Procenty

Klasa 1 liceum i technikum

Czym jest procent

Procent to setna część całości. Zapis $p\%$ oznacza $\dfrac{p}{100}$, na przykład:

$1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01, \qquad 25\% = \frac{25}{100} = 0{,}25, \qquad 100\% = 1.$

Obliczanie procentu liczby

Aby obliczyć $p\%$ z liczby $a$, mnożymy tę liczbę przez $\dfrac{p}{100}$:

$p\% \text{ z } a = \frac{p}{100} \cdot a.$

Przykład. Ile to jest $20\%$ z $150$?

$20\% \text{ z } 150 = \frac{20}{100} \cdot 150 = 0{,}2 \cdot 150 = 30.$

Jakim procentem jednej liczby jest druga

Aby ustalić, jakim procentem liczby $b$ jest liczba $a$, dzielimy $a$ przez $b$ i wynik zamieniamy na procent:

$\frac{a}{b} \cdot 100\%.$

Przykład. Jakim procentem liczby $150$ jest $30$?

$\frac{30}{150} \cdot 100\% = 0{,}2 \cdot 100\% = 20\%.$

Wyznaczanie liczby na podstawie jej procentu

Jeżeli wiemy, że $p\%$ pewnej liczby wynosi $a$, to liczbę tę obliczamy, dzieląc $a$ przez $\dfrac{p}{100}$.

Przykład. $20\%$ pewnej liczby wynosi $30$. Jaka to liczba?

$30 : \frac{20}{100} = 30 : 0{,}2 = 150.$

Podwyżki i obniżki

Gdy wielkość rośnie o $p\%$, mnożymy ją przez $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$; gdy maleje o $p\%$ - przez $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$.

Przykład. Cena $200$ zł rośnie o $15\%$:

$200 \cdot \left(1 + \frac{15}{100}\right) = 200 \cdot 1{,}15 = 230 \text{ zł}.$

Gdyby zamiast tego cena spadła o $15\%$, otrzymalibyśmy $200 \cdot 0{,}85 = 170 \text{ zł}$.

Najczęstsze pytania

Czy podwyżka o $20\%$, a potem obniżka o $20\%$ daje cenę wyjściową? Nie. Każdy procent liczymy od innej podstawy: $200 \cdot 1{,}2 = 240$, a potem $240 \cdot 0{,}8 = 192$ zł. Wychodzi mniej niż na początku, bo obniżka dotyczy już wyższej ceny.

Od której ceny liczyć, o ile procent coś zdrożało? Zawsze od ceny początkowej - to ona jest całością, czyli $100\%$. Wzrost z $200$ zł na $250$ zł to $\frac{50}{200} = 25\%$, a nie $\frac{50}{250} = 20\%$.

Czy dwie obniżki o $10\%$ i $20\%$ to razem obniżka o $30\%$? Nie, to obniżka o $28\%$. Mnożniki się mnożą: $0{,}9 \cdot 0{,}8 = 0{,}72$, czyli zostaje $72\%$ ceny. Kolejność rabatów nie ma znaczenia - wynik jest ten sam.

Czy procent może być większy niż $100$? Tak. $100\%$ to cała wielkość, więc $250\%$ oznacza dwa i pół raza więcej. Cena, która wzrosła o $150\%$, jest $2{,}5$ razy wyższa niż była.

Jak szybko zamienić procent na liczbę do obliczeń? Podziel przez $100$, czyli przesuń przecinek o dwa miejsca w lewo: $7\% = 0{,}07$, $45\% = 0{,}45$, $120\% = 1{,}2$.

Przećwicz

Procenty najlepiej utrwalić na zadaniach. Zobaczmy typowy przykład krok po kroku.

Zadanie. Cena towaru wzrosła z $200$ zł na $250$ zł. O ile procent wzrosła cena?

Krok 1. Obliczamy wartość wzrostu: $250 - 200 = 50$ zł.

Krok 2. Dzielimy wzrost przez cenę początkową ($200$ zł) i zamieniamy na procent:

$\frac{50}{200} = 0{,}25 = 25\%.$

Odpowiedź. Cena wzrosła o $25\%$.

Chcesz więcej? Zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku, pogrupowane według rodzaju:

• Obliczanie procentu z liczby → - ile wynosi $p\%$ z liczby (np. $20\%$ z $150$).
• Jakim procentem jednej liczby jest druga → - dzielenie części przez całość.
• Obliczanie liczby na podstawie jej procentu → - odtwarzanie całości.
• Podwyżki i obniżki → - mnożnik $1 \pm \tfrac{p}{100}$.
• Zastosowania: VAT, rabaty, lokaty → - procenty w praktyce (też rabaty łączone).

Albo zobacz wszystkie zadania z procentów →.

Do sprawdzania własnych obliczeń przyda się kalkulator procentów → - sześć kalkulatorów, po jednym na każdy z powyższych typów, każdy z rozpisanym rozwiązaniem krok po kroku.