Graficzne rozwiązywanie układów równań

Klasa 1 liceum i technikum

Metoda graficzna - co warto zapamiętać

Każde równanie układu przedstawiamy jako prostą; rozwiązanie układu = punkt wspólny prostych.

$\text{proste przecinają się} \Rightarrow \text{układ oznaczony (1 rozwiązanie)}$

$\text{proste pokrywają się} \Rightarrow \text{układ nieoznaczony } (\infty)$

$\text{proste równoległe i różne} \Rightarrow \text{układ sprzeczny (0 rozwiązań)}$

Pomysł metody

Wiemy już, że wykresem równania $ax + by = c$ jest prosta - zbiór wszystkich par $(x, y)$ spełniających to równanie. Rozwiązanie układu ma spełniać oba równania, więc odpowiadający mu punkt musi leżeć na obu prostych jednocześnie.

Rozwiązaniem układu równań odpowiada punkt wspólny prostych będących wykresami równań tego układu. Rozwiązać układ graficznie to narysować obie proste i odczytać współrzędne ich punktu przecięcia.

Metoda graficzna krok po kroku

Przekształć każde równanie do postaci $y = ax + b$ (wyznacz $y$ ).
Narysuj obie proste w jednym układzie współrzędnych (każdą wyznaczają dwa punkty - przypomnienie: wykres funkcji liniowej).
Odczytaj współrzędne punktu przecięcia - to rozwiązanie układu.
Sprawdź odczytaną parę, podstawiając ją do obu równań układu.

Przykład rozwiązany krok po kroku

Przykład 1. Rozwiąż graficznie układ równań $\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Krok 1. Wyznaczamy $y$ z każdego równania:

$x + y = 4 \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 4,$

$x - y = 2 \quad\Longrightarrow\quad y = x - 2.$

Krok 2. Rysujemy obie proste. Dla $y = -x + 4$ wybieramy punkty $(0, 4)$ i $(4, 0)$ ; dla $y = x - 2$ - punkty $(0, -2)$ i $(2, 0)$ .

Krok 3. Odczytujemy punkt przecięcia: $(3, 1)$ .

Proste y = -x + 4 oraz y = x - 2 przecinają się w punkcie (3, 1) - to rozwiązanie układu.

Krok 4. Sprawdzamy parę $(3, 1)$ w obu równaniach:

$3 + 1 = 4\ \checkmark \qquad 3 - 1 = 2\ \checkmark$

Odpowiedź: Rozwiązaniem układu jest para $x = 3$ , $y = 1$ .

Trzy możliwe położenia prostych - trzy rodzaje układów

Dwie proste na płaszczyźnie mogą się przecinać, być równoległe i rozłączne albo się pokrywać. Każdej z tych sytuacji odpowiada jeden z rodzajów układów.

Proste równoległe - układ sprzeczny

$\begin{cases} x - y = -1 \\ x - y = 2 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} y = x + 1 \\ y = x - 2 \end{cases}$

Obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy $a = 1$ , ale różne wyrazy wolne - są równoległe i nie mają punktu wspólnego. Układ jest sprzeczny: nie ma rozwiązań.

Proste y = x + 1 oraz y = x - 2 są równoległe - układ sprzeczny nie ma rozwiązań.

Proste pokrywające się - układ nieoznaczony

$\begin{cases} x - 2y = -2 \\ 2x - 4y = -4 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} y = \tfrac{1}{2}x + 1 \\ y = \tfrac{1}{2}x + 1 \end{cases}$

Drugie równanie to pierwsze pomnożone przez 2 - po przekształceniu oba opisują tę samą prostą. Każdy jej punkt jest rozwiązaniem, więc układ jest nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).

Oba równania opisują tę samą prostą y = ½x + 1 (linia przerywana „druga prosta" leży na pierwszej). Układ nieoznaczony - każdy punkt prostej, np. (0, 1), (2, 2), (4, 3), jest rozwiązaniem.

Jak to rozpoznać bez rysowania?

Po sprowadzeniu obu równań do postaci $y = ax + b$ wystarczy porównać współczynniki:

różne $a$ - proste przecinają się: układ oznaczony;
równe $a$ , różne $b$ - proste równoległe i rozłączne: układ sprzeczny;
równe $a$ i równe $b$ - ta sama prosta: układ nieoznaczony.

Ograniczenia metody graficznej

Metoda graficzna jest poglądowa - świetnie pokazuje, „co się dzieje”, ale ma poważną wadę: dokładność zależy od rysunku. Rozwiąż graficznie układ, którego rozwiązaniem jest para $\left(\tfrac{17}{7},\ -\tfrac{5}{14}\right)$ - takiego punktu nie da się dokładnie odczytać z wykresu. Dlatego:

Metody graficznej używamy do interpretacji układu (ile ma rozwiązań, co oznaczają), a do obliczeń stosujemy metody algebraiczne: podstawiania lub przeciwnych współczynników.

Jeśli chcesz poćwiczyć samo rysowanie prostych, skorzystaj z interaktywnego rysownika funkcji liniowej.

Najczęstsze pytania

Na czym polega graficzne rozwiązywanie układu równań? Każde równanie przedstawiamy jako prostą w układzie współrzędnych. Współrzędne punktu przecięcia prostych to rozwiązanie układu - para liczb spełniająca oba równania.

Co oznacza, że proste są równoległe? Układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązań. Proste o tym samym współczynniku kierunkowym i różnych wyrazach wolnych nigdy się nie przetną.

Co oznacza, że proste się pokrywają? Układ jest nieoznaczony - oba równania opisują tę samą prostą, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele (każdy punkt tej prostej).

Czy metoda graficzna zawsze daje dokładny wynik? Nie. Gdy rozwiązaniem są liczby niecałkowite (np. ułamki o dużych mianownikach), odczyt z rysunku jest tylko przybliżony. Dokładny wynik dają metody algebraiczne.

Przećwicz

Rozwiązywanie graficzne → - odczyt punktu przecięcia i rozpoznawanie układu sprzecznego.

Podsumowanie

Każde równanie układu to prosta; rozwiązanie układu to punkt wspólny obu prostych.
Proste przecinają się - układ oznaczony (jedno rozwiązanie: współrzędne punktu przecięcia).
Proste równoległe i różne - układ sprzeczny (brak rozwiązań).
Proste pokrywają się - układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).
Metoda graficzna bywa niedokładna - do obliczeń służą metody podstawiania i przeciwnych współczynników.