Przedziały liczbowe - otwarty, domknięty, działania

Klasa 1 liceum i technikum

Przedział liczbowy to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych leżących między dwiema ustalonymi liczbami (albo wszystkich liczb większych lub mniejszych od danej liczby). Przedziały to najczęściej spotykane podzbiory zbioru $\mathbb{R}$ - zapisujemy nimi m.in. rozwiązania nierówności.

W całej lekcji zakładamy, że $a, b \in \mathbb{R}$ oraz $a < b$. Liczby $a, b$ nazywamy końcami przedziału. Koniec należący do przedziału zaznaczamy na osi kółkiem wypełnionym, a koniec nienależący - kółkiem pustym.

Przedziały ograniczone

Przedział otwarty $(a; b)$ - liczby większe od $a$ i mniejsze od $b$ (bez końców):

$(a; b) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}.$

Przedział domknięty $\langle a; b \rangle$ - liczby od $a$ do $b$ (wraz z końcami):

$\langle a; b \rangle = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.$

Przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty) $\langle a; b)$:

$\langle a; b) = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}.$

Przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty) $(a; b\rangle$:

$(a; b\rangle = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}.$

Przedziały nieograniczone

Używamy w nich symbolu nieskończoności $\infty$. Przy nieskończoności zawsze stawiamy nawias okrągły - nieskończoność nie jest liczbą i nigdy nie należy do przedziału.

$(a; +\infty) = \{x \in \mathbb{R} : x > a\}, \qquad \langle a; +\infty) = \{x \in \mathbb{R} : x \ge a\},$

$(-\infty; a) = \{x \in \mathbb{R} : x < a\}, \qquad (-\infty; a\rangle = \{x \in \mathbb{R} : x \le a\}.$

Cały zbiór liczb rzeczywistych również jest przedziałem nieograniczonym: $\mathbb{R} = (-\infty; +\infty)$.

Działania na przedziałach

Przedziały są zbiorami, więc wykonujemy na nich znane działania: sumę, iloczyn (część wspólną) i różnicę. Najwygodniej zaznaczyć oba przedziały na jednej osi liczbowej i odczytać wynik.

Rozważmy przedziały $A = \langle -1; 4)$ oraz $B = (2; 6\rangle$.

Część wspólna $A \cap B$ - liczby należące jednocześnie do obu przedziałów:

$A \cap B = (2; 4).$

Suma $A \cup B$ - liczby należące do co najmniej jednego z przedziałów (tutaj zachodzą na siebie, więc tworzą jeden przedział):

$A \cup B = \langle -1; 6\rangle.$

Różnica $A \setminus B$ - liczby z $A$, które nie należą do $B$:

$A \setminus B = \langle -1; 2\rangle.$

Zwróć uwagę na końce: liczba $2$ należy do $A \setminus B$ (bo $2 \notin B$), więc po stronie $2$ przedział jest domknięty.

Przykład

Wyznaczmy $A \cap B$ i $A \cup B$ dla $A = (-\infty; 3\rangle$ oraz $B = \langle 0; +\infty)$.

$A \cap B = \langle 0; 3\rangle, \qquad A \cup B = (-\infty; +\infty) = \mathbb{R}.$

Część wspólna to liczby spełniające jednocześnie $x \le 3$ i $x \ge 0$, czyli $0 \le x \le 3$. Suma obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste, bo każda liczba spełnia $x \le 3$ lub $x \ge 0$.

Najczęstsze pytania

Kiedy nawias jest okrągły, a kiedy ostry? Nawias okrągły oznacza koniec otwarty - ta liczba do przedziału nie należy (nierówność ostra $<$). Nawias ostry $\langle\ \rangle$ oznacza koniec domknięty - liczba należy (nierówność nieostra $\le$). Przy nieskończoności zawsze jest nawias okrągły.

Czy przy nieskończoności można postawić nawias domknięty? Nie. Nieskończoność nie jest liczbą, tylko zapisem „bez ograniczenia z tej strony”, więc nie może należeć do zbioru. Zapis $\langle 2; +\infty)$ jest poprawny, a $\langle 2; +\infty\rangle$ nie.

Jak zapisać przedziałem warunek $x \ne 2$? Jako sumę dwóch przedziałów: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Z osi liczbowej „wyjmujemy” jeden punkt, więc obie części mają w tym miejscu koniec otwarty.

Co, jeśli przedziały nie mają części wspólnej? Wynikiem jest zbiór pusty, np. $(-\infty; 1) \cap (3; +\infty) = \emptyset$. Nie ma liczby, która byłaby jednocześnie mniejsza od $1$ i większa od $3$.

Czy $\langle 3; 3\rangle$ to poprawny przedział? Tak, ale zawiera dokładnie jedną liczbę - to zbiór $\{3\}$. Natomiast $(3; 3)$ jest zbiorem pustym, bo żadna liczba nie jest jednocześnie większa i mniejsza od $3$.