Wektor w układzie współrzędnych

Klasa 2 liceum i technikum

Współrzędne wektora

Wektor swobodny wystarczy opisać dwiema liczbami: o ile w poziomie i o ile w pionie przenosi punkty. Zapisujemy to w nawiasach kwadratowych:

$\vec{u} = [p, q].$

Pierwsza liczba to przesunięcie wzdłuż osi $OX$ (dodatnia - w prawo, ujemna - w lewo), druga - wzdłuż osi $OY$ (dodatnia - w górę, ujemna - w dół). Nawiasy kwadratowe odróżniają wektor $[p, q]$ od punktu $(p, q)$ - to ważna konwencja, warto się jej trzymać.

Wektor wyznaczony przez dwa punkty

Skoro współrzędne mówią „o ile”, to wyznaczamy je jako różnicę współrzędnych końca i początku:

$\vec{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A].$

Kolejność jest istotna: od końca odejmujemy początek. Zamiana kolejności daje wektor przeciwny.

Przykład. Dla $A = (-2, -1)$ oraz $B = (2, 2)$:

$\vec{AB} = [2 - (-2),\ 2 - (-1)] = [4, 3].$

Długość wektora

Z rysunku widać, że wektor jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych jego współrzędnym. Wystarczy więc twierdzenie Pitagorasa:

$|\vec{u}| = \sqrt{p^2 + q^2}.$

Przykład. Dla $\vec{AB} = [4, 3]$:

$|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.$

Zauważ, że wynik nie zależy od znaków - wektor $[-4, -3]$ ma tę samą długość $5$, bo kwadrat usuwa znak.

Działania na współrzędnych

Dodawanie wykonujemy „po współrzędnych”:

$[p_1, q_1] + [p_2, q_2] = [p_1 + p_2,\ q_1 + q_2].$

Odpowiada to wykonaniu dwóch przesunięć jedno po drugim. Na przykład przesunięcie o $[3, 1]$, a potem o $[-1, 2]$, to razem przesunięcie o $[2, 3]$.

Mnożenie przez liczbę $k$ wydłuża (albo skraca) wektor:

$k \cdot [p, q] = [kp,\ kq].$

Dla $k > 0$ zwrot się nie zmienia, dla $k < 0$ - odwraca. Wektor przeciwny to po prostu $-1 \cdot \vec{u} = [-p, -q]$.

Przykład. $2 \cdot [3, -1] = [6, -2]$, a $-\,[3, -1] = [-3, 1]$.

Przesuwanie punktu o wektor

To jedyny wzór, którego naprawdę potrzebujemy w kolejnych lekcjach. Punkt $P = (x, y)$ przesunięty o wektor $\vec{u} = [p, q]$ trafia w punkt

$P' = (x + p,\ y + q).$

Przykład. Punkt $(1, -2)$ przesunięty o $[3, 4]$ trafia w $(4, 2)$.

Jeśli przesuniemy w ten sposób każdy punkt wykresu, dostaniemy wykres przesunięty - i to jest treść dwóch kolejnych lekcji.

Najczęstsze pytania

Dlaczego wektor zapisujemy w nawiasach kwadratowych? Żeby odróżnić go od punktu. Zapis $(3, 2)$ oznacza konkretne miejsce na płaszczyźnie, a $[3, 2]$ - przesunięcie o trzy w prawo i dwa w górę, które można wykonać z dowolnego miejsca.

Od czego odejmujemy: od końca początek czy odwrotnie? Od końca odejmujemy początek: $\vec{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]$. Zamiana kolejności daje wektor przeciwny, czyli błąd w zwrocie.

Czy długość wektora może być ujemna? Nie. To odległość, a więc liczba nieujemna. Znaki współrzędnych znikają w kwadratach.

Jak sprawdzić, czy dwa wektory są równe? Porównać ich współrzędne - muszą być identyczne. To znacznie wygodniejsze niż porównywanie kierunku, zwrotu i długości „na oko”.

Czy $[4, 3]$ i $[3, 4]$ to ten sam wektor? Nie. Mają tę samą długość ($5$), ale różne kierunki - pierwszy przesuwa bardziej w poziomie, drugi bardziej w pionie.

Przećwicz

• Wektory w układzie współrzędnych → - współrzędne wektora z dwóch punktów, długość i działania.

Podsumowanie

• Wektor zapisujemy współrzędnymi $[p, q]$ - „o ile w prawo, o ile w górę”.
• $\vec{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]$ - od końca odejmujemy początek.
• $|\vec{u}| = \sqrt{p^2 + q^2}$ - z twierdzenia Pitagorasa.
• Działania wykonujemy po współrzędnych: dodawanie i mnożenie przez liczbę.
• Punkt $(x, y)$ przesunięty o $[p, q]$ trafia w $(x+p,\ y+q)$.