Pola figur podobnych - stosunek pól równy k²

Klasa 2 liceum i technikum

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa: jeśli figura $F_2$ jest podobna do $F_1$ w skali $k$, to $P_2 = k^2 \cdot P_1$. Obwody zmieniają się $k$ razy, pola - $k^2$ razy. Powiększenie boków dwa razy daje cztery razy większe pole, a trzy razy - dziewięć razy większe.

Samo pojęcie podobieństwa i cechy podobieństwa trójkątów (kkk, bbb, bkb) omawia lekcja podobieństwo trójkątów. Tutaj skupiamy się na polach: skąd bierze się $k^2$ i jak tego używać w zadaniach.

Dlaczego k² - dowód dla trójkątów

Niech trójkąt $A'B'C'$ będzie podobny do $ABC$ w skali $k$. Odpowiednie kąty są równe, a każdy bok jest $k$ razy dłuższy: $a' = ka$, $b' = kb$. Kąt $\gamma$ między bokami $a$ i $b$ jest taki sam w obu trójkątach. Ze wzoru z sinusem:

$P' = \frac{1}{2} a' b' \sin\gamma = \frac{1}{2} (ka)(kb)\sin\gamma = k^2 \cdot \frac{1}{2} ab\sin\gamma = k^2 \cdot P.$

To samo widać przez wysokości. Wysokość $h'$ większego trójkąta też jest $k$ razy dłuższa (trójkąty prostokątne wycięte przez wysokości są podobne z cechy kkk), więc w iloczynie „podstawa razy wysokość” skala pojawia się dwa razy:

$P' = \frac{1}{2} \cdot ka \cdot kh = k^2 \cdot \frac{1}{2} ah = k^2 P.$

Obwód to suma długości, więc rośnie tylko $k$ razy - stąd różnica: obwody jak $k$, pola jak $k^2$.

Wielokąty i koła podobne

Wielokąt dzielimy przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka na trójkąty. W wielokącie podobnym w skali $k$ ten sam podział daje trójkąty podobne w skali $k$, więc pole każdego kawałka rośnie $k^2$ razy - a zatem i suma. Twierdzenie działa dla dowolnych figur podobnych, także krzywoliniowych: wszystkie koła są podobne, a koło o promieniu $kr$ ma pole $\pi (kr)^2 = k^2 \cdot \pi r^2$ (więcej w lekcji pole koła i wycinka).

Przykład 1. Pięciokąt ma pole $20$. Jakie pole ma pięciokąt do niego podobny, którego boki są $1{,}5$ razy dłuższe?

$P_2 = k^2 \cdot P_1 = 1{,}5^2 \cdot 20 = 2{,}25 \cdot 20 = 45.$

Odpowiedź: $45$.

Przykład 2. Dwa trójkąty podobne mają pola $12$ i $75$, a obwód mniejszego wynosi $14$. Oblicz obwód większego.

Krok 1. Skala z pól: $k^2 = \frac{75}{12} = \frac{25}{4}$, więc $k = \frac{5}{2} = 2{,}5$.

Krok 2. Obwody mają się jak $k$: $L_2 = 2{,}5 \cdot 14 = 35$.

Odpowiedź: $35$. Gdyby pomnożyć obwód przez stosunek pól $6{,}25$, wyszłoby $87{,}5$ - to najczęstszy błąd w tym typie zadań.

Przykład 3 (pizza). Co daje więcej ciasta: jedna pizza o średnicy $32\ \text{cm}$ czy dwie o średnicy $22\ \text{cm}$? Koła są podobne w skali $k = \frac{32}{22}$, więc stosunek pól to $k^2 = \frac{1024}{484} \approx 2{,}12$. Duża pizza ma więcej ciasta niż dwie małe ($256\pi$ wobec $2 \cdot 121\pi = 242\pi\ \text{cm}^2$), choć jej średnica nie jest nawet półtora raza większa.

Odcinek równoległy do podstawy trójkąta

Prosta równoległa do boku trójkąta odcina trójkąt podobny do wyjściowego (cecha kkk - kąty przy prostych równoległych są równe). Skalę podobieństwa odczytujemy z boków, tak jak w twierdzeniu Talesa.

Przykład 4. Trójkąt $ABC$ ma pole $50$. Punkty $D$ i $E$ leżą na bokach $CA$ i $CB$, przy czym $DE \parallel AB$ i $|CD| : |CA| = 3 : 5$. Oblicz pole trójkąta $DEC$ i trapezu $ABED$.

Krok 1. Trójkąt $DEC$ jest podobny do $ABC$ w skali $k = \frac{|CD|}{|CA|} = \frac{3}{5}$.

Krok 2. $P_{DEC} = k^2 \cdot P_{ABC} = \frac{9}{25} \cdot 50 = 18$.

Krok 3. Trapez to reszta trójkąta: $P_{ABED} = 50 - 18 = 32$.

Odpowiedź: $P_{DEC} = 18$, $P_{ABED} = 32$. Uwaga na pułapkę: stosunek $3 : 5$ dotyczy odcinków $CD$ i $CA$ (całego boku), a nie $CD$ i $DA$. Gdyby dany był stosunek $|CD| : |DA| = 3 : 2$, skala i tak wynosi $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$.

Przykład 5 (odwrotnie). Gdzie poprowadzić prostą równoległą do podstawy, żeby podzieliła trójkąt na dwie części o równych polach?

Krok 1. Mały trójkąt ma mieć połowę pola: $k^2 = \frac{1}{2}$, więc $k = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$.

Krok 2. Prosta musi przeciąć bok $CA$ w punkcie $D$, dla którego $|CD| = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot |CA|$. Dla $|CA| = 10$: $|CD| = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$.

Odpowiedź: w odległości $\frac{\sqrt{2}}{2}|CA|$ od wierzchołka - nie w połowie boku. Prosta przez środki boków odcina trójkąt o skali $\frac{1}{2}$, czyli o polu równym zaledwie $\frac{1}{4}$ całości.

Trapez i jego przekątne - pola czterech trójkątów

Przekątne trapezu $ABCD$ (podstawy $AB$ i $CD$) przecinają się w punkcie $S$ i dzielą go na cztery trójkąty. Mają one dwie ważne własności:

• Trójkąty przy podstawach są podobne: $\triangle ABS \sim \triangle CDS$ (kąty wierzchołkowe przy $S$ i kąty naprzemianległe przy podstawach), w skali $k = \frac{|AB|}{|CD|}$. Ich pola mają się jak $k^2$.
• Trójkąty przy ramionach mają równe pola: trójkąty $ABD$ i $ABC$ mają wspólną podstawę $AB$ i tę samą wysokość (wysokość trapezu), więc równe pola. Po odjęciu wspólnej części $ABS$ zostaje $P_{ASD} = P_{BSC}$.

Co więcej, $P_{BSC} = \sqrt{P_{ABS} \cdot P_{CDS}}$, bo trójkąty $BSC$ i $CDS$ mają wspólną wysokość z wierzchołka $C$, a ich podstawy $BS$ i $SD$ mają się jak $k$.

Przykład 6. Trapez ma podstawy $|AB| = 10$ i $|CD| = 4$, a trójkąt $CDS$ ma pole $4$. Oblicz pola pozostałych trójkątów i pole trapezu.

Krok 1. Skala $\triangle ABS \sim \triangle CDS$: $k = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$, więc $P_{ABS} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 \cdot 4 = \frac{25}{4} \cdot 4 = 25$.

Krok 2. Trójkąty $BSC$ i $CDS$ mają wspólną wysokość z $C$, a $|BS| : |SD| = 5 : 2$, więc $P_{BSC} = \frac{5}{2} \cdot 4 = 10$. Tyle samo ma $ASD$. (Kontrola: $\sqrt{25 \cdot 4} = 10$.)

Krok 3. $P_{ABCD} = 25 + 4 + 10 + 10 = 49$.

Odpowiedź: $25$, $10$, $10$ i $P = 49$. Sprawdzenie wzorem na pole trapezu: $S$ dzieli wysokość w stosunku $5 : 2$, a $P_{CDS} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{2}{7}h = 4$ daje $h = 7$, czyli $P = \frac{10 + 4}{2} \cdot 7 = 49$.

Skala mapy a pole

Mapa w skali $1 : n$ to figura podobna do terenu w skali $\frac{1}{n}$. Długości zmniejszają się $n$ razy, a pola $n^2$ razy - więc pole na mapie mnożymy przez $n^2$, a nie przez $n$.

Przykład 7. Na mapie w skali $1 : 25\,000$ jezioro zajmuje $12\ \text{cm}^2$. Jaką ma powierzchnię w rzeczywistości?

Krok 1. $1\ \text{cm}$ na mapie to $25\,000\ \text{cm} = 250\ \text{m}$ w terenie.

Krok 2. $1\ \text{cm}^2$ na mapie to kwadrat $250\ \text{m} \times 250\ \text{m}$, czyli $62\,500\ \text{m}^2 = 6{,}25\ \text{ha}$.

Krok 3. $12 \cdot 6{,}25 = 75\ \text{ha}$.

Odpowiedź: $75\ \text{ha} = 0{,}75\ \text{km}^2$. Najpierw zamieniamy na metry długość odpowiadającą $1\ \text{cm}$, a dopiero potem podnosimy do kwadratu - tak unika się pomyłek o kilka zer (zamiana jednostek pola: pole figury płaskiej).

Przykład 8. Na planie mieszkania w skali $1 : 50$ pokój jest prostokątem $8\ \text{cm} \times 6\ \text{cm}$. W rzeczywistości ma wymiary $4\ \text{m} \times 3\ \text{m}$, czyli $12\ \text{m}^2$. Ten sam wynik daje skala pól: $48\ \text{cm}^2 \cdot 50^2 = 120\,000\ \text{cm}^2 = 12\ \text{m}^2$.

Typowe błędy

• Dzielenie pól bez pierwiastkowania. Pola $12$ i $75$ nie dają skali $6{,}25$, tylko $\sqrt{6{,}25} = 2{,}5$.
• Skala pól użyta do obwodów (albo odwrotnie). Obwody i wszystkie odcinki - $k$; pola - $k^2$.
• Środek boku zamiast $\frac{\sqrt{2}}{2}$ przy dzieleniu trójkąta na dwie równe części.
• Mapa: mnożenie pola przez $n$ zamiast przez $n^2$.

Najczęstsze pytania

Jaki jest stosunek pól figur podobnych? Równy kwadratowi skali podobieństwa: $\frac{P_2}{P_1} = k^2$. Dla skali $3$ pole jest $9$ razy większe.

Jak obliczyć skalę podobieństwa, znając pola? Spierwiastkuj stosunek pól: $k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$. Pola $12$ i $75$ dają $k = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$.

Ile razy wzrośnie pole, gdy boki zwiększymy dwukrotnie? Czterokrotnie, bo $k^2 = 2^2 = 4$. Zdjęcie $10 \times 15$ powiększone do $20 \times 30$ zajmuje $600\ \text{cm}^2$ zamiast $150\ \text{cm}^2$.

Czy stosunek obwodów figur podobnych też jest równy k²? Nie - obwody mają się jak $k$, bo obwód to suma długości. Do kwadratu podnosimy skalę tylko przy polach.

Jak obliczyć rzeczywiste pole z mapy? Pole z mapy pomnóż przez kwadrat mianownika skali. W skali $1 : 25\,000$ każdy $1\ \text{cm}^2$ to $6{,}25\ \text{ha}$.

Na jakie trójkąty dzielą trapez jego przekątne? Na dwa trójkąty podobne przy podstawach (w skali stosunku podstaw) i dwa trójkąty o równych polach przy ramionach. Pole każdego z nich to $\sqrt{P_1 \cdot P_2}$, gdzie $P_1$, $P_2$ to pola trójkątów przy podstawach.

Przećwicz

• Podobieństwo trójkątów → - skala, brakujące boki i stosunek pól.
• Przekątne trapezu i cztery trójkąty → - pola trójkątów wyznaczone przez przekątne trapezu.
• Twierdzenie Talesa → - proporcje odcinków, z których bierze się skala.

Podsumowanie

• Figury podobne w skali $k$: obwody jak $k$, pola jak $k^2$; skala z pól: $k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$.
• Dowód dla trójkątów: podstawa i wysokość rosną po $k$ razy, więc ich iloczyn - $k^2$ razy.
• Prosta równoległa do boku odcina trójkąt podobny; połowę pola odcina przy skali $\frac{\sqrt{2}}{2}$, nie $\frac{1}{2}$.
• Trapez z przekątnymi: trójkąty przy podstawach podobne ($k^2$), przy ramionach - równe pola.
• Mapa $1 : n$: pole w terenie $= n^2 \cdot$ pole na mapie.
• Dalej: pole koła i wycinka koła.