Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania

Klasa 1 liceum i technikum

Pomysł metody

Układ równań jest trudny, bo niewiadome są dwie. Metoda podstawiania sprowadza go do tego, co już umiemy - do równania z jedną niewiadomą. Pomysł: skoro z jednego równania wiadomo, czemu równa się jedna niewiadoma (wyrażona przez drugą), to można tę wiedzę podstawić do drugiego równania - i jedna niewiadoma znika.

Przykład 1 - krok po kroku

Przykład 1. Rozwiąż układ równań $\begin{cases} x + y = 15 \\ 2x + 3y = 38 \end{cases}$

Krok 1. Wybieramy równanie i niewiadomą najłatwiejszą do wyznaczenia. W pierwszym równaniu $y$ stoi „samotnie” (współczynnik 1):

$y = 15 - x.$

Krok 2. Podstawiamy wyrażenie $15 - x$ w miejsce $y$ do drugiego równania:

$2x + 3(15 - x) = 38.$

Zwróć uwagę: podstawiamy całe wyrażenie w nawiasie. Otrzymaliśmy równanie z jedną niewiadomą.

Krok 3. Rozwiązujemy je:

$2x + 45 - 3x = 38 \quad\Longrightarrow\quad -x + 45 = 38 \quad\Longrightarrow\quad x = 7.$

Teraz wracamy do wzoru z kroku 1 i obliczamy $y$:

$y = 15 - x = 15 - 7 = 8.$

Krok 4. Sprawdzamy parę $(7, 8)$ w obu równaniach układu:

$7 + 8 = 15\ \checkmark \qquad 2 \cdot 7 + 3 \cdot 8 = 14 + 24 = 38\ \checkmark$

Odpowiedź: Rozwiązaniem układu jest para $x = 7$, $y = 8$. Układ jest oznaczony.

Którą niewiadomą wyznaczyć? Wybieraj wygodnie

Metoda zadziała niezależnie od wyboru, ale rachunki bywają różnie przyjemne. Najwygodniej wyznaczyć niewiadomą, która ma współczynnik $1$ lub $-1$ - unikniemy ułamków.

Przykład 2. Rozwiąż układ równań $\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 2x + y = 5 \end{cases}$

Krok 1. W drugim równaniu $y$ ma współczynnik 1 - wyznaczamy właśnie je:

$y = 5 - 2x.$

(Gdybyśmy uparli się na $x$ z pierwszego równania, dostalibyśmy $x = \tfrac{4 + 2y}{3}$ - da się, ale po co brnąć w ułamki?)

Krok 2. Podstawiamy do pierwszego równania:

$3x - 2(5 - 2x) = 4.$

Krok 3. Rozwiązujemy:

$3x - 10 + 4x = 4 \quad\Longrightarrow\quad 7x = 14 \quad\Longrightarrow\quad x = 2,$

$y = 5 - 2 \cdot 2 = 1.$

Krok 4. Sprawdzenie: $3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4\ \checkmark$ oraz $2 \cdot 2 + 1 = 5\ \checkmark$.

Odpowiedź: $x = 2$, $y = 1$.

Najczęstszy błąd: zgubienie nawiasu przy podstawianiu. Podstawiając $y = 5 - 2x$ do wyrażenia $-2y$, piszemy $-2(5 - 2x) = -10 + 4x$. Zapis bez nawiasu, $-2 \cdot 5 - 2x$, prowadzi do błędnego wyniku. Całe podstawiane wyrażenie zawsze bierz w nawias.

Gdy wynik nie jest „ładny”

Rozwiązanie układu nie musi być parą liczb całkowitych - i to żaden problem dla metody.

Przykład 3. Rozwiąż układ równań $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$

Z drugiego równania: $y = 3x - 1$. Podstawiamy do pierwszego:

$x + 2(3x - 1) = 4 \quad\Longrightarrow\quad x + 6x - 2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad 7x = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{6}{7}.$

Obliczamy $y$:

$y = 3 \cdot \tfrac{6}{7} - 1 = \tfrac{18}{7} - \tfrac{7}{7} = \tfrac{11}{7}.$

Sprawdzenie: $\tfrac{6}{7} + 2 \cdot \tfrac{11}{7} = \tfrac{6}{7} + \tfrac{22}{7} = \tfrac{28}{7} = 4\ \checkmark$ oraz $3 \cdot \tfrac{6}{7} - \tfrac{11}{7} = \tfrac{18 - 11}{7} = 1\ \checkmark$.

Odpowiedź: $x = \tfrac{6}{7}$, $y = \tfrac{11}{7}$. Zauważ, że metoda graficzna nie dałaby tu dokładnego wyniku - takiego punktu nie sposób precyzyjnie odczytać z rysunku.

Układ sprzeczny i nieoznaczony w metodzie podstawiania

Co się stanie, gdy układ nie ma dokładnie jednego rozwiązania? Metoda sama to zasygnalizuje - niewiadome znikną całkowicie, a zostanie zdanie prawdziwe albo fałszywe.

Przykład 4. Rozwiąż układ równań $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ 4x + 2y = 7 \end{cases}$

Z pierwszego równania $y = 3 - 2x$. Podstawiamy do drugiego:

$4x + 2(3 - 2x) = 7 \quad\Longrightarrow\quad 4x + 6 - 4x = 7 \quad\Longrightarrow\quad 6 = 7.$

Niewiadome się zredukowały i zostało zdanie fałszywe - układ jest sprzeczny, nie ma rozwiązań.

Przykład 5. Rozwiąż układ równań $\begin{cases} x - 3y = 2 \\ 2x - 6y = 4 \end{cases}$

Z pierwszego równania $x = 2 + 3y$. Podstawiamy do drugiego:

$2(2 + 3y) - 6y = 4 \quad\Longrightarrow\quad 4 + 6y - 6y = 4 \quad\Longrightarrow\quad 4 = 4.$

Zostało zdanie prawdziwe spełnione przez każdą wartość $y$ - układ jest nieoznaczony. Rozwiązaniami są wszystkie pary postaci $(2 + 3y,\ y)$, gdzie $y$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Zapamiętaj sygnały: niewiadome znikają i zostaje fałsz (np. $6 = 7$) - układ sprzeczny; zostaje prawda (np. $4 = 4$) - układ nieoznaczony.

Najczęstsze pytania

Na czym polega metoda podstawiania? Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą (wyrażamy ją przez drugą), a otrzymane wyrażenie podstawiamy do drugiego równania. Powstaje równanie z jedną niewiadomą, które umiemy rozwiązać.

Którą niewiadomą najlepiej wyznaczyć? Tę, która ma współczynnik $1$ lub $-1$ - wtedy unikamy ułamków. Jeśli takiej nie ma, metoda nadal działa, tylko rachunki są mniej wygodne (można też rozważyć metodę przeciwnych współczynników).

Czy wynik trzeba sprawdzać? Warto - podstawienie pary do obu równań natychmiast wykrywa błąd rachunkowy. W zadaniach maturalnych sprawdzenie nie jest wymagane, ale chroni przed utratą punktów za pomyłkę.

Przećwicz

• Metoda podstawiania → - od najprostszych układów po równania z ułamkami.

Podsumowanie

• Metoda podstawiania: wyznacz niewiadomą z jednego równania, podstaw do drugiego, rozwiąż, oblicz drugą niewiadomą, sprawdź.
• Podstawiane wyrażenie zawsze bierz w nawias.
• Wyznaczaj niewiadomą o współczynniku $1$ lub $-1$ - unikniesz ułamków.
• Gdy niewiadome znikną: zdanie fałszywe = układ sprzeczny, zdanie prawdziwe = układ nieoznaczony.