Pole figury płaskiej - jednostki pola i pola czworokątów

Q: Ile centymetrów kwadratowych ma metr kwadratowy?

10 000\ cm², bo 1\ m² to kwadrat 100\ cm × 100\ cm. Z tego samego powodu 1\ dm² = 100\ cm², a 1\ cm² = 100\ mm².

Q: Ile metrów kwadratowych ma hektar, a ile ar?

Hektar to 10 000\ m² (kwadrat 100\ m × 100\ m), a ar - 100\ m² (kwadrat 10\ m × 10\ m). W jednym hektarze jest 100 arów, a w kilometrze kwadratowym - 100 hektarów.

Q: Jak obliczyć pole trapezu?

Średnia podstaw razy wysokość: P = a+b/2 · h. Dla podstaw 11 i 5 oraz wysokości 6 wychodzi 8 · 6 = 48.

Q: Jak obliczyć pole rombu, gdy znam przekątne?

Pomnóż przekątne i podziel przez dwa: P = e · f/2. Romb o przekątnych 10 i 7 ma pole 35.

Klasa 2 liceum i technikum

Pola czworokątów i jednostki pola

$\text{prostokąt: } P = a \cdot b \qquad \text{kwadrat: } P = a^2 \qquad \text{równoległobok: } P = a \cdot h$

$\text{romb (przekątne } e, f\text{): } P = \frac{e \cdot f}{2} \qquad \text{trapez: } P = \frac{a + b}{2} \cdot h$

$1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2 \qquad 1\ \text{a} = 100\ \text{m}^2 \qquad 1\ \text{ha} = 10\,000\ \text{m}^2$

Pole figury płaskiej to liczba, która mówi, ile kwadratów jednostkowych (o boku $1$ ) potrzeba, żeby tę figurę dokładnie pokryć. Kwadrat o boku $1\ \text{cm}$ ma pole $1\ \text{cm}^2$ , więc prostokąt $5\ \text{cm} \times 3\ \text{cm}$ , w który mieści się $5 \cdot 3 = 15$ takich kwadratów, ma pole $15\ \text{cm}^2$ .

Co to jest pole figury - trzy własności

Wszystkie wzory na pole wynikają z trzech prostych własności. Warto je znać, bo to dzięki nim wolno figury rozcinać, przesuwać i składać:

Pole kwadratu jednostkowego wynosi $1$ . To nasza miara - jednostka kwadratowa.
Figury przystające mają równe pola. Przesunięcie, obrót czy odbicie figury nie zmienia jej pola.
Pole jest addytywne. Jeśli figurę rozetniemy na kawałki, które na siebie nie zachodzą, to jej pole jest sumą pól kawałków.

Z dwóch ostatnich własności wynika metoda, której użyjemy w całej lekcji: figurę rozcinamy i przekładamy kawałki tak, by powstała figura, której pole już znamy.

Jednostki pola i ich zamiana

Jednostka pola to kwadrat o boku równym jednostce długości. Skoro $1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$ , to kwadrat $1\ \text{m} \times 1\ \text{m}$ mieści $100 \cdot 100$ kwadracików centymetrowych:

$1\ \text{m}^2 = 100\ \text{cm} \cdot 100\ \text{cm} = 10\,000\ \text{cm}^2.$

To najważniejsza reguła: przelicznik długości podnosimy do kwadratu. W rolnictwie i geodezji używa się też arów i hektarów - to po prostu pola kwadratów o boku $10\ \text{m}$ i $100\ \text{m}$ .

Jednostka	Kwadrat o boku	Ile to jest
1 cm²	1 cm	100 mm²
1 dm²	1 dm	100 cm²
1 m²	1 m	100 dm² = 10 000 cm²
1 a (ar)	10 m	100 m²
1 ha (hektar)	100 m	100 a = 10 000 m²
1 km²	1 km	100 ha = 1 000 000 m²

Przykład 1. Zamień jednostki.

$3{,}5\ \text{m}^2 = 3{,}5 \cdot 10\,000\ \text{cm}^2 = 35\,000\ \text{cm}^2$ ;
$2400\ \text{cm}^2 = 2400 : 10\,000\ \text{m}^2 = 0{,}24\ \text{m}^2$ ;
działka o powierzchni $1250\ \text{m}^2$ ma $1250 : 100 = 12{,}5$ ara, czyli $1250 : 10\,000 = 0{,}125$ hektara.

Odpowiedź: $35\,000\ \text{cm}^2$ , $0{,}24\ \text{m}^2$ , $12{,}5\ \text{a} = 0{,}125\ \text{ha}$ .

Najczęstszy błąd to mnożenie przez $100$ zamiast przez $10\,000$ - tak, jakby pole zamieniało się jak długość. Jeśli masz wątpliwości, wróć do kwadratu $1\ \text{m} \times 1\ \text{m}$ i policz kwadraciki.

Pole prostokąta i kwadratu

Prostokąt o bokach $a$ i $b$ (liczbach naturalnych) da się podzielić na $a$ kolumn po $b$ kwadratów jednostkowych, więc ma pole $a \cdot b$ . Wzór $P = ab$ obowiązuje także dla długości niewymiernych i ułamkowych - przyjmujemy go jako punkt wyjścia dla wszystkich innych figur. Kwadrat to prostokąt o równych bokach: $P = a^2$ .

Przykład 2. Pokój ma wymiary $4{,}5\ \text{m} \times 3{,}2\ \text{m}$ . Ile paczek paneli potrzeba, jeśli jedna paczka pokrywa $2{,}4\ \text{m}^2$ ?

Krok 1. Pole podłogi: $P = 4{,}5 \cdot 3{,}2 = 14{,}4\ \text{m}^2$ .

Krok 2. Liczba paczek: $14{,}4 : 2{,}4 = 6$ .

Odpowiedź: $6$ paczek (w praktyce kupuje się jeszcze zapas na docinki).

Pole równoległoboku - rozcinanie na prostokąt

Opuśćmy z wierzchołka $D$ wysokość $h$ na podstawę $a$ . Odcina ona z równoległoboku trójkąt prostokątny. Przesuńmy ten trójkąt na drugą stronę - pasuje dokładnie przy boku $BC$ , bo boki $AD$ i $BC$ są równe i równoległe.

Odcinamy trójkąt wzdłuż wysokości h i przesuwamy go na drugą stronę - z równoległoboku powstaje prostokąt o bokach a i h, a pole się nie zmienia.

Powstał prostokąt o bokach $a$ i $h$ , a pole się nie zmieniło (te same kawałki, tylko inaczej ułożone). Stąd:

$P_{\text{równoległoboku}} = a \cdot h.$

Ważne: $h$ to wysokość opuszczona na bok $a$ , a nie drugi bok równoległoboku. Równoległobok o bokach $9$ i $5$ nie ma pola $45$ - ma je tylko wtedy, gdy jest prostokątem.

Przykład 3. Równoległobok ma podstawę $9$ i wysokość opuszczoną na nią równą $4$ . Jego pole to $P = 9 \cdot 4 = 36$ .

Gdy zamiast wysokości znamy drugi bok $b$ i kąt $\alpha$ między bokami, wysokość wynosi $h = b \sin\alpha$ i $P = ab\sin\alpha$ - ten wzór poznasz dokładniej w lekcji o polu trójkąta z sinusem kąta.

Pole trapezu - dwa trapezy to równoległobok

Weźmy trapez o podstawach $a$ i $b$ oraz wysokości $h$ i obróćmy jego kopię o $180^\circ$ wokół środka ramienia. Kopia przylega do oryginału całym ramieniem, a razem tworzą równoległobok:

Trapez i jego kopia obrócona o 180° wokół środka ramienia tworzą równoległobok o podstawie a + b i tej samej wysokości h. Trapez to połowa tego równoległoboku.

Podstawa równoległoboku ma długość $a + b$ , a wysokość jest ta sama, więc jego pole to $(a + b) \cdot h$ . Trapez to połowa tej figury:

$P_{\text{trapezu}} = \frac{a + b}{2} \cdot h.$

Ten sam wynik daje przekątna: dzieli trapez na dwa trójkąty o podstawach $a$ i $b$ i wspólnej wysokości $h$ , więc $P = \tfrac{1}{2}ah + \tfrac{1}{2}bh$ . Czynnik $\tfrac{a+b}{2}$ to średnia podstaw - długość linii środkowej trapezu.

Przykład 4. Trapez ma podstawy $11$ i $5$ oraz wysokość $6$ :

$P = \frac{11 + 5}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48.$

Odpowiedź: $P = 48$ .

Pole rombu z przekątnych

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. Opiszmy na rombie prostokąt o bokach równych przekątnym $e$ i $f$ :

Przekątne rombu dzielą opisany na nim prostokąt e × f na osiem przystających trójkątów, z których cztery tworzą romb - stąd pole e · f / 2.

Przekątne dzielą prostokąt na osiem przystających trójkątów prostokątnych, z których dokładnie cztery tworzą romb. Romb zajmuje więc połowę prostokąta:

$P_{\text{rombu}} = \frac{e \cdot f}{2}.$

Przykład 5. Romb o przekątnych $10$ i $7$ ma pole $\frac{10 \cdot 7}{2} = 35$ .

Ten sam argument działa dla każdego czworokąta o prostopadłych przekątnych (np. deltoidu i kwadratu, dla którego $P = \frac{d^2}{2}$ ). Dla równoległoboku czy dowolnego trapezu wzór $\frac{ef}{2}$ daje zły wynik - ich przekątne zwykle nie są prostopadłe. Własności wszystkich czworokątów zebrane są w haśle czworokąty - wzory i własności.

Pola figur złożonych - dodawanie i odejmowanie

Figurę, na którą nie ma gotowego wzoru, dzielimy na prostokąty, trójkąty i trapezy albo uzupełniamy do większej figury i odejmujemy to, co dołożyliśmy. Wybieramy drogę z mniejszą liczbą rachunków.

Przykład 6. Działka ma kształt litery L: z prostokąta $10\ \text{m} \times 8\ \text{m}$ wycięto narożnik $4\ \text{m} \times 3\ \text{m}$ . Oblicz jej pole.

Sposób 1 (odejmowanie). $P = 10 \cdot 8 - 4 \cdot 3 = 80 - 12 = 68$ .

Sposób 2 (dodawanie). Kroimy L na pas $10 \times 5$ i prostokąt $6 \times 3$ nad nim: $P = 50 + 18 = 68$ .

Odpowiedź: $68\ \text{m}^2$ . Dwa sposoby, ten sam wynik - to dobra kontrola rachunków.

Przykład 7. Obraz $30\ \text{cm} \times 40\ \text{cm}$ oprawiono w ramę szerokości $5\ \text{cm}$ . Jakie pole ma rama?

Krok 1. Rama dokłada po $5\ \text{cm}$ z każdej strony, więc zewnętrzny prostokąt ma wymiary $40 \times 50$ i pole $2000\ \text{cm}^2$ .

Krok 2. Odejmujemy obraz: $2000 - 30 \cdot 40 = 2000 - 1200 = 800$ .

Odpowiedź: $800\ \text{cm}^2 = 0{,}08\ \text{m}^2$ . Pułapka: wymiary zewnętrzne rosną o $2 \cdot 5 = 10\ \text{cm}$ , a nie o $5\ \text{cm}$ .

Pole wielokąta na kratce

Wielokąt narysowany na kratce (wierzchołki w punktach kratowych) najłatwiej policzyć metodą obrysowania: wpisujemy figurę w prostokąt o bokach wzdłuż linii kratki i odejmujemy trójkąty prostokątne, które zostały na zewnątrz.

Przykład 8. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A = (1, 1)$ , $B = (7, 3)$ , $C = (3, 6)$ .

Trójkąt ABC o wierzchołkach (1, 1), (7, 3), (3, 6). Prostokąt 6 × 5 ma pole 30, trzy odcięte trójkąty prostokątne - 6, 6 i 5, więc pole trójkąta wynosi 30 − 17 = 13.

Krok 1. Najmniejszy prostokąt zawierający trójkąt: $x$ od $1$ do $7$ , $y$ od $1$ do $6$ , czyli $6 \times 5$ , pole $30$ .

Krok 2. Trzy trójkąty prostokątne poza $ABC$ (przyprostokątne odczytujemy z kratki):

$\tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6, \qquad \tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6, \qquad \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 = 5.$

Krok 3. $P = 30 - (6 + 6 + 5) = 13$ .

Odpowiedź: $P_{ABC} = 13$ .

Wynik można sprawdzić twierdzeniem Picka: pole wielokąta kratowego to $W + \frac{B}{2} - 1$ , gdzie $W$ to liczba punktów kratowych wewnątrz, a $B$ - na brzegu. Nasz trójkąt ma $12$ punktów wewnątrz i $4$ na brzegu: $12 + 2 - 1 = 13$ . Dowód i więcej przykładów: twierdzenie Picka.

Typowe błędy

Bok zamiast wysokości w równoległoboku i trapezie. Wzór $P = ah$ potrzebuje odległości między bokami równoległymi, a nie długości ramienia.
Zamiana jednostek pola jak długości - $1\ \text{m}^2$ to $10\,000\ \text{cm}^2$ , nie $100$ .
Wzór $\frac{ef}{2}$ dla każdego czworokąta - działa tylko przy prostopadłych przekątnych.
Różne jednostki w jednym wzorze - boki $2\ \text{m}$ i $50\ \text{cm}$ najpierw sprowadź do wspólnej jednostki: $200 \cdot 50 = 10\,000\ \text{cm}^2 = 1\ \text{m}^2$ .

Najczęstsze pytania

Ile centymetrów kwadratowych ma metr kwadratowy? $10\,000\ \text{cm}^2$ , bo $1\ \text{m}^2$ to kwadrat $100\ \text{cm} \times 100\ \text{cm}$ . Z tego samego powodu $1\ \text{dm}^2 = 100\ \text{cm}^2$ , a $1\ \text{cm}^2 = 100\ \text{mm}^2$ .

Ile metrów kwadratowych ma hektar, a ile ar? Hektar to $10\,000\ \text{m}^2$ (kwadrat $100\ \text{m} \times 100\ \text{m}$ ), a ar - $100\ \text{m}^2$ (kwadrat $10\ \text{m} \times 10\ \text{m}$ ). W jednym hektarze jest $100$ arów, a w kilometrze kwadratowym - $100$ hektarów.

Co to jest pole figury? Liczba kwadratów jednostkowych potrzebnych do pokrycia figury. Pole jest addytywne (pole całości to suma pól części), a figury przystające mają równe pola.

Jak obliczyć pole trapezu? Średnia podstaw razy wysokość: $P = \frac{a+b}{2} \cdot h$ . Dla podstaw $11$ i $5$ oraz wysokości $6$ wychodzi $8 \cdot 6 = 48$ .

Jak obliczyć pole rombu, gdy znam przekątne? Pomnóż przekątne i podziel przez dwa: $P = \frac{e \cdot f}{2}$ . Romb o przekątnych $10$ i $7$ ma pole $35$ .

Dlaczego pole równoległoboku to podstawa razy wysokość? Bo trójkąt odcięty wysokością można przenieść na drugą stronę i dostać prostokąt o bokach $a$ i $h$ - o tym samym polu.

Jak policzyć pole figury narysowanej na kratce? Obrysuj ją prostokątem wzdłuż linii kratki i odejmij trójkąty prostokątne, które zostały na zewnątrz. Do sprawdzenia przydaje się wzór Picka $P = W + \frac{B}{2} - 1$ .

Przećwicz

Prostokąt i kwadrat → - pole z obwodu i stosunku boków, przekątna.
Równoległobok i romb → - pole z wysokości, z sinusa kąta i z przekątnych.
Trapez → - pole i wysokość trapezu równoramiennego i prostokątnego.
Wszystkie typy: czworokąty - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

Pole to liczba kwadratów jednostkowych pokrywających figurę; jest addytywne, a figury przystające mają równe pola.
Jednostki pola przeliczamy kwadratem przelicznika długości: $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$ , $1\ \text{a} = 100\ \text{m}^2$ , $1\ \text{ha} = 10\,000\ \text{m}^2$ .
Prostokąt $ab$ , kwadrat $a^2$ , równoległobok $ah$ (rozcięcie na prostokąt), trapez $\frac{a+b}{2}h$ (dwa trapezy = równoległobok), romb $\frac{ef}{2}$ (połowa prostokąta).
Figury złożone: dziel i dodawaj albo uzupełnij i odejmij; na kratce - obrysuj prostokątem.
Dalej: pole trójkąta - wzory z wysokością i sinusem.