Czworokąty: trapez, równoległobok, romb, deltoid - wzory i własności

Q: Jak obliczyć pole rombu?

Z przekątnych: P = e · f/2, albo jak w równoległoboku: bok razy wysokość, lub a² sinα.

Q: Jaki jest wzór na pole trapezu?

P = a + b/2 · h - średnia arytmetyczna podstaw razy wysokość.

Q: Ile wynosi suma kątów w czworokącie?

360° - przekątna dzieli czworokąt wypukły na dwa trójkąty, a każdy ma sumę kątów 180°.

Pola czworokątów

$\text{kwadrat: } P = a^2 = \frac{d^2}{2} \qquad \text{prostokąt: } P = a \cdot b$

$\text{równoległobok: } P = a \cdot h = a \cdot b \cdot \sin\alpha \qquad \text{trapez: } P = \frac{a + b}{2} \cdot h$

$\text{romb i deltoid: } P = \frac{e \cdot f}{2} \quad (e, f \text{ - przekątne})$

Suma kątów każdego czworokąta wypukłego wynosi $360^\circ$ .

Podział czworokątów

Czworokąt to wielokąt o czterech bokach. Czworokąty wyróżnia się według równoległości boków:

trapez - ma co najmniej jedną parę boków równoległych (podstawy);
równoległobok - ma dwie pary boków równoległych; jest szczególnym trapezem;
romb - równoległobok o wszystkich bokach równych;
prostokąt - równoległobok o wszystkich kątach prostych;
kwadrat - jednocześnie romb i prostokąt;
deltoid - ma dwie pary sąsiednich boków równych; zwykle nie jest trapezem.

Każda figura niżej na liście „dziedziczy” własności tych wyżej: kwadrat ma wszystkie własności rombu, prostokąta i równoległoboku naraz.

Równoległobok i trapez z wysokością h oraz romb i deltoid z przekątnymi, które w obu figurach są prostopadłe.

Kwadrat i prostokąt

Prostokąt o bokach $a$ i $b$ ma pole $P = ab$ , obwód $L = 2a + 2b$ , a przekątne równej długości $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ , które dzielą się na połowy. Na przykład prostokąt $6 \times 8$ ma przekątną $10$ .

Kwadrat o boku $a$ ma pole $a^2$ , obwód $4a$ i przekątną $d = a\sqrt{2}$ . Jego przekątne są równe, prostopadłe i dzielą się na połowy, więc pole można też liczyć jak w rombie: $P = \frac{d^2}{2}$ . Dla $a = 4$ : $d = 4\sqrt{2}$ i $\frac{(4\sqrt{2})^2}{2} = 16 = 4^2$ .

Równoległobok

W równoległoboku przeciwległe boki są równoległe i równe, przeciwległe kąty są równe, a kąty sąsiednie sumują się do $180^\circ$ . Przekątne dzielą się na połowy (ale zwykle nie są równe ani prostopadłe).

Pole to podstawa razy wysokość opuszczona na nią: $P = a \cdot h$ . Gdy znamy dwa boki i kąt między nimi, wysokość to $h = b \sin\alpha$ , więc $P = ab\sin\alpha$ .

Przykład. Równoległobok o boku $8$ i wysokości $5$ ma pole $40$ . Równoległobok o bokach $8$ i $6$ z kątem $30^\circ$ ma pole $8 \cdot 6 \cdot \sin 30^\circ = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ .

Romb

Romb to równoległobok o czterech równych bokach. Jego przekątne są prostopadłe, dzielą się na połowy i są dwusiecznymi kątów. Pole można liczyć jak w każdym równoległoboku ( $a \cdot h$ ) albo z przekątnych: $P = \frac{e \cdot f}{2}$ .

Przykład. Romb ma przekątne $6$ i $8$ . Pole: $\frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ . Połówki przekątnych ( $3$ i $4$ ) tworzą z bokiem trójkąt prostokątny, więc bok ma długość $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , a obwód $20$ .

Trapez

Trapez ma dwa boki równoległe - podstawy $a$ i $b$ - oraz dwa ramiona. Odległość między podstawami to wysokość $h$ . Kąty przy tym samym ramieniu sumują się do $180^\circ$ .

$P = \frac{a + b}{2} \cdot h.$

Odcinek łączący środki ramion - linia środkowa trapezu - ma długość $\frac{a + b}{2}$ , więc pole to po prostu linia środkowa razy wysokość.

Trapez równoramienny ma równe ramiona, równe kąty przy każdej podstawie i równe przekątne. Da się go wpisać w okrąg.
Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe do podstaw - to ramię jest wysokością.

Przykład. Trapez równoramienny ma podstawy $10$ i $4$ oraz wysokość $6$ . Pole: $\frac{10 + 4}{2} \cdot 6 = 42$ . Wysokości opuszczone z końców krótszej podstawy odcinają po bokach odcinki długości $\frac{10 - 4}{2} = 3$ , więc ramię ma długość $\sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ .

Deltoid

Deltoid ma dwie pary sąsiednich boków równych. Jego przekątne są prostopadłe, a jedna z nich (łącząca wierzchołki między równymi bokami) jest osią symetrii i dzieli drugą na połowy. Pole, jak w rombie: $P = \frac{e \cdot f}{2}$ .

Przykład. Deltoid o przekątnych $10$ i $6$ ma pole $\frac{10 \cdot 6}{2} = 30$ .

Wzór $\frac{e \cdot f}{2}$ działa zresztą dla każdego czworokąta wypukłego o prostopadłych przekątnych - nie tylko dla rombu i deltoidu.

Czworokąt wpisany w okrąg i opisany na okręgu

Czworokąt wpisany w okrąg (wszystkie wierzchołki leżą na okręgu) ma sumy przeciwległych kątów równe $180^\circ$ : $\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ$ - i odwrotnie, każdy czworokąt o tej własności da się wpisać w okrąg. Z równoległoboków wpisać można tylko prostokąty, a z trapezów - tylko równoramienne. Szczegóły: kąty w czworokącie wpisanym.
Czworokąt opisany na okręgu (wszystkie boki są styczne do okręgu) ma równe sumy przeciwległych boków: $a + c = b + d$ . Wynika to z równości odcinków stycznych poprowadzonych z jednego punktu - zob. zadanie o czworokącie opisanym. Każdy romb i każdy deltoid da się opisać na okręgu.

Najczęstsze pytania

Czy kwadrat jest prostokątem? Tak. Prostokąt to czworokąt o czterech kątach prostych, a kwadrat ten warunek spełnia. Kwadrat jest też rombem i równoległobokiem - to najbardziej „szczególny” czworokąt.

Czy romb jest równoległobokiem? Tak - romb to równoległobok o równych bokach. Ma więc wszystkie własności równoległoboku, a do tego prostopadłe przekątne.

Jak obliczyć pole rombu? Z przekątnych: $P = \frac{e \cdot f}{2}$ , albo jak w równoległoboku: bok razy wysokość, lub $a^2 \sin\alpha$ .

Jaki jest wzór na pole trapezu? $P = \frac{a + b}{2} \cdot h$ - średnia arytmetyczna podstaw razy wysokość.

Czym różni się deltoid od rombu? Romb ma wszystkie cztery boki równe, deltoid - dwie pary równych boków sąsiednich. Każdy romb jest deltoidem, ale nie odwrotnie. W obu przekątne są prostopadłe i pole to $\frac{e \cdot f}{2}$ .

Ile wynosi suma kątów w czworokącie? $360^\circ$ - przekątna dzieli czworokąt wypukły na dwa trójkąty, a każdy ma sumę kątów $180^\circ$ .

Przećwicz

Prostokąt i kwadrat → - przekątna, pole z obwodu i stosunku boków, równanie kwadratowe.
Równoległobok i romb → - pole z sinusa kąta, obie wysokości, przekątne rombu i równoległoboku.
Trapez → - pole, wysokość trapezu równoramiennego i prostokątnego, linia środkowa.
Kąty w czworokątach → - równoległobok, trapez, deltoid, romb i czworokąt wpisany w okrąg.
Zadania mieszane → - deltoid, czworokąt opisany na okręgu, podział trapezu przekątnymi.

Wszystkie typy w jednym miejscu: czworokąty - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

Równoległobok: $P = ah = ab\sin\alpha$ ; przekątne dzielą się na połowy.
Romb i deltoid: przekątne prostopadłe, $P = \frac{ef}{2}$ .
Trapez: $P = \frac{a + b}{2} h$ ; linia środkowa ma długość $\frac{a + b}{2}$ .
Prostokąt: $P = ab$ , $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; kwadrat: $P = a^2 = \frac{d^2}{2}$ , $d = a\sqrt{2}$ .
Czworokąt wpisany: $\alpha + \gamma = 180^\circ$ ; opisany: $a + c = b + d$ .
Więcej figur płaskich: trójkąty; bryły: graniastosłupy, bryły obrotowe.