Czy funkcja f(x) = x² jest rosnąca?

W całej dziedzinie nie - najpierw maleje, a potem rośnie. Jest natomiast malejąca w przedziale (-∞; 0rangle i rosnąca w przedziale langle 0; +∞). Monotoniczność zawsze podajemy razem z przedziałem.

Monotoniczność funkcji

Q: Dlaczego przedziały monotoniczności zapisujemy domknięte w punkcie zwrotu?

Bo w samym punkcie zwrotu warunek definicji nadal jest spełniony po każdej ze stron - dołączenie końca niczego nie psuje. Przyjęło się więc zapisywać langle 0; +∞), a nie (0; +∞).

Q: Czy można powiedzieć „funkcja jest rosnąca i malejąca"?

Nie w tym samym przedziale - to sprzeczność. Można natomiast powiedzieć, że jest malejąca w jednym przedziale, a rosnąca w innym. Funkcja stała nie jest ani rosnąca, ani malejąca.

Q: Czy wystarczy sprawdzić kilka wartości, żeby stwierdzić monotoniczność?

Nie, i to najczęstsza pułapka. Kilka punktów może jedynie podsunąć hipotezę; dowód wymaga pokazania nierówności f(x_1) < f(x_2) dla dowolnych x_1 < x_2 z przedziału, albo powołania się na znane własności funkcji.

Klasa 1 liceum i technikum

Monotoniczność - definicje (dla dowolnych $x_1, x_2$ z przedziału)

$\textbf{rosnąca:}\quad x_1 < x_2 \ \Longrightarrow\ f(x_1) < f(x_2)$

$\textbf{malejąca:}\quad x_1 < x_2 \ \Longrightarrow\ f(x_1) > f(x_2)$

$\textbf{stała:}\quad x_1 < x_2 \ \Longrightarrow\ f(x_1) = f(x_2)$

Intuicja: czytamy wykres od lewej do prawej

Monotoniczność to po prostu odpowiedź na pytanie: czy idąc po wykresie od lewej do prawej, wchodzimy pod górę, czy schodzimy w dół?

wykres „idzie w górę” - funkcja rośnie,
wykres „idzie w dół” - funkcja maleje,
wykres jest poziomy - funkcja jest stała.

To intuicja. Teraz ubierzmy ją w precyzyjne definicje, bo na maturze trzeba umieć je sformułować i stosować.

Definicje

Niech $x_1, x_2$ będą dowolnymi argumentami z rozważanego zbioru (przedziału). Funkcję nazywamy:

rosnącą, jeśli większemu argumentowi odpowiada większa wartość: $\text{gdy } x_1 < x_2, \text{ to } f(x_1) < f(x_2);$
malejącą, jeśli większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość: $\text{gdy } x_1 < x_2, \text{ to } f(x_1) > f(x_2);$
stałą, jeśli wszystkie wartości są równe: $\text{gdy } x_1 < x_2, \text{ to } f(x_1) = f(x_2).$

Funkcję, która jest rosnąca albo malejąca (albo stała), nazywamy ogólnie monotoniczną.

Spotyka się też pojęcia łagodniejsze: funkcja niemalejąca ( $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$ - może chwilami być stała) oraz nierosnąca ( $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)$ ). W liceum najczęściej wystarczają trzy podstawowe przypadki: rosnąca, malejąca, stała.

Przedziały monotoniczności

Wiele funkcji nie jest monotonicznych w całej dziedzinie - na jednym kawałku rosną, na innym maleją. Dzielimy wtedy dziedzinę na przedziały monotoniczności i w każdym z nich mówimy osobno, jak funkcja się zachowuje.

Najlepszy przykład to parabola $f(x) = x^2$ :

Parabola f(x) = x²: dla x ∈ (-∞; 0⟩ funkcja maleje, a dla x ∈ ⟨0; +∞) rośnie. Punkt x = 0 to „dno" - tam funkcja zmienia kierunek.

Czytając wykres od lewej: najpierw schodzimy w dół (funkcja maleje dla $x \le 0$ ), potem wchodzimy pod górę (funkcja rośnie dla $x \ge 0$ ). Zapisujemy:

funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty; 0\rangle$ ,
funkcja jest rosnąca w przedziale $\langle 0; +\infty)$ .

Jak uzasadnić monotoniczność z definicji

Czasem trzeba wykazać monotoniczność, nie tylko ją odczytać. Bierzemy wtedy dwa dowolne argumenty $x_1 < x_2$ i porównujemy $f(x_1)$ z $f(x_2)$ .

Przykład. Wykaż, że funkcja $f(x) = 3x + 1$ jest rosnąca.

Weźmy dowolne $x_1 < x_2$ . Porównajmy wartości, licząc ich różnicę:

$f(x_2) - f(x_1) = (3x_2 + 1) - (3x_1 + 1) = 3(x_2 - x_1).$

Ponieważ $x_1 < x_2$ , to $x_2 - x_1 > 0$ , więc $3(x_2 - x_1) > 0$ . Zatem $f(x_2) - f(x_1) > 0$ , czyli $f(x_2) > f(x_1)$ . Większemu argumentowi odpowiada większa wartość - funkcja jest rosnąca. (Ogólnie funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ rośnie, gdy $a > 0$ , maleje, gdy $a < 0$ , a jest stała, gdy $a = 0$ .)

Częsty błąd

Nie wystarczy sprawdzić zachowania funkcji dla kilku wybranych argumentów. Definicja mówi o dowolnych $x_1 < x_2$ z przedziału - dopiero to gwarantuje monotoniczność na całym przedziale. Pojedyncze przykłady mogą jedynie naprowadzić na hipotezę, ale nie są dowodem.

Najczęstsze pytania

Czy funkcja $f(x) = x^2$ jest rosnąca? W całej dziedzinie nie - najpierw maleje, a potem rośnie. Jest natomiast malejąca w przedziale $(-\infty; 0\rangle$ i rosnąca w przedziale $\langle 0; +\infty)$ . Monotoniczność zawsze podajemy razem z przedziałem.

Dlaczego przedziały monotoniczności zapisujemy domknięte w punkcie zwrotu? Bo w samym punkcie zwrotu warunek definicji nadal jest spełniony po każdej ze stron - dołączenie końca niczego nie psuje. Przyjęło się więc zapisywać $\langle 0; +\infty)$ , a nie $(0; +\infty)$ .

Czy można powiedzieć „funkcja jest rosnąca i malejąca”? Nie w tym samym przedziale - to sprzeczność. Można natomiast powiedzieć, że jest malejąca w jednym przedziale, a rosnąca w innym. Funkcja stała nie jest ani rosnąca, ani malejąca.

Czy wystarczy sprawdzić kilka wartości, żeby stwierdzić monotoniczność? Nie, i to najczęstsza pułapka. Kilka punktów może jedynie podsunąć hipotezę; dowód wymaga pokazania nierówności $f(x_1) < f(x_2)$ dla dowolnych $x_1 < x_2$ z przedziału, albo powołania się na znane własności funkcji.

Przećwicz

Monotoniczność i zbiór wartości → - także uzasadnienie wprost z definicji.

Podsumowanie

Funkcja rosnąca: większy argument daje większą wartość; malejąca: większy argument daje mniejszą wartość; stała: wartości się nie zmieniają.
Funkcję badamy zwykle na przedziałach monotoniczności - na jednych może rosnąć, na innych maleć.
Z wykresu monotoniczność czytamy „od lewej do prawej”: w górę = rośnie, w dół = maleje.