Zastosowania funkcji wykładniczej - wzrost, rozpad i czas połowicznego rozpadu

Klasa 4 liceum i technikum

Model wykładniczy opisuje wielkość, która w równych odstępach czasu mnoży się przez ten sam czynnik $a$: $N(t) = N_0 \cdot a^t$. Dla $a > 1$ to wzrost wykładniczy (lokata, populacja, bakterie), dla $0 < a < 1$ - zanik wykładniczy (rozpad promieniotwórczy, lek w organizmie, utrata wartości). Czynnik $a = 1 + \frac{p}{100}$ odpowiada zmianie o $p\%$ na okres.

W klasie pierwszej liczyliśmy proste przykłady - spadek wartości samochodu w lekcji funkcja wykładnicza, a lokaty i kredyty omawia lekcja procent składany, lokaty i kredyty. Tutaj korzystamy z całego rozdziału: budujemy model z danych, a pytania „po jakim czasie?” rozwiązujemy równaniami i nierównościami wykładniczymi - często z logarytmem.

Jak zbudować model wykładniczy

Model wykładniczy pasuje, gdy w zadaniu jest mowa o zmianie o stały procent albo o stały czynnik (podwaja się, maleje o połowę, potraja się co…). Wtedy:

1. ustal wartość początkową $N_0$ (stan dla $t = 0$);
2. ustal czynnik na jeden okres: wzrost o $8\%$ to $a = 1{,}08$, spadek o $8\%$ to $a = 0{,}92$, podwojenie to $a = 2$;
3. ustal jednostkę czasu: jeśli czynnik dotyczy okresu $T$ (np. „połowa co 8 dni”), wykładnikiem jest $\frac{t}{T}$, a nie $t$.

Zmiana o stałą liczbę (np. „przybywa 300 osób rocznie”) to model liniowy, nie wykładniczy - warto to rozróżnić przed liczeniem.

Czas połowicznego rozpadu

Czas połowicznego rozpadu $T$ to czas, po którym z substancji promieniotwórczej zostaje połowa. Po $2T$ zostaje ćwiartka, po $3T$ - jedna ósma i tak dalej, niezależnie od tego, ile substancji było na początku.

Przykład 1. Fosfor-32, używany w medycynie i w badaniach biologicznych, ma czas połowicznego rozpadu około $14$ dni. W laboratorium jest $64$ mg tego izotopu. Ile fosforu-32 zostanie po $42$ dniach? Po ilu dniach zostanie mniej niż $5$ mg?

Krok 1. Model. $m_0 = 64$, $T = 14$:

$m(t) = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{14}}$

Krok 2. Po 42 dniach. $\frac{42}{14} = 3$ okresy połowicznego rozpadu:

$m(42) = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{64}{8} = 8 \ \text{mg}$

Krok 3. Mniej niż 5 mg. Rozwiązujemy nierówność. Ponieważ $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{14}} = \frac{1}{2^{t/14}}$, mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę $\frac{2^{t/14}}{5}$:

$64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{14}} < 5 \quad\Longrightarrow\quad 2^{\frac{t}{14}} > \frac{64}{5} = 12{,}8 \quad\Longrightarrow\quad \frac{t}{14} > \log_2 12{,}8 \approx 3{,}678$

więc $t > 14 \cdot 3{,}678 \approx 51{,}5$.

Odpowiedź. Po $42$ dniach zostanie $8$ mg. Mniej niż $5$ mg zostanie po około $51{,}5$ dnia, czyli od $52$. dnia.

Sprawdzenie bez logarytmu: $2^3 = 8 < 12{,}8 < 16 = 2^4$, więc $\frac{t}{14}$ musi leżeć między $3$ a $4$ - wynik między $42$ a $56$ dniami się zgadza.

Wzrost o stały procent i czas podwojenia

Przykład 2. Miasto liczy $40\,000$ mieszkańców, a jego ludność rośnie o $2\%$ rocznie. Ilu mieszkańców będzie po $10$ latach? Po ilu pełnych latach liczba mieszkańców się podwoi?

Krok 1. Model. $N(t) = 40\,000 \cdot 1{,}02^{t}$.

Krok 2. Po 10 latach. $N(10) = 40\,000 \cdot 1{,}02^{10} \approx 40\,000 \cdot 1{,}21899 \approx 48\,760$.

Krok 3. Podwojenie. Szukamy najmniejszego całkowitego $t$, dla którego $1{,}02^{t} \ge 2$:

$t \ge \frac{\log 2}{\log 1{,}02} \approx 35{,}003$

Krok 4. Zaokrąglenie. Wynik $35{,}003$ jest minimalnie większy od $35$, więc odpowiedzią jest $36$. Sprawdzenie: $1{,}02^{35} \approx 1{,}99989 < 2$, a $1{,}02^{36} \approx 2{,}0399 \ge 2$.

Odpowiedź. Po $10$ latach około $48\,760$ mieszkańców. Liczba mieszkańców podwoi się po $36$ latach.

Ta pułapka jest typowa: zaokrąglenie „do najbliższej liczby całkowitej” dałoby $35$, a po $35$ latach brakuje jeszcze kilku mieszkańców. W pytaniu „po ilu pełnych okresach” zaokrąglamy w górę i sprawdzamy oba sąsiednie wykładniki.

Reguła 70

Czas podwojenia przy wzroście o $p\%$ na okres można szybko oszacować w pamięci: $T_2 \approx \frac{70}{p}$. Bierze się to z przybliżenia $\log_e 2 \approx 0{,}69$. Porównanie z wartością dokładną:

Reguła jest dobra do szacowania, ale w zadaniu maturalnym liczymy dokładnie, logarytmem.

Model z dwóch pomiarów

Przykład 3. Na początku doświadczenia w hodowli było $500$ bakterii, a po $4$ godzinach - $1500$. Zakładając wzrost wykładniczy $N(t) = N_0 \cdot a^t$ ($t$ w godzinach), wyznacz $a$ i oszacuj liczbę bakterii po $6$ godzinach.

Krok 1. $N(0) = N_0 = 500$.

Krok 2. $N(4) = 500 \cdot a^4 = 1500$, więc $a^4 = 3$ i $a = 3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3} \approx 1{,}316$. Liczba bakterii rośnie więc o około $31{,}6\%$ na godzinę.

Krok 3. Po $6$ godzinach:

$N(6) = 500 \cdot \left(3^{\frac{1}{4}}\right)^{6} = 500 \cdot 3^{\frac{3}{2}} = 500 \cdot 3\sqrt{3} = 1500\sqrt{3} \approx 2598$

Odpowiedź. $a = \sqrt[4]{3} \approx 1{,}316$; po $6$ godzinach około $2598$ bakterii.

Zauważ, że nie trzeba było liczyć $a$ w przybliżeniu - prawo $\left(a^x\right)^y = a^{xy}$ dało dokładny wynik $1500\sqrt{3}$.

Zanik o stały procent - ciśnienie atmosferyczne

Przykład 4. W przybliżonym modelu ciśnienie atmosferyczne spada o $12\%$ na każdy kilometr wysokości, a na poziomie morza wynosi $1013$ hPa. Oblicz ciśnienie na wysokości $5$ km. Na jakiej wysokości ciśnienie jest dwa razy mniejsze niż na poziomie morza?

Krok 1. $p(h) = 1013 \cdot 0{,}88^{h}$, $h$ w kilometrach.

Krok 2. $p(5) = 1013 \cdot 0{,}88^{5} \approx 1013 \cdot 0{,}5277 \approx 535$ hPa.

Krok 3. $0{,}88^{h} = \frac{1}{2}$, więc

$h = \frac{\log 0{,}5}{\log 0{,}88} \approx 5{,}42 \ \text{km}$

Odpowiedź. Około $535$ hPa na wysokości $5$ km; ciśnienie spada o połowę na wysokości około $5{,}4$ km. (Prawdziwa atmosfera nie jest dokładnie wykładnicza, ale model daje dobre przybliżenie - na szczycie Mount Everestu, $8{,}85$ km, przewiduje około $327$ hPa przy rzeczywistych około $300$-$340$ hPa.)

Kapitalizacja ciągła i liczba e

Im częściej bank dopisuje odsetki, tym więcej zarabiamy, ale zysk ma granicę. Przy oprocentowaniu $r$ rocznie i kapitalizacji „w każdej chwili” kapitał po $t$ latach wynosi

$K(t) = K_0 \cdot e^{rt}$

gdzie $e \approx 2{,}718$ to liczba Eulera. Dla $10\,000$ zł, $5\%$ rocznie i $10$ lat: kapitalizacja roczna daje $10\,000 \cdot 1{,}05^{10} \approx 16\,288{,}95$ zł, a ciągła - $10\,000 \cdot e^{0{,}5} \approx 16\,487{,}21$ zł. Ten sam wzór $N_0 e^{kt}$ opisuje wzrost bakterii i rozpad promieniotwórczy w fizyce: tam zamiast $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ pisze się $e^{-\lambda t}$.

Typowe błędy

• Wykładnik $t$ zamiast $\frac{t}{T}$. Przy „połowie co 8 dni” po 24 dniach mamy $\left(\frac{1}{2}\right)^3$, a nie $\left(\frac{1}{2}\right)^{24}$.
• Spadek o $p\%$ jako $\left(\frac{p}{100}\right)^t$. Spadek o $12\%$ to mnożenie przez $0{,}88$, a nie przez $0{,}12$.
• Zaokrąglenie „po ilu latach” w dół. Gdy wychodzi $35{,}003$, odpowiedzią jest $36$.
• Procent prosty zamiast składanego. Wzrost o $2\%$ rocznie przez $10$ lat to nie $20\%$, tylko około $21{,}9\%$.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć czas połowicznego rozpadu? Jeśli znasz masę początkową $m_0$ i masę $m$ po czasie $t$, rozwiąż $m = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ względem $T$: $T = \frac{t \cdot \log 2}{\log \frac{m_0}{m}}$. Na przykład spadek z $80$ mg do $10$ mg w ciągu $24$ dni to trzy połowienia, więc $T = 8$ dni.

Ile substancji zostanie po trzech okresach połowicznego rozpadu? Jedna ósma, bo $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$. Po pięciu okresach - $\frac{1}{32}$, czyli około $3\%$.

Jaki jest wzór na wzrost wykładniczy?$N(t) = N_0 \cdot a^t$, gdzie $N_0$ to wartość początkowa, a $a$ - czynnik wzrostu na jeden okres. Przy wzroście o $p\%$ na okres $a = 1 + \frac{p}{100}$.

Po ilu latach podwoi się kapitał przy 5% rocznie?$1{,}05^n \ge 2$ daje $n \ge 14{,}21$, czyli $15$ lat przy rocznej kapitalizacji. Reguła 70 szacuje $\frac{70}{5} = 14$ lat.

Czym różni się wzrost wykładniczy od liniowego? Liniowy dodaje w każdym okresie tę samą liczbę, wykładniczy mnoży przez ten sam czynnik. Wzrost o $300$ osób rocznie to model liniowy, wzrost o $2\%$ rocznie - wykładniczy.

Przećwicz

• Zastosowania funkcji wykładniczej - zadania → - 10 zadań: rozpad promieniotwórczy i datowanie węglem C-14, czas podwojenia, stygnięcie kawy, dawki leku, utrata wartości, pochłanianie światła w wodzie i kapitalizacja ciągła.
• Lokaty i kredyty - zadania → - procent składany co do grosza.
• Cały zestaw: funkcja wykładnicza - zadania →

Podsumowanie

• Model wykładniczy: $N(t) = N_0 \cdot a^t$; wzrost o $p\%$ to $a = 1 + \frac{p}{100}$, spadek - $a = 1 - \frac{p}{100}$.
• Czas połowicznego rozpadu: $m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ - po każdym okresie $T$ zostaje połowa.
• Pytanie „po jakim czasie” to równanie lub nierówność wykładnicza, zwykle rozwiązywana logarytmem.
• Przy „pełnych latach” zaokrąglamy w górę i sprawdzamy wykładniki $n$ i $n - 1$.
• Czas podwojenia szacuje reguła 70: $T_2 \approx \frac{70}{p}$.
• Wzrost i zanik ciągły zapisuje się z liczbą $e$: $N_0 \cdot e^{kt}$.