Matura czerwiec 2025 matematyka podstawowa - odpowiedzi i rozwiązania

$|x - 6| = 4$ oznacza, że odległość liczby $x$ od $6$ na osi liczbowej wynosi $4$. Są dwie takie liczby:

$x - 6 = 4 \Rightarrow x_1 = 10 \qquad \text{lub} \qquad x - 6 = -4 \Rightarrow x_2 = 2.$

Iloczyn: $x_1 \cdot x_2 = 10 \cdot 2 = 20$. Pułapka C ($24$) to iloczyn $6 \cdot 4$, a A ($4$) - sama odległość.

Odpowiedź: B. Zobacz: interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej oraz zadania z wartości bezwzględnej.

Wszystko zapisujemy jako potęgi dwójki: $256 = 2^8$ oraz $8 = 2^3$, więc $8^2 = 2^6$ i

$\sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{2^6} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2 = 4.$

Zatem $256 \cdot \sqrt[3]{8^2} = 2^8 \cdot 2^2 = 2^{10}$. Można też wprost: $\sqrt[3]{64} = 4$ i $256 \cdot 4 = 1024 = 2^{10}$. Pułapka C ($2^{16}$) to pomnożenie wykładników $8 \cdot 2$ zamiast ich dodania.

Odpowiedź: B. Zobacz: potęga o wykładniku wymiernym oraz zadania z potęg.

Zdanie 1. Ze wzoru na logarytm potęgi $2 \cdot \log_3 5 = \log_3 5^2 = \log_3 25$. Prawda.

Zdanie 2. Liczbę $2$ zapisujemy jako logarytm o podstawie $3$: $2 = \log_3 9$. Wtedy $2 + \log_3 5 = \log_3 9 + \log_3 5 = \log_3 45$, a nie $\log_3 10$. Fałsz. Pułapka polega na „dodaniu” $2$ do liczby logarytmowanej ($5 + 2 \cdot$ coś) - suma logarytmów to logarytm iloczynu, a $2$ trzeba najpierw zamienić na $\log_3 9$.

Odpowiedź: P, F. Zobacz: prawa logarytmów oraz zadania z logarytmów.

Ze wzoru na kwadrat sumy $\left(\sqrt{3} + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$, a $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Stąd

$\left(\sqrt{3} + 1\right)^2 - \sqrt{12} = 4 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4.$

Pułapka B ($4 - 2\sqrt{3}$) wychodzi, gdy zgubimy podwojony iloczyn we wzorze skróconego mnożenia i policzymy $\left(\sqrt{3} + 1\right)^2 = 3 + 1$.

Odpowiedź: D. Zobacz: wzory skróconego mnożenia oraz zadania z pierwiastków.

Krok 1. Zapisujemy liczby przez reszty. Z założeń $a = 5k + 1$ oraz $b = 5m + 4$ dla pewnych liczb całkowitych $k$ i $m$.

Krok 2. Rozkładamy różnicę kwadratów. Ze wzoru $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$a + b = (5k + 1) + (5m + 4) = 5k + 5m + 5 = 5(k + m + 1).$

Krok 3. Wniosek. Liczba $k + m + 1$ jest całkowita, więc $a + b$ jest podzielna przez $5$. Iloczyn $(a - b)(a + b)$ ma zatem czynnik $5$ - liczba $a^2 - b^2$ jest podzielna przez $5$. To kończy dowód.

Inna droga (też pełna punktacja): $a^2 = 25k^2 + 10k + 1$ daje przy dzieleniu przez $5$ resztę $1$, $b^2 = 25m^2 + 40m + 16 = 5(5m^2 + 8m + 3) + 1$ też daje resztę $1$, więc ich różnica jest wielokrotnością $5$: $a^2 - b^2 = 5\left(5k^2 + 2k - 5m^2 - 8m - 3\right)$.

Zasady oceniania: samo zapisanie $a = 5k + 1$ i $b = 5m + 4$ to $1$ punkt, zauważenie, że $a + b$ dzieli się przez $5$ - $2$ punkty, a sprawdzenie tezy tylko dla wybranych liczb - $0$ punktów.

Odpowiedź: $a^2 - b^2 = (a - b) \cdot 5(k + m + 1)$, więc liczba dzieli się przez $5$. Zobacz: definicja, twierdzenie, dowód oraz zadania z indukcji i podzielności.

Mnożymy obie strony przez $2$ (liczba dodatnia - zwrot bez zmian) i porządkujemy:

$16 - (1 - 2x) \ge 6x \quad\Longrightarrow\quad 15 + 2x \ge 6x \quad\Longrightarrow\quad 15 \ge 4x \quad\Longrightarrow\quad x \le \frac{15}{4} = 3{,}75.$

Największa liczba całkowita nie większa niż $3{,}75$ to $3$. Pułapka D ($4$) to zaokrąglenie $3{,}75$ w górę - a $4$ nierówności już nie spełnia ($8 - \frac{-7}{2} = 11{,}5 < 12$). Częsty błąd rachunkowy: $-(1 - 2x) = -1 - 2x$ zamiast $-1 + 2x$.

Odpowiedź: C. Zobacz: nierówności z jedną niewiadomą.

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem (stała $4$ nigdy nie jest):

• $(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$ - to jedno rozwiązanie, choć czynnik jest w kwadracie;
• $x^2 - 25 = 0 \Rightarrow x = 5$ lub $x = -5$.

Razem trzy różne rozwiązania: $-5$, $1$, $5$. Pułapka C ($4$) to policzenie pierwiastka podwójnego $x = 1$ dwa razy - stopień wielomianu wynosi $4$, ale liczba różnych rozwiązań to $3$.

Odpowiedź: B. Zobacz: wielomiany oraz miejsca zerowe i postać iloczynowa.

Krok 1. Oznaczenia. Niech $x$ - liczba drzew posadzonych w pierwszym sadzie, $y$ - w drugim. Wtedy $x + y = 1410$.

Krok 2. Ile zostało po roku. W pierwszym sadzie uschło $20\%$, więc zostało $80\%$: $0{,}8x$. W drugim zostało $85\%$: $0{,}85y$.

Krok 3. Warunek o $70\%$. Drzewa w drugim sadzie to $70\%$ tych z pierwszego:

$0{,}85y = 0{,}7 \cdot 0{,}8x = 0{,}56x \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{0{,}56}{0{,}85}x = \frac{56}{85}x.$

Krok 4. Rozwiązujemy układ.

$x + \frac{56}{85}x = 1410 \quad\Longrightarrow\quad \frac{141}{85}x = 1410 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1410 \cdot 85}{141} = 10 \cdot 85 = 850.$

Kontrola: $y = 560$, po roku zostało $0{,}8 \cdot 850 = 680$ i $0{,}85 \cdot 560 = 476$, a $0{,}7 \cdot 680 = 476$.

Pułapka: wzięcie $70\%$ z liczby posadzonych, a nie pozostałych drzew ($0{,}85y = 0{,}7x$) daje inny wynik i $0$ punktów.

Odpowiedź: $850$ drzew. Zobacz: zastosowanie układów równań oraz zadania z procentów.

Krok 1. Przenosimy wszystko na lewą stronę.

$x^2 + 4x - x + 2 < 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 3x + 2 < 0.$

Krok 2. Miejsca zerowe trójmianu. $\Delta = 9 - 8 = 1$, więc $x_1 = \frac{-3 - 1}{2} = -2$ oraz $x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1$. Można też rozłożyć od razu: $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.

Krok 3. Znak trójmianu. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc parabola ma ramiona w górę i wartości ujemne przyjmuje między miejscami zerowymi. Nierówność jest ostra - końce odpadają:

$x \in (-2, -1).$

Kontrola: dla $x = -1{,}5$ lewa strona to $-1{,}5 \cdot 2{,}5 = -3{,}75$, prawa $-3{,}5$ - zgadza się. Zasady oceniania: za same pierwiastki $-2$ i $-1$ jest $1$ punkt; zapis $[-2, -1]$ przy poprawnym rysunku też kończy się na $1$ punkcie.

Odpowiedź: $x \in (-2, -1)$. Zobacz: nierówności kwadratowe oraz zadania z funkcji kwadratowej.

1. Dziedzina to suma trzech przedziałów ze wzoru: $(-5, -2] \cup (-2, 1] \cup (1, 3] = (-5, 3]$. Lewy koniec $-5$ nie należy (puste kółko w punkcie $(-5, 3)$), prawy koniec $3$ należy (pełne kółko w punkcie $(3, 3)$).

2. Zbiór wartości. Na pierwszym kawałku wartości maleją od $3$ (nieosiągane, puste kółko) do $0$ (osiągane w $x = -2$): przedział $[0, 3)$. Drugi kawałek daje tylko $0$. Trzeci kawałek to wartości od $1$ (nieosiągane) do $3$ (osiągane w $x = 3$): przedział $(1, 3]$. Suma: $[0, 3) \cup (1, 3] = [0, 3]$ - wartość $3$ jest osiągana, tylko na trzecim kawałku, a nie na pierwszym.

3. Miejsca zerowe. $f(x) = 0$ na całym przedziale $(-2, 1]$ (drugi wzór) oraz w $x = -2$ (pierwszy wzór: $-(-2) - 2 = 0$). Na trzecim kawałku $f(x) = x > 1$. Razem: $[-2, 1]$ - to przedział, nie pojedyncze punkty, i to właśnie o niego pyta zadanie.

4. Nierówność $f(x) < f(-3)$. Najpierw $f(-3) = -(-3) - 2 = 1$. Szukamy argumentów, dla których wykres leży poniżej prostej $y = 1$:

• pierwszy kawałek: $-x - 2 < 1 \Rightarrow x > -3$, czyli $x \in (-3, -2]$;
• drugi kawałek: $0 < 1$ zawsze, czyli cały $(-2, 1]$;
• trzeci kawałek: $x < 1$ nigdy nie zachodzi dla $x \in (1, 3]$.

Suma: $(-3, -2] \cup (-2, 1] = (-3, 1]$. Lewy koniec otwarty, bo $f(-3) = 1$ nie jest mniejsze od $1$; prawy domknięty, bo $f(1) = 0 < 1$.

Zasady oceniania: po $1$ punkcie za każde zdanie, ale przedział z poprawnymi końcami i złym rodzajem nawiasu nie dostaje punktu.

Odpowiedź: 1. $(-5, 3]$; 2. $[0, 3]$; 3. $[-2, 1]$; 4. $(-3, 1]$. Zobacz: odczytywanie własności funkcji z wykresu oraz zadania z własności funkcji.

Miejsce zerowe: $\frac{1}{2}x - k = 0 \Rightarrow x_0 = 2k$. Warunek $x_0 > 2$ daje

$2k > 2 \quad\Longrightarrow\quad k > 1.$

Kontrola: dla $k = 2$ funkcja $f(x) = \frac{1}{2}x - 2$ ma miejsce zerowe $4 > 2$. Pułapka A to błąd znaku przy przenoszeniu $-k$ na drugą stronę.

Odpowiedź: D. Zobacz: wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej oraz zadania z funkcji liniowej.

Przesunięcie wykresu o $1$ w prawo wzdłuż osi $Ox$ to zamiana $x$ na $x - 1$ we wzorze:

$g(x) = f(x - 1) = 5(x - 1) = 5x - 5.$

Kontrola: punkt $(0, 0)$ wykresu $f$ przechodzi na $(1, 0)$, a $g(1) = 5 - 5 = 0$. Pułapka B ($5x - 1$) to odjęcie jedynki od wartości zamiast od argumentu - to byłoby przesunięcie o $1$ w dół, nie w prawo. Ciekawostka: przesunięcie w prawo o $1$ daje ten sam wykres, co przesunięcie w dół o $5$.

Odpowiedź: A. Zobacz: przesunięcie wzdłuż osi Ox oraz zadania z przekształceń wykresów.

Krok 1. Drugie miejsce zerowe. Miejsca zerowe leżą symetrycznie względem osi $x = -1$. Skoro $1$ leży $2$ jednostki na prawo od osi, drugie miejsce zerowe leży $2$ jednostki na lewo: $x_2 = -3$.

Krok 2. Postać iloczynowa i współczynnik $a$. $f(x) = a(x - 1)(x + 3)$. Z warunku $f(2) = 15$:

$a \cdot (2 - 1)(2 + 3) = 5a = 15 \quad\Longrightarrow\quad a = 3.$

Krok 3. Postać kanoniczna. Wierzchołek ma pierwszą współrzędną $p = -1$, a drugą $q = f(-1) = 3 \cdot (-2) \cdot 2 = -12$:

$f(x) = 3(x + 1)^2 - 12.$

Kontrola: $f(1) = 3 \cdot 4 - 12 = 0$ oraz $f(2) = 3 \cdot 9 - 12 = 15$.

Inna droga: od razu $f(x) = a(x + 1)^2 + q$ i układ z dwóch warunków $f(1) = 0$, $f(2) = 15$: $4a + q = 0$, $9a + q = 15$, skąd $a = 3$, $q = -12$.

Odpowiedź: $f(x) = 3(x + 1)^2 - 12$. Zobacz: postać kanoniczna funkcji kwadratowej, miejsca zerowe i postać iloczynowa oraz zadania z funkcji kwadratowej.

Liczymy trzy pierwsze wyrazy:

$a_1 = 3 - 3 = 0, \qquad a_2 = 12 - 6 = 6, \qquad a_3 = 27 - 9 = 18.$

$S_3 = 0 + 6 + 18 = 24$. Pułapka A ($18$) to sam trzeci wyraz, a C ($60$) to wynik użycia wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, którym ten ciąg nie jest.

Odpowiedź: B.

Zdanie 1. Różnice kolejnych wyrazów: $a_2 - a_1 = 6$, $a_3 - a_2 = 12$ - nie są stałe, więc ciąg nie jest arytmetyczny (wzór z $n^2$ zawsze o tym przesądza). Fałsz.

Zdanie 2. $a_n = 3n(n - 1)$. Liczby $n$ i $n - 1$ to dwie kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich jest parzysta - iloczyn $n(n - 1)$ jest parzysty, a pomnożenie przez $3$ tego nie zmienia. Prawda.

Odpowiedź: F, P. Zobacz: ciągi oraz ciąg arytmetyczny.

Ze wzoru $a_{25} = a_1 + 24r$:

$2 = 52 + 24r \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{2 - 52}{24} = -\frac{50}{24} = -\frac{25}{12}.$

Ciąg maleje (od $52$ do $2$), więc różnica musi być ujemna - to od razu wyklucza C i D. Pułapka B ($-2$) to podzielenie $-50$ przez $25$ zamiast przez $24$ - między pierwszym a dwudziestym piątym wyrazem są $24$ kroki.

Odpowiedź: A.

Ze wzoru na sumę wystarczą wyrazy skrajne, bez znajomości $r$:

$S_{25} = \frac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \frac{52 + 2}{2} \cdot 25 = 27 \cdot 25 = 675.$

Pułapka D ($1325$) to $54 \cdot 25$ bez dzielenia przez $2$.

Odpowiedź: A. Zobacz: ciąg arytmetyczny.

W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem sąsiednich:

$m^2 = 4(m - 1) \quad\Longrightarrow\quad m^2 - 4m + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (m - 2)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 2.$

Ciąg to $(4, 2, 1)$ o ilorazie $\frac{1}{2}$. Kontrola pozostałych: dla $m = 3$ mamy $(4, 3, 2)$ - to ciąg arytmetyczny, nie geometryczny (pułapka D).

Odpowiedź: C. Zobacz: ciąg geometryczny.

W liczniku wyłączamy $\sin 25^\circ$ przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$\frac{\sin 25^\circ \left(\sin^2 25^\circ + \cos^2 25^\circ\right)}{\cos 25^\circ} = \frac{\sin 25^\circ \cdot 1}{\cos 25^\circ} = \operatorname{tg} 25^\circ.$

Konkretny kąt $25^\circ$ nie ma znaczenia - tożsamość działa dla każdego kąta, dla którego $\cos \ne 0$.

Odpowiedź: C. Zobacz: funkcje trygonometryczne oraz zadania na związki między funkcjami trygonometrycznymi.

Zdanie 1. Z jedynki trygonometrycznej $\cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{49} = \frac{33}{49}$, więc $\cos\alpha = \frac{\sqrt{33}}{7} \ne \frac{3}{7}$. Fałsz. Pułapka: $\frac{3}{7}$ wygląda jak „dopełnienie” do $\frac{4}{7}$, ale $\sin\alpha + \cos\alpha \ne 1$ - równa jedynce jest suma kwadratów.

Zdanie 2. Kąty $\alpha$ i $\beta$ są ostrymi kątami trójkąta prostokątnego, więc $\alpha + \beta = 90^\circ$ i $\cos\beta = \sin\alpha = \frac{4}{7}$. Widać to też na rysunku: przyprostokątna leżąca naprzeciw $\alpha$ jest tą samą, która przylega do $\beta$. Prawda.

Odpowiedź: F, P. Zobacz: trygonometria kąta ostrego oraz zadania z trygonometrii.

Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$, $b$ i przeciwprostokątnej $c$ promień okręgu wpisanego to

$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{10 + 24 - 26}{2} = \frac{8}{2} = 4.$

To samo daje wzór ogólny $r = \frac{P}{p}$ (pole przez połowę obwodu): $P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$, $p = \frac{10 + 24 + 26}{2} = 30$, więc $r = \frac{120}{30} = 4$. Pułapka D ($\frac{80}{13}$) to wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ($\frac{2P}{c} = \frac{240}{26}$), a nie promień.

Odpowiedź: B.

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym ma środek w środku przeciwprostokątnej, a jego promień to połowa przeciwprostokątnej:

$R = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13.$

Pułapka C ($12$) to połowa dłuższej przyprostokątnej.

Odpowiedź: D. Zobacz: okrąg opisany na trójkącie oraz zadania z okręgów i kół.

Dziesięć równych boków dzieli okrąg na dziesięć równych łuków, każdy po $\frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$ (tyle wynosi kąt środkowy oparty na jednym boku).

Kąt wpisany $AGD$ jest oparty na łuku $AD$, który nie zawiera punktu $G$ - to łuk przez $B$ i $C$, złożony z trzech boków: $AB$, $BC$, $CD$. Jego miara to $3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$, a kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

$|\sphericalangle AGD| = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ.$

Pułapka B ($36^\circ$) to kąt środkowy jednego boku, a A ($18^\circ$) - kąt wpisany oparty na jednym boku.

Odpowiedź: C. Zobacz: kąty w okręgu oraz zadania z okręgów i kół.

Niech bok $\mathcal{K}_1$ ma długość $a$. Wtedy bok $\mathcal{K}_2$ ma długość $5a$, a pole figury podobnej w skali $5$ jest $5^2 = 25$ razy większe:

$a^2 + 25a^2 = 78 \quad\Longrightarrow\quad 26a^2 = 78 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad a = \sqrt{3}.$

Pułapka C ($\sqrt{13}$) wychodzi z założenia, że pole rośnie $5$ razy, a nie $25$: $a^2 + 5a^2 = 78$ daje $a^2 = 13$. Stosunek pól figur podobnych to kwadrat skali.

Odpowiedź: A. Zobacz: podobieństwo figur oraz zadania z czworokątów.

Krok 1. Równanie prostej $l$. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc $a = 5$. Prosta przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, -4)$, więc wyraz wolny to $b = -4$:

$l:\ y = 5x - 4.$

Krok 2. Podstawiamy punkt $(p, 2)$.

$2 = 5p - 4 \quad\Longrightarrow\quad 5p = 6 \quad\Longrightarrow\quad p = \frac{6}{5}.$

Kontrola: $5 \cdot \frac{6}{5} - 4 = 6 - 4 = 2$. Zasady oceniania dają $1$ punkt za samo równanie $y = 5x - 4$. Pułapka: wzięcie $b = 7$ z prostej $k$ (wtedy $p = -1$) - równoległość przenosi tylko współczynnik kierunkowy, nie wyraz wolny.

Odpowiedź: $p = \dfrac{6}{5}$. Zobacz: równanie prostej oraz zadania z prostych równoległych.

Okrąg $\mathcal{O}$ ma środek $S = (-1, 2)$ i promień $3$. Symetria względem osi $Oy$ zmienia znak pierwszej współrzędnej: $(x, y) \mapsto (-x, y)$, więc obrazem środka jest $S' = (1, 2)$, a promień się nie zmienia:

$\mathcal{K}:\ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9.$

Pułapki: A to symetria względem osi $Ox$ (zmiana znaku $y$), C - symetria środkowa względem początku układu, B - brak jakiejkolwiek zmiany. Uwaga na znaki w równaniu: $(x + 1)^2$ oznacza środek w $x = -1$, nie $x = 1$.

Odpowiedź: D. Zobacz: równanie okręgu, symetria osiowa wykresu oraz zadania z równania okręgu.

Krok 1. Krawędzie przez jedną niewiadomą. Trzy krawędzie tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $4$: $a$, $4a$, $16a$.

Krok 2. Pole powierzchni całkowitej. Prostopadłościan ma po dwie ściany o polach $a \cdot 4a$, $a \cdot 16a$ oraz $4a \cdot 16a$:

$P = 2\left(4a^2 + 16a^2 + 64a^2\right) = 2 \cdot 84a^2 = 168a^2.$

Krok 3. Równanie i długość krawędzi.

$168a^2 = 94{,}5 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = \frac{94{,}5}{168} = \frac{9}{16} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{3}{4}.$

(Bierzemy tylko dodatni pierwiastek - $a$ jest długością.)

Krok 4. Objętość.

$V = a \cdot 4a \cdot 16a = 64a^3 = 64 \cdot \frac{27}{64} = 27.$

Krawędzie mają długości $\frac{3}{4}$, $3$ i $12$; kontrola pola: $2\left(\frac{9}{4} + 9 + 36\right) = 2 \cdot 47{,}25 = 94{,}5$.

Pułapka: zapomnienie o dwójce we wzorze na pole (sześć ścian, nie trzy) daje $a^2 = \frac{9}{8}$ i błędną objętość.

Odpowiedź: $V = 27$. Zobacz: graniastosłupy oraz ciąg geometryczny.

Niech $P_p$ będzie polem podstawy. Pole boczne to $4P_p$, więc pole całkowite:

$P_p + 4P_p = 5P_p = 20 \quad\Longrightarrow\quad P_p = 4.$

Podstawa jest kwadratem, więc krawędź ma długość $\sqrt{4} = 2$. Pułapka D ($4$) to pole podstawy podane jako długość boku, a B ($\sqrt{5}$) - pomylenie $P_p = 5$ z $5P_p = 20$.

Odpowiedź: A. Zobacz: ostrosłupy.

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny o ramionach $6$ (tworzące) i kącie między nimi $60^\circ$ - czyli trójkąt równoboczny o boku $6$. Wysokość stożka to wysokość tego trójkąta:

$H = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.$

Inaczej: wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny z kątem $30^\circ$ przy wierzchołku (połowa kąta rozwarcia), więc $r = 6 \sin 30^\circ = 3$ i $H = 6 \cos 30^\circ = 3\sqrt{3}$. Pułapka A ($3$) to promień, nie wysokość.

Odpowiedź: C. Zobacz: bryły obrotowe oraz zadania z brył obrotowych.

Krok 1. Zdarzenia elementarne. Par $(x, y)$ jest z reguły mnożenia $|\Omega| = 6 \cdot 4 = 24$ i wszystkie są jednakowo prawdopodobne.

Krok 2. Zdarzenia sprzyjające. Iloczyn jest nieujemny, gdy któraś liczba jest zerem albo obie mają ten sam znak:

• $x = 0$: dowolne $y$ - $4$ pary; $y = 0$: dowolne $x$ - $6$ par; para $(0, 0)$ policzona dwa razy, więc par z zerem jest $4 + 6 - 1 = 9$;
• obie dodatnie: $x \in \{1, 2\}$, $y \in \{1\}$ - $2$ pary;
• obie ujemne: $x \in \{-3, -2, -1\}$, $y \in \{-2, -1\}$ - $6$ par.

Razem $|A| = 9 + 2 + 6 = 17$.

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

$P(A) = \frac{17}{24}.$

Kontrola przez zdarzenie przeciwne: iloczyn ujemny, gdy znaki są różne: $x < 0$, $y > 0$ - $3 \cdot 1 = 3$ pary; $x > 0$, $y < 0$ - $2 \cdot 2 = 4$ pary; razem $7$, a $24 - 7 = 17$. Pułapka: pominięcie par z zerem (zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne, ale $0 \ge 0$ zachodzi).

Odpowiedź: $P(A) = \dfrac{17}{24}$. Zobacz: rachunek prawdopodobieństwa oraz zadania z kombinatoryki.

Cyfra setek nie może być zerem, więc jedyne zero stoi na miejscu dziesiątek albo jedności. Rozdzielamy przypadki (rozłączne, więc wyniki dodajemy):

• zero na miejscu jedności - liczba jest wtedy parzysta automatycznie; setki: $9$ możliwości ($1$-$9$), dziesiątki: $9$ możliwości (bez zera): $9 \cdot 9 = 81$;
• zero na miejscu dziesiątek - jedności muszą być parzyste i różne od zera: $2, 4, 6, 8$ ($4$ możliwości); setki: $9$ możliwości: $9 \cdot 4 = 36$.

Razem $81 + 36 = 117$. Pułapka C ($126$) wychodzi, gdy w drugim przypadku dopuścimy $0$ na miejscu jedności ($9 \cdot 5 = 45$) - ale wtedy zer byłoby dwa.

Odpowiedź: B. Zobacz: kombinatoryka oraz zadania z reguły mnożenia.

Z założenia $a + b + c = 3 \cdot 12 = 36$. Suma sześciu liczb to

$2a + 3a + 2b + 3b + 2c + 3c = 5(a + b + c) = 5 \cdot 36 = 180,$

a ich średnia: $\frac{180}{6} = 30$. Pułapka D ($60$) to suma podzielona przez $3$ zamiast przez $6$, a B - założenie, że mnożenie liczb nie zmienia średniej.