejnych chwilach (miesiącach, latach), łączy się je linią łamaną. Taki wykres liniowy pokazuje trend: wzrosty i spadki.

Największy spadek nastąpił w grudniu: ze $170$ do $110$ wypożyczeń, czyli o $60$ - to $\frac{60}{170} \approx 35{,}3\%$ listopadowej liczby. Zmianę procentową zawsze liczymy względem wartości wcześniejszej.

Jak wybrać sposób prezentacji

Typowe błędy

• Suma procentów różna od 100%. Zaokrąglenia mogą dać $99\%$ lub $101\%$ - wtedy warto podać procenty z dokładnością do dziesiątych albo napisać, że wynikają z zaokrągleń.
• Kąt wycinka liczony jak procent. Wycinek $30\%$ to $0{,}3 \cdot 360^\circ = 108^\circ$, a nie $30^\circ$.
• Histogram z odstępami między słupkami. Klasy szeregu rozdzielczego się stykają, więc słupki też muszą.
• Oś pionowa nie od zera. Na diagramie słupkowym ucięta oś przekłamuje proporcje słupków.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć kąt na diagramie kołowym? Podziel liczebność grupy przez liczbę wszystkich danych i pomnóż przez $360^\circ$. Grupa $12$ osób z $40$ to $\frac{12}{40} \cdot 360^\circ = 108^\circ$. Gdy znasz procent, mnożysz: $25\%$ to $0{,}25 \cdot 360^\circ = 90^\circ$.

Czym różni się histogram od diagramu słupkowego? Diagram słupkowy pokazuje liczebności pojedynczych wartości lub kategorii, a słupki stoją w odstępach. Histogram pokazuje dane ciągłe pogrupowane w przedziały (klasy), więc słupki stoją jeden przy drugim, a na osi zaznacza się granice przedziałów.

Co to jest szereg rozdzielczy? Tabela, w której dane ilościowe pogrupowano w klasy (przedziały) i przy każdej klasie podano jej liczebność. To punkt wyjścia do narysowania histogramu.

Co to jest częstość w statystyce? Liczebność względna: liczebność danej wartości podzielona przez liczbę wszystkich danych. Częstości sumują się do $1$, a pomnożone przez $100\%$ dają udział procentowy.

Czym różni się próba od populacji? Populacja to cała grupa, o której chcemy coś powiedzieć, a próba - jej zbadana część. Wnioski z próby przenosi się na populację tylko wtedy, gdy próba jest dobrze dobrana (np. losowo).

Przećwicz

• Dane z diagramu i tabeli - zadania → - diagram słupkowy i kołowy, kąty wycinków, diagram łodygowo-liściowy, częstości i wykres liniowy (zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku).
• Szereg rozdzielczy i dane pogrupowane → - odczyt z histogramu, grupowanie danych w klasy i liczebności skumulowane.
• Cały zestaw: statystyka - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

• Badamy próbę z populacji; cecha może być jakościowa albo ilościowa (skokowa lub ciągła).
• Częstość $f_i = \frac{n_i}{n}$; częstości sumują się do $1$, procenty do $100\%$.
• Diagram słupkowy porównuje grupy, kołowy pokazuje udział w całości (kąt $\frac{n_i}{n} \cdot 360^\circ$).
• Dane ciągłe grupujemy w klasy (szereg rozdzielczy) i rysujemy histogram - słupki bez odstępów.
• Diagram łodygowo-liściowy porządkuje dane, wykres liniowy pokazuje zmiany w czasie.