Potęga o wykładniku naturalnym - podstawa i wykładnik

Klasa 1 liceum i technikum

Definicja potęgi

Potęgą liczby $a$ o wykładniku naturalnym $n \ge 2$ nazywamy iloczyn $n$ jednakowych czynników równych $a$:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ czynników}}.$

Liczbę $a$ nazywamy podstawą potęgi, a $n$ - wykładnikiem. Przyjmujemy ponadto:

$a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \ \text{(dla } a \ne 0\text{)}.$

Na przykład $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ oraz $\left(\tfrac{1}{2}\right)^4 = \tfrac{1}{16}$.

Prawa działań na potęgach

Dla potęg o tej samej podstawie ($a \ne 0$) oraz wykładników naturalnych $m, n$:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \ (m \ge n), \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}.$

Dla potęg o tym samym wykładniku ($b \ne 0$):

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n, \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.$

Przykład.

$2^5 \cdot 2^3 = 2^{8} = 256, \qquad \frac{3^7}{3^4} = 3^{3} = 27, \qquad \left(10^2\right)^3 = 10^{6}.$

Znak potęgi

Znak wartości potęgi zależy od podstawy i parzystości wykładnika:

• gdy podstawa jest dodatnia, potęga jest zawsze dodatnia;
• gdy podstawa jest ujemna, a wykładnik parzysty - potęga jest dodatnia;
• gdy podstawa jest ujemna, a wykładnik nieparzysty - potęga jest ujemna.

Na przykład:

$(-2)^4 = 16, \qquad (-2)^3 = -8.$

Zwróć uwagę na nawiasy: $(-2)^4$ to potęga liczby $-2$, natomiast $-2^4 = -(2^4) = -16$ - tutaj potęgujemy tylko $2$, a minus pozostaje przed wynikiem.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi $a^0$ i dlaczego akurat $1$? Dla $a \ne 0$ mamy $a^0 = 1$. Wynika to z prawa dzielenia potęg: $\dfrac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$, a przecież liczba podzielona przez samą siebie daje $1$. Symbol $0^0$ jest nieokreślony.

Czy $(a+b)^n = a^n + b^n$? Nie. Prawa działań dotyczą mnożenia i dzielenia, nigdy dodawania. Sprawdź na liczbach: $(2+3)^2 = 25$, a $2^2 + 3^2 = 13$. Nawias z sumą rozwijamy wzorami skróconego mnożenia.

Czy można dodać $2^3 + 2^4$, skracając do jednej potęgi? Nie wprost - prawo $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ dotyczy mnożenia. Sumę można najwyżej wyłączyć przed nawias: $2^3 + 2^4 = 2^3(1 + 2) = 3 \cdot 2^3 = 24$.

Jak pomnożyć potęgi o różnych podstawach, np. $2^5 \cdot 5^5$? Gdy wykładniki są takie same, korzystamy z prawa $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ czytanego od prawej: $2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5 = 10^5 = 100000$. Gdy różne są i podstawy, i wykładniki - potęgi trzeba po prostu obliczyć.

Przećwicz

Prawa działań na potęgach najlepiej utrwalić na zadaniach. Zobaczmy typowy przykład krok po kroku.

Zadanie. Zapisz w postaci potęgi o podstawie $2$ wyrażenie $4^5 \cdot 8^2 \cdot 2^6$.

Krok 1. Każdy czynnik zapisujemy jako potęgę dwójki: $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$ oraz $8^2 = (2^3)^2 = 2^6$.

Krok 2. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki:

$4^5 \cdot 8^2 \cdot 2^6 = 2^{10} \cdot 2^6 \cdot 2^6 = 2^{10+6+6} = 2^{22}.$

Odpowiedź. $4^5 \cdot 8^2 \cdot 2^6 = 2^{22}.$

Chcesz więcej? Zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku, pogrupowane według rodzaju:

• Obliczanie z praw działań na potęgach → - iloczyn, iloraz i potęga potęgi (np. $\tfrac{2^5 \cdot 2^3}{2^6}$).
• Zapis w postaci potęgi danej podstawy → - sprowadzanie do wspólnej podstawy 2 lub 3.
• Notacja wykładnicza → - zapis $a \cdot 10^n$ (duże i małe liczby, przykłady z astronomii).
• Upraszczanie wyrażeń do jednej potęgi → - prawa potęg z literami.
• Dowodzenie podzielności sumy potęg → - wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias.

Albo zobacz wszystkie zadania z potęg o wykładniku naturalnym →.