Czworokąt opisany na okręgu - boki z warunku a + c = b + d i pole

Krok 1. Warunek czworokąta opisanego. W czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe: $|AB| + |CD| = |BC| + |DA|$. Wynika to z tego, że dwa odcinki styczne poprowadzone z jednego wierzchołka mają równe długości.

Krok 2. Równanie.

$x + 2x = (x + 3) + 10 \quad\Longrightarrow\quad 3x = x + 13 \quad\Longrightarrow\quad x = 6{,}5.$

Boki mają długości $6{,}5$; $9{,}5$; $13$ i $10$. Sprawdzenie: $6{,}5 + 13 = 19{,}5 = 9{,}5 + 10$.

Krok 3. Obwód.

$L = 6{,}5 + 9{,}5 + 13 + 10 = 39.$

Krok 4. Pole. Łączymy środek okręgu $O$ z wierzchołkami. Czworokąt rozpada się na cztery trójkąty o podstawach równych bokom i wspólnej wysokości $r = 4$ (promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do boku). Zatem

$P = \frac{r \cdot |AB|}{2} + \frac{r \cdot |BC|}{2} + \frac{r \cdot |CD|}{2} + \frac{r \cdot |DA|}{2} = r \cdot \frac{L}{2} = 4 \cdot 19{,}5 = 78.$

Odpowiedź. $x = 6{,}5$, obwód wynosi $39$, a pole $78$.