Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Klasa 1 liceum i technikum

Po co nam dwa równania?

W poprzedniej lekcji widzieliśmy, że jedno równanie z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań - samo w sobie nie wyznacza pary $(x, y)$. Sytuacja zmienia się, gdy mamy dwie informacje o tych samych niewiadomych.

Wróćmy do biletów: normalny kosztuje $x$ zł, ulgowy $y$ zł. Wiemy, że:

• dwa normalne i trzy ulgowe kosztują 38 zł: $\ 2x + 3y = 38$,
• jeden normalny i jeden ulgowy kosztują 15 zł: $\ x + y = 15$.

Obie informacje dotyczą tych samych cen, więc zapisujemy je razem, łącząc klamrą:

$\begin{cases} 2x + 3y = 38 \\ x + y = 15 \end{cases}$

Tak zapisaną parę równań nazywamy układem równań. Klamra oznacza: szukamy pary liczb, która spełnia oba równania naraz.

Definicja

Układem dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy parę równań $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ rozpatrywanych jednocześnie. Rozwiązaniem układu jest każda para liczb $(x, y)$, która spełnia każde z równań układu.

Sprawdzanie, czy para jest rozwiązaniem układu

Para musi przejść dwa testy - po jednym dla każdego równania. Jeśli choć jeden test wypadnie negatywnie, para nie jest rozwiązaniem układu.

Przykład 1. Czy para $(7, 8)$ jest rozwiązaniem układu $\begin{cases} 2x + 3y = 38 \\ x + y = 15 \end{cases}$?

Krok 1. Sprawdzamy pierwsze równanie: $2 \cdot 7 + 3 \cdot 8 = 14 + 24 = 38$. $\checkmark$

Krok 2. Sprawdzamy drugie równanie: $7 + 8 = 15$. $\checkmark$

Para $(7, 8)$ spełnia oba równania - jest rozwiązaniem układu. Bilet normalny kosztuje 7 zł, ulgowy 8 zł… chwila, to podejrzane - ulgowy droższy od normalnego? Wartości liczbowe się zgadzają, ale ten przykład pokazuje, że w zadaniach tekstowych zawsze warto ocenić sens otrzymanego wyniku. Tu po prostu oznaczyliśmy: $x$ - cena normalnego, $y$ - ulgowego, a dane dobrano ćwiczebnie.

Przykład 2. Czy para $(4, 10)$ jest rozwiązaniem tego samego układu?

Krok 1. Pierwsze równanie: $2 \cdot 4 + 3 \cdot 10 = 8 + 30 = 38$. $\checkmark$

Krok 2. Drugie równanie: $4 + 10 = 14 \ne 15$. $\times$

Para $(4, 10)$ spełnia tylko pierwsze równanie - nie jest rozwiązaniem układu.

Każde z równań układu ma osobno nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązanie układu to para, która należy do obu tych zbiorów naraz - ich część wspólna.

Rodzaje układów równań

Ile rozwiązań może mieć układ? Okazuje się, że są dokładnie trzy możliwości.

Układ oznaczony - dokładnie jedno rozwiązanie

$\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Jedyną parą spełniającą oba równania jest $(3, 1)$: $\ 3 + 1 = 4$ oraz $3 - 1 = 2$. Taki układ nazywamy oznaczonym. To najczęstszy przypadek w zadaniach.

Układ nieoznaczony - nieskończenie wiele rozwiązań

$\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}$

Przyjrzyj się: drugie równanie to pierwsze pomnożone stronami przez 2. Oba równania niosą tę samą informację, więc każda para spełniająca pierwsze równanie spełnia też drugie - rozwiązań jest nieskończenie wiele (wszystkie pary postaci $(x,\ 4 - x)$). Taki układ nazywamy nieoznaczonym.

Układ sprzeczny - brak rozwiązań

$\begin{cases} x + y = 4 \\ x + y = 7 \end{cases}$

Suma dwóch liczb nie może być jednocześnie równa 4 i 7. Żadna para nie spełnia obu równań - układ nazywamy sprzecznym. Gdyby próbować go rozwiązywać, otrzymalibyśmy zdanie fałszywe, np. $4 = 7$ albo $0 = 3$.

Trzy rodzaje układów:

• oznaczony - dokładnie jedno rozwiązanie (jedna para liczb),
• nieoznaczony - nieskończenie wiele rozwiązań,
• sprzeczny - brak rozwiązań.

W następnej lekcji zobaczysz, że te trzy przypadki mają piękną interpretację geometryczną: dwie proste mogą się przecinać, pokrywać albo być równoległe i rozłączne.

Jak będziemy rozwiązywać układy?

Sprawdzanie par „na chybił trafił” nie jest metodą - potrzebujemy sposobów, które zawsze prowadzą do rozwiązania. Poznamy trzy:

• metodę graficzną - rysujemy obie proste i odczytujemy punkt przecięcia (poglądowa, ale niedokładna);
• metodę podstawiania - wyznaczamy niewiadomą z jednego równania i podstawiamy do drugiego;
• metodę przeciwnych współczynników - dodajemy równania stronami tak, by jedna niewiadoma się zredukowała.

Dwie ostatnie to metody algebraiczne - dokładne i uniwersalne. Którą wybrać? Obie zawsze działają; w konkretnym zadaniu jedna bywa po prostu wygodniejsza (o tym w odpowiednich lekcjach).

Najczęstsze pytania

Kiedy para liczb jest rozwiązaniem układu równań? Wtedy, gdy spełnia oba równania jednocześnie. Para spełniająca tylko jedno z równań nie jest rozwiązaniem układu.

Ile rozwiązań może mieć układ dwóch równań liniowych? Dokładnie jedno (układ oznaczony), nieskończenie wiele (układ nieoznaczony) albo żadnego (układ sprzeczny). Innych możliwości nie ma - np. układ liniowy nie może mieć dokładnie dwóch rozwiązań.

Po czym poznać układ sprzeczny? Podczas rozwiązywania niewiadome się redukują i zostaje zdanie fałszywe, np. $0 = 3$. Graficznie: proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.

Przećwicz

• Liczba rozwiązań układu → - układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny, także z parametrem.

Podsumowanie

• Układ równań to dwa równania rozpatrywane jednocześnie; zapisujemy je z klamrą.
• Rozwiązanie układu to para $(x, y)$ spełniająca oba równania.
• Układ może być oznaczony (1 rozwiązanie), nieoznaczony ($\infty$ rozwiązań) lub sprzeczny (0 rozwiązań).
• Do rozwiązywania służą metody: graficzna, podstawiania i przeciwnych współczynników - poznamy je w kolejnych lekcjach.