Twierdzenie Talesa

Klasa 1 liceum i technikum

Treść twierdzenia

Twierdzenie Talesa. Jeżeli ramiona kąta o wierzchołku $O$ przecięte są prostymi równoległymi, które przecinają jedno ramię w punktach $A$ i $B$, a drugie odpowiednio w punktach $A'$ i $B'$, to $\frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OA'|}{|OB'|}.$

Intuicja: proste równoległe „przeskalowują” jedno ramię na drugie w stałej proporcji - jeśli punkt $A$ leży w $\tfrac{1}{3}$ drogi do $B$, to $A'$ leży w $\tfrac{1}{3}$ drogi do $B'$.

Proporcję można zapisywać na różne, równoważne sposoby - także dla samych „kawałków”:

$\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OA'|}{|A'B'|} \qquad \text{lub} \qquad \frac{|OA|}{|OA'|} = \frac{|OB|}{|OB'|} = \frac{|AB|}{|A'B'|}.$

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. Jeżeli punkty $A$, $B$ na jednym ramieniu kąta i $A'$, $B'$ na drugim spełniają $\tfrac{|OA|}{|OB|} = \tfrac{|OA'|}{|OB'|}$, to proste $AA'$ i $BB'$ są równoległe. (To narzędzie do dowodzenia równoległości.)

Przykład 1 - obliczanie długości odcinka

Zadanie. Na rysunku jak wyżej: $|OA| = 6$, $|AB| = 4$, $|OA'| = 9$. Oblicz $|A'B'|$.

Krok 1. Zapisujemy proporcję z „kawałkami”:

$\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OA'|}{|A'B'|} \quad\Longrightarrow\quad \frac{6}{4} = \frac{9}{|A'B'|}.$

Krok 2. Mnożymy na krzyż:

$6 \cdot |A'B'| = 4 \cdot 9 \quad\Longrightarrow\quad |A'B'| = \frac{36}{6} = 6.$

Odpowiedź: $|A'B'| = 6$.

Przykład 2 - prosta równoległa w trójkącie

Najczęstsza scenografia zadań: prosta równoległa do boku trójkąta. Wierzchołek trójkąta gra rolę punktu $O$, a bok i prosta równoległa - rolę prostych równoległych z twierdzenia.

Zadanie. W trójkącie $ABC$ punkt $D$ leży na boku $AB$, a punkt $E$ na boku $AC$, przy czym $DE \parallel BC$. Wiadomo, że $|AD| = 8$, $|DB| = 4$, $|AE| = 10$. Oblicz $|EC|$.

Krok 1. Kąt przy wierzchołku $A$ jest przecięty prostymi równoległymi $DE$ i $BC$. Z twierdzenia Talesa:

$\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}.$

Krok 2. Podstawiamy: $\dfrac{8}{4} = \dfrac{10}{|EC|}$, więc $8 \cdot |EC| = 40$, czyli $|EC| = 5$.

Odpowiedź: $|EC| = 5$.

Przykład 3 - pomiar wysokości z cienia (klasyka Talesa)

Według tradycji Tales zmierzył wysokość piramidy, porównując jej cień z cieniem kija. Promienie słoneczne są (praktycznie) równoległe - to one grają rolę prostych równoległych.

Zadanie. Kij o wysokości $1{,}5$ m rzuca cień długości $2$ m. W tym samym momencie drzewo rzuca cień długości $12$ m. Jak wysokie jest drzewo?

Krok 1. Wysokości i cienie są proporcjonalne (ten sam kąt padania promieni):

$\frac{h}{12} = \frac{1{,}5}{2}.$

Krok 2. Stąd $h = \dfrac{1{,}5 \cdot 12}{2} = 9$.

Odpowiedź: Drzewo ma 9 m wysokości.

Najczęstsze pytania

Co mówi twierdzenie Talesa najprościej? Proste równoległe przecinające ramiona kąta odcinają na nich odcinki proporcjonalne - dzielą oba ramiona „w tym samym stosunku”.

Do czego służy twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa? Do uzasadniania, że dwie proste są równoległe: wystarczy sprawdzić proporcję odcinków na ramionach kąta.

Jak nie pomylić proporcji? Trzymaj się zasady „odpowiednie do odpowiednich”: liczniki z jednego ramienia, mianowniki z drugiego, w tej samej kolejności od wierzchołka ($O$ do bliższego punktu, $O$ do dalszego). Warto też sprawdzić wynik: dalszy punkt musi dawać dłuższy odcinek.

Gdzie twierdzenie Talesa przydaje się w praktyce? Wszędzie tam, gdzie mierzymy rzeczy niedostępne przez porównanie z czymś znanym: wysokość drzewa lub budynku z cienia, szerokość rzeki, skale map i planów.

Przećwicz

• Twierdzenie Talesa → - odcinki proporcjonalne, podział odcinka i twierdzenie odwrotne.

Podsumowanie

• Twierdzenie Talesa: proste równoległe przecinające ramiona kąta odcinają odcinki proporcjonalne: $\tfrac{|OA|}{|OB|} = \tfrac{|OA'|}{|OB'|}$.
• Proporcje można układać też dla „kawałków”: $\tfrac{|OA|}{|AB|} = \tfrac{|OA'|}{|A'B'|}$.
• Twierdzenie odwrotne pozwala dowodzić równoległości prostych.
• Typowe zastosowania: odcinki w trójkącie z prostą równoległą do boku, pomiary z cienia, podział odcinka w danym stosunku. Twierdzenie Talesa to też fundament podobieństwa trójkątów.