Równanie okręgu - środek i promień, postać ogólna, styczna

Q: Jak zapisać równanie okręgu, znając środek i promień?

(x - a)² + (y - b)² = r², gdzie (a, b) to środek. Środek (2, -1) i promień 3 dają (x - 2)² + (y + 1)² = 9.

Q: Jak odczytać środek i promień z postaci ogólnej?

Uzupełnij wyrażenia z x i z y do pełnych kwadratów, przenieś liczby na prawą stronę i odczytaj (x - a)² + (y - b)² = r².

Q: Jak sprawdzić, czy prosta jest styczna do okręgu?

Oblicz odległość środka okręgu od prostej. Prosta jest styczna, gdy ta odległość jest równa promieniowi.

Q: Czy każde równanie x² + y² + Dx + Ey + F = 0 opisuje okrąg?

Nie - tylko wtedy, gdy po uzupełnieniu do kwadratów po prawej stronie wychodzi liczba dodatnia. Zero daje pojedynczy punkt, liczba ujemna - zbiór pusty.

Równanie okręgu - wzory

Okrąg o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r > 0$ :

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0, \qquad r^2 = a^2 + b^2 - c > 0$

Styczna w punkcie $(x_0, y_0)$ okręgu: $(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$ .

Równanie okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r$ to $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ . Wynika ono wprost z definicji: okrąg to zbiór punktów odległych od środka dokładnie o $r$ , a odległość punktu $(x, y)$ od $(a, b)$ liczy się ze wzoru na długość odcinka. Nierówność $(x - a)^2 + (y - b)^2 \le r^2$ opisuje całe koło.

Postać kanoniczna i ogólna

W postaci kanonicznej $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ środek i promień odczytuje się od razu - uwaga na znaki: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ to okrąg o środku $(3, -2)$ i promieniu $5$ .

Po wymnożeniu nawiasów dostajemy postać ogólną $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ . Żeby odczytać środek i promień, uzupełniamy do pełnych kwadratów.

Przykład. $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ .

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \quad\Longrightarrow\quad (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25.$

Środek $(3, -2)$ , promień $5$ .

Nie każde takie równanie opisuje okrąg. Warunek to $a^2 + b^2 - c > 0$ . Równanie $x^2 + y^2 + 2x + 2 = 0$ daje $a = -1$ , $b = 0$ , $c = 2$ i $1 + 0 - 2 < 0$ - nie spełnia go żaden punkt płaszczyzny.

Przykład. Okrąg o środku $(1, 2)$ przechodzący przez punkt $(4, 6)$ ma promień równy odległości tych punktów: $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , więc $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$ .

Położenie prostej i okręgu

Niech $d$ oznacza odległość środka okręgu od prostej (wzór na odległość punktu od prostej):

$d > r$ - prosta jest rozłączna z okręgiem,
$d = r$ - prosta jest styczna (jeden punkt wspólny),
$d < r$ - prosta jest sieczną (dwa punkty wspólne).

Przykład. Prosta $y = x + 1$ , czyli $x - y + 1 = 0$ , i okrąg $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ : $d = \frac{|3 + 2 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \approx 4{,}24 < 5$ - prosta jest sieczną. Punkty przecięcia daje podstawienie $y = x + 1$ do równania okręgu: $(x - 3)^2 + (x + 3)^2 = 25$ , czyli $2x^2 = 7$ , $x = \pm\sqrt{3{,}5} \approx \pm 1{,}87$ .

Styczna do okręgu

Styczna w punkcie $(x_0, y_0)$ leżącym na okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do tego punktu, a jej równanie to

$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2.$

Przykład. Punkt $(6, 2)$ leży na okręgu $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ , bo $9 + 16 = 25$ . Styczna: $3(x - 3) + 4(y + 2) = 25$ , czyli $3x + 4y - 26 = 0$ . Kontrola: odległość środka $(3, -2)$ od tej prostej to $\frac{|9 - 8 - 26|}{5} = 5 = r$ .

Twierdzenia o stycznych i siecznych bez współrzędnych: twierdzenie o stycznej i siecznej.

Położenie dwóch okręgów

Dla okręgów o promieniach $r_1 \ge r_2$ i odległości środków $d$ :

$d > r_1 + r_2$ - rozłączne zewnętrznie; $d = r_1 + r_2$ - styczne zewnętrznie;
$r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ - przecinają się w dwóch punktach;
$d = r_1 - r_2$ - styczne wewnętrznie; $d < r_1 - r_2$ - jeden wewnątrz drugiego.

Przykład. Okręgi o środkach $(0, 0)$ i $(5, 0)$ i promieniach $4$ i $3$ : $d = 5$ , a $1 < 5 < 7$ - przecinają się. Więcej: wzajemne położenie dwóch okręgów.

Najczęstsze pytania

Jak zapisać równanie okręgu, znając środek i promień? $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ , gdzie $(a, b)$ to środek. Środek $(2, -1)$ i promień $3$ dają $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$ .

Jak odczytać środek i promień z postaci ogólnej? Uzupełnij wyrażenia z $x$ i z $y$ do pełnych kwadratów, przenieś liczby na prawą stronę i odczytaj $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ .

Jak sprawdzić, czy prosta jest styczna do okręgu? Oblicz odległość środka okręgu od prostej. Prosta jest styczna, gdy ta odległość jest równa promieniowi.

Czy każde równanie x² + y² + Dx + Ey + F = 0 opisuje okrąg? Nie - tylko wtedy, gdy po uzupełnieniu do kwadratów po prawej stronie wychodzi liczba dodatnia. Zero daje pojedynczy punkt, liczba ujemna - zbiór pusty.

Przećwicz

Równanie okręgu → - środek i promień, postać ogólna, okrąg przez punkt, o średnicy AB i styczny do osi.
Prosta i okrąg → - wzajemne położenie, punkty przecięcia, równanie stycznej, styczna z parametrem, cięciwa.
Figury w układzie współrzędnych → - okrąg opisany na trójkącie z przecięcia symetralnych.

Cały zestaw: Geometria analityczna - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ - środek $(a, b)$ , promień $r$ ; koło: nierówność $\le r^2$ .
Postać ogólną sprowadza się do kanonicznej uzupełnianiem do kwadratów; warunek $a^2 + b^2 - c > 0$ .
Prosta a okrąg: porównanie odległości środka od prostej z promieniem.
Styczna w punkcie okręgu: $(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$ .
Dwa okręgi: porównanie odległości środków z sumą i różnicą promieni.