Wykres funkcji y = |f(x)| oraz y = f(|x|)

Klasa 2 liceum i technikum

Dwa różne przekształcenia

Choć oba wzory wyglądają podobnie, robią zupełnie co innego. Zawsze warto zapytać: czy moduł obejmuje całą funkcję, czy tylko $x$?

Przypomnijmy definicję: $|t| = t$ dla $t \ge 0$ oraz $|t| = -t$ dla $t < 0$. Wartość bezwzględna „zabiera minus” - i to wystarczy, żeby wyprowadzić oba przekształcenia.

Wykres y = |f(x)|

Tam, gdzie funkcja jest nieujemna, moduł niczego nie zmienia. Tam, gdzie jest ujemna, zamienia wartość na przeciwną - czyli punkt o rzędnej $-2$ trafia na wysokość $2$. Geometrycznie: fragment wykresu spod osi $OX$ odbijamy nad tę oś, a resztę zostawiamy.

Własności wykresu $y = |f(x)|$:

• wszystkie wartości są nieujemne, więc zbiór wartości zawiera się w $\langle 0;\ +\infty)$;
• miejsca zerowe zostają te same (bo $|0| = 0$);
• dziedzina zostaje bez zmian;
• w miejscach zerowych powstają zwykle ostre załamania - wykres przestaje być gładki;
• monotoniczność odwraca się na odbitych fragmentach.

Wykres y = f(|x|)

Tu moduł działa na argumencie. Dla $x \ge 0$ mamy $|x| = x$, więc prawa część wykresu zostaje bez zmian. Dla $x < 0$ liczymy $f(-x)$, czyli sięgamy po wartość z prawej strony - lewa część wykresu jest więc lustrzanym odbiciem prawej względem osi $OY$. Dotychczasowa lewa część znika.

Własności wykresu $y = f(|x|)$:

• wykres jest symetryczny względem osi $OY$ - zawsze, dla dowolnej funkcji $f$;
• wartość w zerze zostaje ta sama: $f(|0|) = f(0)$;
• o zbiorze wartości decyduje tylko prawa część wyjściowego wykresu;
• w punkcie $x = 0$ zwykle powstaje załamanie.

Przykłady na wzorach

Przykład 1. Dla $f(x) = x - 2$:

$|f(x)| = |x - 2|, \qquad f(|x|) = |x| - 2.$

Pierwszy wykres to „daszek do góry nogami” - litera V z wierzchołkiem w punkcie $(2, 0)$. Drugi to litera V odwrócona w drugą stronę: dwie półproste schodzące się w punkcie $(0, -2)$.

Przykład 2. Dla $f(x) = x^2 - 4$:

$|f(x)| = |x^2 - 4|, \qquad f(|x|) = |x|^2 - 4 = x^2 - 4.$

Drugi wynik jest ciekawy: funkcja się nie zmieniła, bo $|x|^2 = x^2$. Tak dzieje się zawsze, gdy funkcja jest parzysta - jej wykres i tak był symetryczny względem osi $OY$.

Kiedy przekształcenia niczego nie zmieniają

• $y = |f(x)|$ nie zmienia wykresu, gdy funkcja nigdzie nie jest ujemna (np. $f(x) = x^2$);
• $y = f(|x|)$ nie zmienia wykresu, gdy funkcja jest parzysta, czyli $f(-x) = f(x)$.

Najczęstsze pytania

Jak odróżnić oba przekształcenia? Sprawdź, co jest w module. Jeśli cała funkcja - odbijamy w pionie (spod osi nad oś). Jeśli tylko $x$ - odbijamy w poziomie (prawą część na lewo).

Czy $|f(x)|$ ma te same miejsca zerowe co $f(x)$? Tak, bo $|0| = 0$ - punkty leżące na osi $OX$ zostają w miejscu.

Czy wykres z modułem to nadal wykres funkcji? Tak. Każdemu argumentowi nadal odpowiada dokładnie jedna wartość - wykres przechodzi test pionowej prostej, mimo załamań.

Co z lewą częścią przy $y = f(|x|)$? Znika i zostaje zastąpiona odbiciem prawej części. To dlatego wartości funkcji dla ujemnych argumentów nie mają żadnego wpływu na ten wykres.

Gdzie się to przydaje? Przy liczeniu, ile rozwiązań ma równanie z modułem: rysujemy wykres i sprawdzamy, w ilu punktach przecina go prosta pozioma. Ten sam pomysł stosujemy dla funkcji kwadratowej - patrz wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną.

Przećwicz

• Wykresy z modułem, rozciąganie i ściskanie → - szkice, zbiór wartości i punkty wykresów z modułem.

Podsumowanie

• $y = |f(x)|$ - fragment spod osi $OX$ odbijamy nad oś; wartości stają się nieujemne, miejsca zerowe zostają.
• $y = f(|x|)$ - prawą część odbijamy względem osi $OY$; wykres staje się symetryczny.
• Oba wykresy mają zwykle ostre załamania.
• $|f(x)|$ nic nie zmienia dla funkcji nieujemnej, a $f(|x|)$ - dla funkcji parzystej.