Bryły obrotowe: walec, stożek i kula - wzory na pole i objętość

Co to jest bryła obrotowa

Bryła obrotowa powstaje przez obrót figury płaskiej dookoła prostej, zwanej osią obrotu. Trzy najważniejsze bryły obrotowe:

• walec - obrót prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z jego boków,
• stożek - obrót trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej przyprostokątną,
• kula - obrót półkola dookoła prostej zawierającej jego średnicę.

Przekrój bryły obrotowej płaszczyzną zawierającą oś obrotu to przekrój osiowy: dla walca prostokąt o bokach $2r$ i $H$, dla stożka trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ i ramionach $l$, dla kuli koło o promieniu $R$.

Walec

Walec ma dwie podstawy - przystające koła o promieniu $r$ - oraz powierzchnię boczną. Odcinek łączący środki podstaw to oś walca, a jego długość to wysokość $H$. Każdy odcinek łączący podstawy i równoległy do osi to tworząca - w walcu ma ona długość $H$.

Powierzchnia boczna po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest prostokątem o bokach $2\pi r$ (obwód podstawy) i $H$, stąd $P_b = 2\pi r H$. Pole całkowite to dwie podstawy plus powierzchnia boczna, a objętość - pole podstawy razy wysokość, jak w każdym graniastosłupie.

Przykład. Walec ma promień $3$ i wysokość $5$.

$P_c = 2\pi \cdot 3^2 + 2\pi \cdot 3 \cdot 5 = 18\pi + 30\pi = 48\pi, \qquad V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi.$

Jego przekrój osiowy to prostokąt $6 \times 5$ o polu $30$ i przekątnej $\sqrt{61}$.

Stożek

Stożek ma jedną podstawę - koło o promieniu $r$ - i wierzchołek. Odcinek od wierzchołka do środka podstawy to wysokość $H$, a odcinek od wierzchołka do okręgu podstawy - tworząca $l$. Wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa

$l^2 = r^2 + H^2.$

Powierzchnia boczna po rozcięciu wzdłuż tworzącej jest wycinkiem koła o promieniu $l$. Długość jego łuku to obwód podstawy $2\pi r$, więc kąt środkowy wycinka wynosi $\alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ$, a pole $P_b = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi l^2 = \pi r l$.

Objętość stożka to jedna trzecia objętości walca o tej samej podstawie i wysokości: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$ - tak samo jak ostrosłup ma jedną trzecią objętości graniastosłupa.

Przykład. Stożek ma promień $3$ i wysokość $4$.

Krok 1. Tworząca. $l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Krok 2. Pola. $P_b = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$, $P_c = 9\pi + 15\pi = 24\pi$.

Krok 3. Objętość. $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$.

Rozwinięcie powierzchni bocznej to wycinek koła o promieniu $5$ i kącie $\frac{3}{5} \cdot 360^\circ = 216^\circ$ - jego pole $\frac{216}{360} \cdot 25\pi = 15\pi$ zgadza się z $P_b$.

Kula

Kula to zbiór punktów przestrzeni, których odległość od środka jest nie większa niż $R$; jej brzeg - punkty odległe od środka dokładnie o $R$ - to sfera. Każdy przekrój kuli płaszczyzną jest kołem; największe koło, przechodzące przez środek, nazywamy kołem wielkim.

Przykład. Kula o promieniu $3$ ma pole powierzchni $4\pi \cdot 9 = 36\pi$ i objętość $\frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$. Liczby wychodzą równe tylko dlatego, że $R = 3$ - pole i objętość mają różne jednostki (cm² i cm³), więc takiej „równości” nie da się porównywać.

Walec, kula i stożek Archimedesa

Weźmy walec o promieniu $R$ i wysokości $2R$ oraz wpisaną w niego kulę i stożek o tej samej podstawie i wysokości. Ich objętości są w stosunku

$V_{\text{stożka}} : V_{\text{kuli}} : V_{\text{walca}} = \frac{2}{3}\pi R^3 : \frac{4}{3}\pi R^3 : 2\pi R^3 = 1 : 2 : 3.$

Co więcej, pole kuli $4\pi R^2$ jest równe polu powierzchni bocznej walca opisanego, a do pola całkowitego walca ($6\pi R^2$) ma się jak $2 : 3$ - ten sam stosunek co objętości. Odkrycie to Archimedes cenił najbardziej ze wszystkich swoich osiągnięć i kazał umieścić rysunek kuli wpisanej w walec na swoim nagrobku.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na objętość stożka?$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$, gdzie $r$ to promień podstawy, a $H$ wysokość. To jedna trzecia objętości walca o tej samej podstawie i wysokości.

Co to jest tworząca stożka i jak ją obliczyć? Odcinek łączący wierzchołek stożka z punktem okręgu podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa $l = \sqrt{r^2 + H^2}$. Potrzebna jest do pola powierzchni bocznej $P_b = \pi r l$.

Jak obliczyć pole powierzchni walca?$P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H$: dwa koła podstaw i prostokąt o bokach $2\pi r$ i $H$, który powstaje po rozwinięciu powierzchni bocznej.

Czym różni się kula od sfery? Sfera to sama powierzchnia - punkty odległe od środka dokładnie o $R$. Kula to bryła: sfera razem z wnętrzem. Dlatego mówimy o polu sfery (powierzchni kuli) i objętości kuli.

Jaki jest wzór na objętość kuli?$V = \frac{4}{3}\pi R^3$, a pole powierzchni kuli to $P = 4\pi R^2$ - cztery pola koła wielkiego.

Dlaczego stożek ma trzy razy mniejszą objętość niż walec? Tak jak ostrosłup względem graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Ścisły dowód wymaga sumowania coraz cieńszych warstw (całki): przekrój stożka na wysokości $h$ ma promień $r\left(1 - \frac{h}{H}\right)$, a suma pól takich przekrojów daje $\frac{1}{3}\pi r^2 H$.

Przećwicz

• Walec → - pole i objętość, przekrój osiowy, rozwinięcie powierzchni bocznej, zadania odwrotne.
• Stożek → - tworząca, kąt rozwarcia, wycinek koła zwinięty w stożek.
• Kula i sfera → - objętość i pole, przekrój kuli płaszczyzną, zmiana promienia o procent.
• Bryła powstała z obrotu → - obrót prostokąta, trójkąta (także wokół przeciwprostokątnej) i trapezu.
• Zadania mieszane → - przetapianie, kula wpisana w walec i stożek, pojemność w litrach.

Wszystkie zadania z rozwiązaniami: Bryły obrotowe - zadania.

Podsumowanie

• Walec: $V = \pi r^2 H$, $P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H$; powierzchnia boczna rozwija się w prostokąt.
• Stożek: $l^2 = r^2 + H^2$, $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$, $P_b = \pi r l$; powierzchnia boczna rozwija się w wycinek koła o kącie $\frac{r}{l} \cdot 360^\circ$.
• Kula: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, $P = 4\pi R^2$.
• Stożek, kula i walec o promieniu $R$ i wysokości $2R$ mają objętości w stosunku $1 : 2 : 3$.
• Wielościany: graniastosłupy i ostrosłupy.