Przekątne trapezu dzielą go na cztery trójkąty - pola trójkątów

Krok 1. Podobieństwo. Trójkąty $ABS$ i $CDS$ są podobne (cecha kkk): kąty przy $S$ są wierzchołkowe, a $\angle SAB = \angle SCD$ jako kąty naprzemianległe przy równoległych podstawach. Skala podobieństwa to

$k = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{12}{4} = 3.$

Krok 2. Wysokości obu trójkątów. Wysokości trójkątów $ABS$ i $CDS$ opuszczone z $S$ na podstawy leżą na jednej prostej i razem dają wysokość trapezu, a ich stosunek to także $3 : 1$:

$h_1 + h_2 = 6, \quad h_1 = 3h_2 \quad\Longrightarrow\quad h_2 = 1{,}5, \quad h_1 = 4{,}5.$

Krok 3. Pola trójkątów przy podstawach.

$P_{ABS} = \frac{12 \cdot 4{,}5}{2} = 27, \qquad P_{CDS} = \frac{4 \cdot 1{,}5}{2} = 3.$

Zgadza się to z regułą: stosunek pól figur podobnych to kwadrat skali, $27 : 3 = 9 = 3^2$.

Krok 4. Trójkąty przy ramionach. Trójkąt $ABD$ ma podstawę $AB$ i wysokość trapezu, więc $P_{ABD} = \frac{12 \cdot 6}{2} = 36$. Składa się z trójkątów $ABS$ i $DAS$:

$P_{DAS} = 36 - 27 = 9.$

Tak samo z trójkąta $ABC$: $P_{BCS} = 36 - 27 = 9$.

Krok 5. Sprawdzenie. Pole trapezu: $\frac{12 + 4}{2} \cdot 6 = 48$, a suma pól czterech trójkątów: $27 + 3 + 9 + 9 = 48$. Trójkąty przy ramionach mają zawsze równe pola, a do tego $9 = \sqrt{27 \cdot 3}$.

Odpowiedź. $P_{ABS} = 27$, $P_{CDS} = 3$, $P_{BCS} = P_{DAS} = 9$.