Zastosowanie wiadomości o funkcjach do opisu i interpretacji wykresów

Klasa 1 liceum i technikum

Funkcje to nie tylko wzory na lekcji matematyki. Wykresy opisują świat: pogodę, ceny, prędkość pojazdu, zużycie prądu, tętno na zegarku sportowym. Umiejętność odczytania informacji z takiego wykresu przydaje się na maturze (zadania „z treścią”) i w codziennym życiu. W tej lekcji łączymy poznane pojęcia z interpretacją realnych danych.

Wykres jako opis zjawiska

Gdy jedna wielkość zależy od drugiej, ich związek przedstawiamy wykresem: na osi poziomej zwykle umieszczamy wielkość „niezależną” (najczęściej czas), a na pionowej tę, która od niej zależy. Wtedy pojęcia z całego działu zyskują konkretne znaczenie:

• wartość funkcji - stan zjawiska w danej chwili (np. odległość, temperatura);
• monotoniczność - czy wielkość rośnie, czy maleje (np. oddalamy się czy wracamy);
• wartość największa/najmniejsza - rekord (najdalej, najcieplej, maksimum ceny);
• miejsce zerowe - chwila, w której wielkość wynosi zero (np. powrót do punktu startu).

Przykład: wycieczka rowerowa

Wykres pokazuje, jak zmieniała się odległość rowerzysty od domu (w kilometrach) w zależności od czasu (w godzinach) podczas wycieczki.

Odczytajmy konkretne informacje:

• Jak daleko zajechał rowerzysta? Najwyższy punkt wykresu jest na wysokości $20$, więc najdalej był 20 km od domu. To wartość największa funkcji.
• Czy w trakcie wycieczki odpoczywał? Tak - między $2.$ a $3.$ godziną wykres jest poziomy (funkcja stała): odległość się nie zmienia, czyli rowerzysta stał w miejscu (postój trwał 1 godzinę).
• Kiedy wrócił do domu? Odległość od domu spada do zera po 5 godzinach - to miejsce zerowe funkcji (powrót do punktu startu).
• Kiedy był 10 km od domu? Prowadzimy poziomą linię na wysokości $10$ - przecina wykres dwukrotnie: po 1 godzinie (w drodze „tam”) oraz po 4 godzinach (w drodze powrotnej).
• Kiedy się oddalał, a kiedy wracał? Funkcja rośnie na $\langle 0; 2 \rangle$ - rowerzysta się oddalał; maleje na $\langle 3; 5 \rangle$ - wracał.

Tempo zmian - jak szybko?

Nachylenie wykresu mówi o tempie zmian. W pierwszych dwóch godzinach rowerzysta pokonał $20$ km, więc jechał ze średnią prędkością

$\frac{20 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 10 \ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}.$

W drodze powrotnej te same $20$ km pokonał również w $2$ godziny (od $3.$ do $5.$), więc tempo było takie samo - dlatego oba odcinki są jednakowo nachylone. Im bardziej stromy odcinek, tym szybsza zmiana; odcinek poziomy oznacza brak zmian.

Na co uważać przy wykresach „z treścią”

• Czytaj opisy osi i jednostki. Ta sama linia znaczy co innego, gdy na osi jest temperatura, a co innego, gdy odległość. Zawsze sprawdź, co opisują osie.
• Odcinek poziomy nie znaczy „nic się nie dzieje”. Na wykresie odległości oznacza postój, ale np. na wykresie temperatury - że jest stała (a czas wciąż płynie).
• Odpowiadaj w kontekście zadania. Jeśli pytają „po ilu godzinach”, podaj czas (z osi poziomej), a nie wartość z osi pionowej.

Najczęstsze pytania

Co na wykresie droga-czas oznacza odcinek poziomy? Postój. Czas płynie, a przebyta droga się nie zmienia. Odcinek stromy oznacza szybki ruch, łagodny - wolny. Na wykresie prędkość-czas ten sam odcinek poziomy znaczyłby co innego: jazdę ze stałą prędkością.

Czy wykres pokazuje trasę przejazdu? Nie - to nie jest mapa. Wykres droga-czas pokazuje, ile drogi pokonano do danej chwili, a nie którędy. Wzniesienie wykresu nie oznacza jazdy pod górę.

Jak odczytać z wykresu prędkość? Prędkość to nachylenie wykresu drogi w czasie, czyli przyrost drogi podzielony przez przyrost czasu na danym odcinku. Im bardziej stromy fragment, tym większa prędkość.

Dlaczego przy zadaniach z treścią trzeba uważać na jednostki? Bo osie mają różne skale i jednostki (minuty i kilometry, złote i sztuki). Zanim policzysz nachylenie, sprawdź, co dokładnie odczytujesz z każdej osi - inaczej łatwo o wynik dziesięć razy za duży.

Przećwicz

• Odczytywanie własności z wykresu → - zadania z rysunkami, krok po kroku.

Podsumowanie

• Wykres to wygodny opis zależności między wielkościami - najczęściej czegoś od czasu.
• Poznane pojęcia mają tu praktyczny sens: monotoniczność = wzrost/spadek, wartość największa = rekord, miejsce zerowe = powrót do zera.
• Klucz to uważne czytanie osi i jednostek oraz odpowiadanie w kontekście treści zadania.

Na tym kończymy dział o funkcjach i ich własnościach. Jeśli chcesz powtórzyć, zacznij od pojęcia funkcji i przejdź lekcje po kolei - każda kolejna korzysta z poprzedniej.