Trójkąt w kwadracie - pole trójkąta AMN ze środkami boków

Krok 1. Pomysł. Trójkąt $AMN$ nie ma wygodnej wysokości, ale kwadrat bez niego to trzy trójkąty prostokątne, których pola łatwo policzyć. Odejmiemy je od pola kwadratu.

Krok 2. Trzy trójkąty prostokątne. Połowa boku to $3$.

• Trójkąt $ABM$: przyprostokątne $|AB| = 6$ i $|BM| = 3$, pole $\frac{6 \cdot 3}{2} = 9$.
• Trójkąt $ADN$: przyprostokątne $|AD| = 6$ i $|DN| = 3$, pole $\frac{6 \cdot 3}{2} = 9$.
• Trójkąt $MCN$: przyprostokątne $|MC| = 3$ i $|CN| = 3$, pole $\frac{3 \cdot 3}{2} = 4{,}5$.

Krok 3. Odejmujemy od pola kwadratu.

$P_{AMN} = 36 - 9 - 9 - 4{,}5 = 13{,}5.$

Krok 4. Jaka to część kwadratu.

$\frac{13{,}5}{36} = \frac{27}{72} = \frac{3}{8}.$

Ten ułamek nie zależy od długości boku: dla kwadratu o boku $a$ pole trójkąta wynosi $a^2 - \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{8} = \frac{3}{8}a^2$.

Odpowiedź. Pole trójkąta $AMN$ wynosi $13{,}5$, czyli $\frac{3}{8}$ pola kwadratu.