Wzory Viète'a

Klasa 2 liceum i technikum

Po co znać sumę i iloczyn, skoro można policzyć pierwiastki

Bo bardzo często pierwiastki są brzydkie, a pytanie dotyczy tylko wyrażenia, które da się przez nie wyrazić. Weźmy równanie $x^2 - 6x + 7 = 0$: jego pierwiastki to $3 \pm \sqrt{2}$, ale suma kwadratów wychodzi wprost z wzorów Viète’a bez żadnych pierwiastków.

Druga sytuacja to zadania z parametrem: „dla jakich $m$ pierwiastki są obu tego samego znaku”. Bez wzorów Viète’a trzeba by rozwiązywać równanie z literą w środku - z nimi wystarczy warunek na iloczyn.

Skąd się biorą

Skorzystajmy z postaci iloczynowej. Gdy $\Delta \ge 0$, mamy

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).$

Wymnóżmy prawą stronę:

$a(x - x_1)(x - x_2) = a\left[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2\right] = ax^2 - a(x_1+x_2)x + a x_1 x_2.$

Porównajmy współczynniki przy tych samych potęgach $x$ z lewą stroną:

$b = -a(x_1 + x_2) \quad\Longrightarrow\quad x_1 + x_2 = \frac{-b}{a},$

$c = a\,x_1x_2 \quad\Longrightarrow\quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.$

To wszystko - wzory Viète’a to po prostu porównanie postaci ogólnej z iloczynową.

Chcesz zobaczyć drugie wyprowadzenie? Wzory można też policzyć wprost ze wzorów na pierwiastki - suma wychodzi od ręki (pierwiastki z delty się znoszą), a iloczyn wymaga wzoru na różnicę kwadratów. Cały rachunek, krok po kroku i z zaznaczonymi kolorami czynnikami, które się skracają, znajdziesz na stronie Wyprowadzenie wzorów Viète’a.

Warunek konieczny. Wzory mają sens tylko wtedy, gdy pierwiastki istnieją, czyli gdy $\Delta \ge 0$. W zadaniach z parametrem ten warunek trzeba sprawdzić zawsze, zanim skorzystamy z sumy i iloczynu.

Przykład 1 - suma kwadratów pierwiastków

Zadanie. Równanie $x^2 - 6x + 7 = 0$ ma pierwiastki $x_1$, $x_2$. Oblicz $x_1^2 + x_2^2$.

Krok 1. Sprawdzamy istnienie pierwiastków. $\Delta = 36 - 28 = 8 > 0$ - istnieją.

Krok 2. Wzory Viète’a:

$x_1 + x_2 = \frac{6}{1} = 6, \qquad x_1 x_2 = \frac{7}{1} = 7.$

Krok 3. Przekształcamy szukane wyrażenie. Ze wzoru skróconego mnożenia $(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$ wynika

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 36 - 14 = 22.$

Odpowiedź. $x_1^2 + x_2^2 = 22$.

Sprawdźmy „na piechotę”: pierwiastki to $3 \pm \sqrt{2}$, więc $(3+\sqrt{2})^2 + (3-\sqrt{2})^2 = (11 + 6\sqrt{2}) + (11 - 6\sqrt{2}) = 22$. Zgadza się - ale przez Viète’a poszło znacznie szybciej.

Przykład 2 - odwrotności pierwiastków

Zadanie. Dla równania $2x^2 - 5x + 2 = 0$ oblicz $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$.

$\Delta = 25 - 16 = 9 > 0, \qquad x_1 + x_2 = \frac{5}{2}, \qquad x_1x_2 = \frac{2}{2} = 1.$

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{5/2}{1} = \frac{5}{2}.$

Odpowiedź. $\frac{5}{2}$.

Przykład 3 - znaki pierwiastków

Wzory Viète’a pozwalają rozstrzygnąć, jakie znaki mają pierwiastki, bez ich liczenia:

• $x_1 x_2 > 0$ - pierwiastki mają ten sam znak;
• $x_1 x_2 < 0$ - pierwiastki mają różne znaki;
• przy tym samym znaku decyduje suma: $x_1 + x_2 > 0$ oznacza dwa dodatnie, $x_1 + x_2 < 0$ - dwa ujemne.

Zadanie. Dla jakich wartości $m$ równanie $x^2 - 2mx + (m+6) = 0$ ma dwa pierwiastki dodatnie?

Krok 1. Muszą istnieć dwa różne pierwiastki:

$\Delta = 4m^2 - 4(m+6) > 0 \quad\Longrightarrow\quad m^2 - m - 6 > 0 \quad\Longrightarrow\quad (m-3)(m+2) > 0,$

czyli $m \in (-\infty;\ -2) \cup (3;\ +\infty)$.

Krok 2. Iloczyn dodatni (ten sam znak):

$x_1x_2 = m + 6 > 0 \quad\Longrightarrow\quad m > -6.$

Krok 3. Suma dodatnia (oba dodatnie):

$x_1 + x_2 = 2m > 0 \quad\Longrightarrow\quad m > 0.$

Krok 4. Część wspólna trzech warunków:

$m \in \big[(-\infty;\ -2) \cup (3;\ +\infty)\big] \cap (-6;\ +\infty) \cap (0;\ +\infty) = (3;\ +\infty).$

Odpowiedź. $m > 3$.

Przykład 4 - układanie równania z danych pierwiastków

Wzory działają też w drugą stronę. Jeśli szukamy równania o pierwiastkach $x_1$ i $x_2$, wystarczy zapisać

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0.$

Zadanie. Ułóż równanie kwadratowe o pierwiastkach $-2$ i $5$.

Suma wynosi $3$, iloczyn $-10$, więc równaniem jest

$x^2 - 3x - 10 = 0.$

Najczęstsze pytania

Czy wzory Viète’a działają przy $\Delta < 0$? Nie w liczbach rzeczywistych - nie ma wtedy pierwiastków, o których sumie moglibyśmy mówić. Dlatego warunek $\Delta \ge 0$ sprawdzamy jako pierwszy.

Czy trzeba pamiętać znak minus we wzorze na sumę? Tak, i to najczęstsza pomyłka: $x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$, a nie $\frac{b}{a}$. Łatwo to skontrolować na prostym przykładzie: dla $x^2 - 5x + 6 = 0$ pierwiastkami są $2$ i $3$, a $\frac{-b}{a} = 5$ - zgadza się.

Co, gdy $\Delta = 0$? Wzory nadal obowiązują, tylko oba pierwiastki są równe: $x_1 = x_2 = x_0$. Wtedy $x_1 + x_2 = 2x_0$ oraz $x_1x_2 = x_0^2$.

Jak wyrazić $x_1^2 + x_2^2$, skoro Viète daje tylko sumę i iloczyn? Przez wzór skróconego mnożenia: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$. Podobnie $(x_1 - x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2$, co przydaje się przy pytaniach o różnicę pierwiastków.

Skąd wiadomo, że pierwiastki są różnych znaków, gdy iloczyn jest ujemny? Bo iloczyn dwóch liczb jest ujemny dokładnie wtedy, gdy mają przeciwne znaki. Co ciekawe, w tym przypadku warunek $\Delta > 0$ jest spełniony automatycznie - iloczyn ujemny wymusza $\frac{c}{a} < 0$, a wtedy $\Delta = b^2 - 4ac > 0$.

Przećwicz

• Wzory Viète’a → - wyrażenia symetryczne, znaki pierwiastków i układanie równania z danych pierwiastków.
• Zadania z parametrem → - główne pole zastosowania tych wzorów.

Podsumowanie

• $x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a}$ oraz $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$ - przy założeniu $\Delta \ge 0$.
• Wzory wynikają z porównania postaci ogólnej z iloczynową.
• Wyrażenia symetryczne przeliczamy na sumę i iloczyn, np. $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$.
• Znaki pierwiastków: iloczyn dodatni - ten sam znak, ujemny - różne; przy tym samym znaku rozstrzyga suma.
• Równanie o zadanych pierwiastkach: $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$.