Problem Monty Halla

To najsłynniejsza pułapka intuicji w rachunku prawdopodobieństwa. Prawie każdy odpowiada „teraz są dwie bramki, więc szanse są równe" - i prawie każdy się myli. Zamiast wierzyć na słowo, zagraj poniżej albo puść tysiąc rozgrywek naraz.

Dlaczego zmiana się opłaca

Najprostsze uzasadnienie mieści się w jednym zdaniu: zmiana wygrywa dokładnie wtedy, gdy pierwszy wybór był błędny. A pierwszy wybór jest błędny w dwóch przypadkach na trzy.

Wypiszmy wszystkie możliwości. Załóżmy, że wskazałeś bramkę numer 1:

• Samochód za bramką 1 (szansa 1/3) - prowadzący otwiera którąś z pozostałych. Zostajesz: wygrywasz. Zmieniasz: przegrywasz.
• Samochód za bramką 2 (szansa 1/3) - prowadzący musi otworzyć bramkę 3. Zostajesz: przegrywasz. Zmieniasz: wygrywasz.
• Samochód za bramką 3 (szansa 1/3) - prowadzący musi otworzyć bramkę 2. Zostajesz: przegrywasz. Zmieniasz: wygrywasz.

Strategia „zostaję" wygrywa w jednym z trzech przypadków, strategia „zmieniam" - w dwóch. Zwróć uwagę na słowo musi: w dwóch z trzech scenariuszy prowadzący nie ma wyboru, którą bramkę otworzyć. To właśnie tam wycieka informacja, którą wykorzystuje zmiana.

Sto bramek zamiast trzech

Jeśli rachunek nie przekonuje, pomaga zmiana skali. Wyobraź sobie sto bramek. Wskazujesz jedną - szansa trafienia to 1/100. Prowadzący, który wie, gdzie stoi samochód, otwiera teraz 98 bramek z kozami i zostawia zamknięte tylko dwie: twoją i jedną inną.

Czy naprawdę wierzysz, że szanse są teraz równe? Twoja bramka wciąż ma 1/100 - wybrałeś ją, zanim cokolwiek wiedziałeś. Cała reszta prawdopodobieństwa, czyli 99/100, skupiła się na tej jednej bramce, której prowadzący celowo nie otworzył.

Rachunek Bayesa

Policzmy to formalnie. Wybierasz bramkę 1, prowadzący otwiera bramkę 3. Oznaczmy przez S1, S2, S3 zdarzenia „samochód jest za bramką numer i", a przez O3 - „prowadzący otworzył bramkę 3".

Krok 1. Prawdopodobieństwa wstępne. P(S1) = P(S2) = P(S3) = 1/3.

Krok 2. Jak zachowuje się prowadzący.

• P(O3 | S1) = 1/2 - samochód jest za twoją bramką, więc prowadzący ma do wyboru dwie kozy;
• P(O3 | S2) = 1 - samochód jest za bramką 2, więc jedyną kozą do pokazania jest bramka 3;
• P(O3 | S3) = 0 - prowadzący nigdy nie otworzy bramki z samochodem.

Krok 3. Prawdopodobieństwo całkowite.

P(O3) = 1/2 · 1/3 + 1 · 1/3 + 0 · 1/3 = 1/6 + 1/3 = 1/2.

Krok 4. Twierdzenie Bayesa.

P(S1 | O3) = (1/2 · 1/3) / (1/2) = 1/3,
P(S2 | O3) = (1 · 1/3) / (1/2) = 2/3.

Twoja bramka pozostaje przy 1/3, a bramka numer 2 ma 2/3. Rachunek potwierdza to, co pokazuje symulator. Więcej o samym narzędziu: twierdzenie Bayesa.

Kiedy zmiana przestaje pomagać

Wynik 2/3 opiera się na trzech założeniach, o których łatwo zapomnieć:

• prowadzący wie, gdzie jest samochód;
• zawsze otwiera bramkę z kozą (nigdy nie odsłania nagrody);
• zawsze proponuje zmianę - niezależnie od tego, czy trafiłeś.

Jeśli prowadzący otwiera bramkę losowo i przypadkiem trafi na kozę, sytuacja zmienia się całkowicie: obie zamknięte bramki mają wtedy po 1/2 i zmiana nic nie daje. To samo, gdyby proponował zmianę tylko wtedy, gdy trafiłeś - wówczas zmiana byłaby wręcz szkodliwa. Cała siła tego zadania tkwi w tym, że prowadzący jest poinformowany i przewidywalny.

Skąd ta nazwa i skąd awantura

Monty Hall prowadził amerykański teleturniej Let's Make a Deal, w którym pojawiał się podobny wybór. Zadanie w obecnej postaci opublikowała w 1990 roku Marilyn vos Savant w rubryce tygodnika „Parade", podając poprawną odpowiedź: warto zmienić.

Wywołało to jedną z najgłośniejszych awantur w historii popularyzacji matematyki. Do redakcji napłynęło około 10 tysięcy listów z zarzutami, w tym blisko tysiąc od osób z tytułem doktora, tłumaczących, że autorka nie rozumie prawdopodobieństwa. Nie miały racji. Sam Paul Erdős, jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku, przyjął rozwiązanie dopiero po zobaczeniu komputerowej symulacji - takiej jak ta powyżej.

Najczęstsze pytania

Dlaczego to nie jest 50 na 50?
Bo obie bramki nie są równoważne. Twoja bramka została wybrana losowo z trzech i ma 1/3 szans. Prowadzący, otwierając bramkę z kozą, nie zmienia tej liczby - wie, gdzie jest nagroda, i zawsze omija samochód. Cała pozostała szansa, czyli 2/3, przechodzi na jedną nieotwartą bramkę.

Co jeśli prowadzący otwiera bramkę losowo?
Wtedy rzeczywiście robi się 50 na 50 - ale tylko w tych rozgrywkach, w których przypadkiem trafił na kozę. Wiedza prowadzącego jest kluczowym założeniem tego zadania.

Czy zmiana gwarantuje wygraną?
Nie. W jednej rozgrywce na trzy zmiana przegrywa - dokładnie wtedy, gdy pierwszy wybór był trafiony. Strategia zmiany wygrywa w dwóch przypadkach na trzy, a to najlepsze, co można zrobić.

Jak to zapamiętać?
Wyobraź sobie sto bramek. Wybierasz jedną (szansa 1/100), a prowadzący otwiera 98 bramek z kozami i zostawia jedną zamkniętą. Zmieniasz czy zostajesz? Przy stu bramkach intuicja podpowiada odpowiedź natychmiast.

Czy ten problem ma związek z twierdzeniem Bayesa?
Bezpośredni. Otwarcie bramki przez prowadzącego to nowa informacja, a twierdzenie Bayesa mówi, jak zaktualizować prawdopodobieństwa. Rachunek jest w sekcji poniżej.

Podsumowanie

• Zmiana bramki wygrywa w 2 przypadkach na 3, pozostanie przy swojej - w 1 na 3.
• Zmiana wygrywa dokładnie wtedy, gdy pierwszy wybór był błędny - a to zdarza się w 2/3 gier.
• Informacja pojawia się dlatego, że prowadzący wie, gdzie jest samochód, i w dwóch przypadkach na trzy nie ma wyboru, którą bramkę otworzyć.
• Rachunek Bayesa daje ten sam wynik: P(twoja bramka | otwarta koza) = 1/3.
• Przy losowym zachowaniu prowadzącego przewaga znika - założenia są tu wszystkim.

Zobacz też: twierdzenie Bayesa, paradoks urodzin oraz wszystkie twierdzenia.