Jak obliczyć prawdopodobieństwo? Kostki, monety, karty i kule - przykłady

Klasa 4 liceum i technikum

Prawdopodobieństwo zdarzenia oblicza się, dzieląc liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych wyników: $P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|}$. Na przykład przy rzucie dwiema kostkami jest $36$ wyników, a sumie oczek $7$ sprzyja $6$ z nich, więc $P = \tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6}$. Gdy zdarzenie zawiera słowa „co najmniej jeden”, zwykle szybciej jest policzyć zdarzenie przeciwne „żaden” i odjąć wynik od $1$.

W tej lekcji przechodzimy przez wszystkie klasyczne konteksty zadań: kostki, monety, karty, kule, liczby i ustawienia. Wzory kombinatoryczne przypomina pierwsza lekcja działu, a definicję i własności prawdopodobieństwa - lekcja czwarta.

Rzut dwiema kostkami

$\Omega$ to $36$ par $(a, b)$. Tabela sum oczek (każda komórka to jeden wynik):

Liczba wyników dla każdej sumy - przydaje się w wielu zadaniach:

Przykład 1. Prawdopodobieństwo, że suma oczek wynosi co najmniej $10$: sumy $10, 11, 12$ dają $3 + 2 + 1 = 6$ wyników, więc $P = \tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6}$.

Przykład 2. Prawdopodobieństwo, że na pierwszej kostce wypadnie więcej oczek niż na drugiej. Pary z $a = b$ jest $6$, pozostałe $30$ dzielą się po równo na $a > b$ i $a < b$ (symetria), więc $|A| = 15$ i $P = \tfrac{15}{36} = \tfrac{5}{12}$.

Przykład 3 (co najmniej jedna szóstka). Zdarzenie przeciwne $A'$ - „na żadnej kostce nie ma szóstki” - to pary z liczb $1, \ldots, 5$: $|A'| = 5 \cdot 5 = 25$. Zatem

$P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}.$

Sprawdzenie bez dopełnienia: szóstka na pierwszej ($6$ par) plus szóstka na drugiej ($6$ par) minus para $(6, 6)$ liczona dwa razy - $6 + 6 - 1 = 11$. Pułapka: $\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{12}{36}$ - to wynik z podwójnie policzoną parą $(6, 6)$.

Monety

Przykład 4. Rzucamy trzy razy monetą. Prawdopodobieństwo, że wypadną co najmniej dwa orły: $|\Omega| = 2^3 = 8$, sprzyjają OOO, OOR, ORO, ROO, więc $P = \tfrac{4}{8} = \tfrac{1}{2}$.

Ogólnie: przy $n$ rzutach monetą $|\Omega| = 2^n$, a wyników z dokładnie $k$ orłami jest $\binom{n}{k}$ (wybieramy, które rzuty dały orła). To zapowiedź schematu Bernoulliego.

Karty

Talia ma $52$ karty: $4$ kolory (pik, kier, karo, trefl) po $13$ wartości (2-10, walet, dama, król, as).

Przykład 5. Z talii losujemy jednocześnie dwie karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie są asami?

$|\Omega| = \binom{52}{2} = \frac{52 \cdot 51}{2} = 1326, \qquad |A| = \binom{4}{2} = 6, \qquad P(A) = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}.$

Kule w urnie

Przykład 6. W urnie są $4$ kule białe i $6$ czarnych. Losujemy jednocześnie $3$ kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie są białe.

Krok 1. $|\Omega| = \binom{10}{3} = \tfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$.

Krok 2. Dwie białe z czterech i jedna czarna z sześciu - reguła mnożenia: $|A| = \binom{4}{2} \cdot \binom{6}{1} = 6 \cdot 6 = 36$.

Krok 3. $P(A) = \tfrac{36}{120} = \tfrac{3}{10}$.

Odpowiedź: $\tfrac{3}{10}$. Gdyby kule losować po kolei bez zwracania, wynik byłby ten sam (patrz powtórzenie).

Losowanie liczby

Przykład 7. Ze zbioru $\{1, 2, \ldots, 20\}$ losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że jest podzielna przez $3$ lub przez $5$:

podzielnych przez $3$ jest $6$, przez $5$ - $4$, przez $15$ (obie naraz) - $1$. Z wzoru na liczbę elementów sumy: $|A| = 6 + 4 - 1 = 9$, więc $P = \tfrac{9}{20}$.

Ustawienia osób

Przykład 8. Pięć osób, wśród nich Ania i Bartek, ustawia się losowo w kolejce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Ania i Bartek staną obok siebie?

Krok 1. $|\Omega| = 5! = 120$.

Krok 2. Sklejamy Anię i Bartka w jeden „blok”. Ustawiamy $4$ obiekty ($4! = 24$ sposoby), a wewnątrz bloku osoby mogą stać w dwóch kolejnościach: $|A| = 2 \cdot 24 = 48$.

Krok 3. $P(A) = \tfrac{48}{120} = \tfrac{2}{5}$.

Lotto

Przy losowaniu $6$ liczb z $49$ jest $\binom{49}{6} = 13\,983\,816$ wyników, więc szansa na „szóstkę” jednym zakładem wynosi $\tfrac{1}{13\,983\,816} \approx 0{,}000\,000\,07$. Nieintuicyjne wyniki z tej samej rodziny opisuje paradoks urodzin: już w grupie $23$ osób szansa, że dwie mają urodziny tego samego dnia, przekracza $50\%$.

Typowe pułapki

• $\Omega$ z sum oczek zamiast par - daje $\tfrac{1}{11}$ zamiast $\tfrac{1}{6}$ dla sumy $7$.
• Dodawanie prawdopodobieństw zdarzeń, które się nie wykluczają - przykład 3.
• Kombinacje w $|\Omega|$, wariacje w $|A|$ - wynik dwa razy za duży.
• Zapominanie o kolejności wewnątrz bloku w zadaniach „obok siebie” - wynik dwa razy za mały.
• Nieskrócony ułamek w odpowiedzi - na maturze wymagany jest wynik w postaci nieskracalnej (albo równoważnej, ale poprawnej).

Najczęstsze pytania

Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy 7 dwiema kostkami?$\tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6}$ - sumie $7$ sprzyja $6$ par z $36$. To najczęstsza suma.

Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej szóstki w dwóch rzutach kostką?$1 - \left(\tfrac{5}{6}\right)^2 = \tfrac{11}{36} \approx 0{,}31$.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa z talii 52 kart?$\tfrac{4}{52} = \tfrac{1}{13}$. Prawdopodobieństwo wylosowania kiera to $\tfrac{13}{52} = \tfrac{1}{4}$.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kul? Policz $|\Omega|$ kombinacjami (wybór kul z całej urny), a $|A|$ jako iloczyn kombinacji dla każdego koloru, np. $\binom{4}{2} \cdot \binom{6}{1}$ dla dwóch białych i jednej czarnej. Iloraz to szukane prawdopodobieństwo.

Kiedy liczyć przez zdarzenie przeciwne? Gdy w treści jest „co najmniej jeden”, „przynajmniej”, „nie wszystkie”. Zdarzenie przeciwne („żaden”, „wszystkie”) ma zwykle prostą liczbę wyników.

Przećwicz

• Prawdopodobieństwo klasyczne - zadania → - dwie kostki, monety, karty, kule w urnie, liczby z cyfr, kolejka, PIN i Lotto (zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku).
• Cały zestaw: rachunek prawdopodobieństwa - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

• Schemat: $\Omega$ i $|\Omega|$, potem $|A|$ tym samym modelem, na końcu iloraz i skrócenie.
• Dwie kostki: $36$ par; sumy $2, \ldots, 12$ mają $1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1$ wyników.
• „Co najmniej jeden” - licz przez dopełnienie: $P(A) = 1 - P(A')$.
• Kule i karty losowane jednocześnie - kombinacje; kilka kolorów naraz - iloczyn kombinacji.
• Ustawienia „obok siebie” - sklej osoby w blok i pomnóż przez liczbę ustawień wewnątrz bloku.