Długość i środek odcinka - wzory w układzie współrzędnych

Długość odcinka $AB$ w układzie współrzędnych to pierwiastek z sumy kwadratów różnic współrzędnych jego końców, a środek odcinka ma współrzędne równe średnim arytmetycznym współrzędnych końców. Oba wzory wynikają z twierdzenia Pitagorasa i z podobieństwa trójkątów.

Długość odcinka

Różnice współrzędnych $x_B - x_A$ i $y_B - y_A$ to przyprostokątne trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątną jest odcinek $AB$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.$

Przykład. Dla $A = (1, 2)$ i $B = (7, 10)$: $|AB| = \sqrt{(7 - 1)^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.$

Kolejność punktów nie ma znaczenia - różnice są podnoszone do kwadratu, więc znak znika.

Środek odcinka

Środek $S$ odcinka $AB$ ma współrzędne będące średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców:

$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).$

Przykład. Środek odcinka o końcach $A = (1, 2)$ i $B = (7, 10)$ to $S = \left(\frac{1 + 7}{2}, \frac{2 + 10}{2}\right) = (4, 6)$.

Zadanie odwrotne. Jeśli znamy środek $S$ i jeden koniec $A$, drugi koniec to $B = (2x_S - x_A,\ 2y_S - y_A)$.

Wektor

Wektor $\overrightarrow{AB}$ ma współrzędne $[x_B - x_A,\ y_B - y_A]$ - mówią one, o ile trzeba przesunąć się w poziomie i w pionie, żeby przejść z $A$ do $B$. Długość wektora to długość odcinka: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Dla $A = (1, 2)$, $B = (7, 10)$: $\overrightarrow{AB} = [6, 8]$.

Pole trójkąta i środek ciężkości

Pole trójkąta o wierzchołkach $A$, $B$, $C$ liczy się bez wyznaczania wysokości:

$P = \frac{1}{2}\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)\right|.$

Przykład. $A = (1, 1)$, $B = (5, 2)$, $C = (2, 6)$: $P = \frac{1}{2}\left|4 \cdot 5 - 1 \cdot 1\right| = \frac{19}{2} = 9{,}5$. (Wzór Herona z długości boków daje ten sam wynik.)

Środek ciężkości trójkąta - punkt przecięcia środkowych - to średnia współrzędnych wierzchołków: $G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\ \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$. Dla powyższego trójkąta $G = \left(\frac{8}{3}, 3\right)$.

Jaki to trójkąt?

Porównując kwadraty długości boków, rozpoznamy rodzaj trójkąta bez rysowania. Dla $A = (1, 1)$, $B = (4, 5)$, $C = (8, 2)$:

$|AB|^2 = 9 + 16 = 25, \qquad |BC|^2 = 16 + 9 = 25, \qquad |AC|^2 = 49 + 1 = 50.$

Dwa boki są równe, a $|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$ - trójkąt jest prostokątny i równoramienny (kąt prosty przy wierzchołku $B$). Ogólną regułę podaje twierdzenie cosinusów.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć długość odcinka, znając współrzędne końców? Odejmij współrzędne końców, podnieś różnice do kwadratu, dodaj i wyciągnij pierwiastek: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Jak obliczyć współrzędne środka odcinka? Weź średnią arytmetyczną współrzędnych $x$ końców i osobno średnią współrzędnych $y$.

Jak obliczyć pole trójkąta, znając współrzędne wierzchołków? Ze wzoru $P = \frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)|$ - nie trzeba liczyć wysokości ani długości boków.

Czym różni się wektor od odcinka? Odcinek ma tylko długość, wektor - także kierunek i zwrot. Wektor $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BA}$ mają tę samą długość, ale przeciwne współrzędne.

Przećwicz

• Długość i środek odcinka → - długość, środek, brakujący koniec odcinka, środkowa, parametr i rodzaj trójkąta.
• Figury w układzie współrzędnych → - pole trójkąta ze współrzędnych, czwarty wierzchołek równoległoboku, kwadrat.

Cały zestaw: Geometria analityczna - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$; środek $S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.
• $\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]$.
• Pole trójkąta ze współrzędnych i środek ciężkości jako średnia wierzchołków.
• Dalej: równanie prostej i równanie okręgu.